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考点 17 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A= ,∠A的余弦cos A= ,∠A的正切tan A= .
2. 特殊角的三角函数值(填写下表)
三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a 1
二、解直角三角形
1. 解直角三角形
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出
所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.（2）直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:
①已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c= ;
②已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a= ;
③已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A= ;
④已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A= .
2. 与解直角三角形有关的名词、术语
（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.
从下向上看,叫做仰角;
从上往下看,叫做俯角.
（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.
（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i= .坡面与水平面的夹角
(α),叫做坡角.
【考点1】锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值
【例1】（锐角三角函数的定义）（2022·云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．
垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】先根据垂径定理求出 ，再根据余弦的定义进行解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．
∴ ，OC= =13，
∴ ．故选：B．
【例2】（特殊锐角三角函数值）（2022·湖南）计算： ．
【答案】
【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】解：原式
．
1．（2022·天津） 的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根据正切定义， ，
∵∠A=45°，∴ ，故选 B．
2．（2021·天津） 的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知， ，
故选：A．
3．（2021·浙江）如图，已知在 中， ，则 的值是______．
【答案】
【分析】
在直角三角形中，锐角 的正弦=锐角 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】
解： ，
故答案为：
4．（2022·山东滨州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=______.【答案】
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB= =13，
∴sinA= ．
故答案为： ．
【考点2】三角函数与图形结合
【例3】（2022·广西贵港）如图，在 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若
的顶点均是格点，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ,
在 中， ,
∴ ，解得 ，
∴ ，故选：C．
1．（2022·四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，
AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明 DCE为直角
三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． △
【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．
在 DCE中，有 ， ， ，
△
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝ ．
故选：B．
2．（2022·江苏连云港）如图，在 正方形网格中， 的顶点 、 、 都在网格线上，且都是小
正方形边的中点，则 _________．
【答案】
【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此
求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．3．（2022·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及 的一边上的点
E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段 的长等于___________；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线 上，满足 且 ．请用无刻度的直尺，在如图所示
的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________．
【答案】 见解析
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算；
（Ⅱ）由图可找到点Q， ，即四边形EFBQ是正方形，因为
，所以 ，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ
与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF
相交点即为N．
【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，
所以 ，故答案为： ；
（Ⅱ）连接 ，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接
与射线 相交于点M；连接 与 相交于点G；连接 并延长，与 相交于点H；连接 并延长，与射线 相交于点N，则点M，N即为所求，
理由如下：连接
由勾股定理算出 ，
由题意得 ，
四边形 为正方形，
在 和 中， ，
， ，
， ，
，
，
，从而确定了点 的位置．
【考点3】解直角三角形
【例4】（2022·广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则
高BC是（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα= ，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米），故选：A．
【例5】（2021·四川乐山市）在 中， ．有一个锐角为 ， ．若点 在直线
上（不与点 、 重合），且 ，则 的长为________．
【答案】 或 或2
【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．
【详解】
解：情形1： ，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
情形2： ，则 ， ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ；
情形3： ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： 或 或2．
在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出
其余三个未知元素.1．（2021·云南）在 中， ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【分析】
根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB= =80，
故选D．
2．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻
的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 ．若 ． ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据勾股定理和三角函数求解．【详解】
∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故选：A．
3．（2022·福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 ， ，AB＝8，点A对应
直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到 ，点 对应直尺的刻度为0，
则四边形 的面积是（ ）
A．96 B． C．192 D．
【答案】B
【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形 的面积为 ，
即可求解．
【详解】解：依题意 为平行四边形，
∵ ， ，AB＝8， ．
∴平行四边形 的面积= 故选B
4．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， ，BC＝
44cm，则高AD约为（ ）（参考数据： ， ， ）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得 cm，根据等腰三角形的性质及
，可得 ，在 中，由 ，求得AD的长度．
【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴ ，
∵BC＝44cm，
∴ cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC， ，
∴ ．
∵AD为BC边上的高， ，
∴在 中，
，
∵ ， cm，
∴ cm．故选：B．
5．（2022·陕西）如图， 是 的高，若 ， ，则边 的长为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解直角 求出AD，再在直角 中应用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵直角 中， ，∴ ，
∴直角 中，由勾股定理可得， ．故选D．
【考点4】解直角三角形的运用
【例6】（坡度比问题）（2022·贵州毕节）如图，某地修建一座高 的天桥，已知天桥斜面 的坡
度为 ，则斜坡 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出 的长，再利用勾股定理得出 的长．
【详解】∵ ， ，∴ ，解得： ，
则 ．故选：A．
【例7】（仰角俯角问题）（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点A处测
得树顶C的仰角为 ，在点B处测得树顶C的仰角为 ，且A，B，D三点在同一直线上，若 ，
则这棵树 的高度是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切
函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ，
即： ，
解得 ，
故选A．
解直角三角形的应用问题的有关要点
（1）应用范围：
通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，
如：测不易直接测量的物体的高度、河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数
和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.
（2）一般步骤
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）.
② 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再
转化为实际问题的答案.
1．（2022·广西玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．
【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角，
故选D．
2．（2022·湖北随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰
角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β， ，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设AB=x，利用正切值表示出BC和BD的长，CD=BC-BD，从而列出等式，解得x即可．
【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴ ， ，
∵CD=BC-BD，∴ ，∴ ，即AB= ，故选：D．
3．（2021·湖北黄冈市）如图，建筑物 上有一高为 的旗杆 ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为
，观测旗杆底部B的仰角为 ，则建筑物 的高约为_____ （结果保留小数点后一位）．（参考
数据 ， ， ）【答案】
【分析】
先根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，设 ，从而可得 ，再
在 中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．
【详解】
解：由题意得： ，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
即建筑物 的高约为 ，
故答案为： ．
4．（2022·贵州黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树 ，距树12米处有一栋教学楼 ，为了安全，
学校决定砍伐该树，站在楼顶 处，测得点 的仰角为45°，点 的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：
① 米；② 米；③若直接从点 处砍伐，树干倒向教学楼 方向会对教学楼有影响；④
若第一次在距点 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值： ， ）
【答案】①③④
【分析】过点D的水平线交AB于E，先证四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，①利用三角函数求出
AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4 米， ③利用AB=18.8米＞12米，④
点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，判断即可．
【详解】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4 故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4 米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼 方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④．
故答案为①③④．5．（2022·内蒙古通辽）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 的长度（结果保留小数
点后一位， ）.
【答案】 的长度约为9.8米
【分析】延长 交 的垂线 于点 ， 交于点 ,则四边形 是矩形，根据图示，可得四
边形 是正方形，解 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 的垂线 于点 ， 交于点 ,则四边形 是矩形，，
四边形 是正方形，
，
， ，
，
中， ，
，
中， ，
米．
6．（2022·山东聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称
为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔
基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD
的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底
D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据： ， ，
， ， ， ）【答案】古槐的高度约为13米
【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12
米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08米，即可求出答案．
【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，
在 中，∠EAM=26.6°，
∴ ，
∴ 米，
∴BH=AM=12米，
∵BD=20，
∴DH=BD BH=8米，
∴CN=8米，
在 中，∠ECN=76°，∴ ，
∴ 米，
∴ （米），
即古槐的高度约为13米．
