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专题 18 二次函数中线段、周长、面积最值问题
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目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 二次函数中求线段和最值问题】....................................................................................................1
【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】..........................................................................................13
【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】..........................................................................................18
【直击中考】
【考向一 二次函数中求线段和最值问题】
例题：（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如已知二次函数 的图象过点 和点
，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：
(3)抛物线的对称轴上有一动点 ，求出 的最小值．
【答案】(1)
(2)二次函数图象的对称轴为直线 、顶点坐标为
(3)
【分析】（1）将点 和点 ，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）将解析式化为顶点式即可求解；
（3）根据二次函数图象的对称性得出 的最小值为 的长，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象过点 和点 ，∴
解得：
∴ ；
（2）解： ，
∴二次函数图象的对称轴为直线 、顶点坐标为
（3）解：令 中， ，则 ，
∴ ，
∵ ， 关于对称轴 对称，
则 ，
连接 ，交对称轴 于点 ，则此时 取最小值，
∵ , ，
∴ ，
此时 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键．
【变式训练】
1．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两
点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线 轴于点D，交直线
BC于点E．(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段 的最大值；
(3)当 时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 最大值为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出 ，利用待定系数法求出 的解析式为： ，根据直线 轴，可知点
P、E的横坐标相等，设为m，且 ，可得 ， ，即可得
，问题得解；
（3）过C点作 于点F，先证明四边形 是矩形，即有 ，在等腰 中，有
，根据点P、E的横坐标相等，设为m，且 ，即有 ，
，可得 ，再根据
， ，可得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）将 、 代入 中，
可得： ，
解得： ，即抛物线解析式为： ；
（2）当 时， ，
∴ ，
设 的解析式为： ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 的解析式为： ，
∵直线 轴，
∴点P、E的横坐标相等，
设为m，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
即 最大值为 ；
（3）过C点作 于点F，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，直线 轴， ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴在等腰 中，有 ，
∵直线 轴，
∴点P、E的横坐标相等，
设为m，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，且 ，
解得 ，或者 （舍去），
当 时， ，
∴ ，
即 点坐标为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，等腰三角形的性质，二次函数的图象与性质以及
解一元二次方程等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
2．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线 分别交x轴于点
， ，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为
线段AC上的动点，且 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ MC是否有最小值，如果有，请写出理由．【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)有，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在 中， ， ，根据 ，有 ，即可得
，问题得解；
（3）先求出 ，即 ，即有 ，则 的最小值是 的最
小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点 ， 代入抛物线 中得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2） ，
理由是：如图1，
令 ，则 ，即 ，
∵ ， ，
∴， ， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）在M，N移动的过程中， 有最小值是 ，理由如下：
由（2）知： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值是 的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，
如图2，
抛物线解析式为： ；
∴对称轴是： ，即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴在M，N移动的过程中， 有最小值是 ．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段
最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 的图象与直线 有唯一交点 ．(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与 轴的交点分别为点 、 ，抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的值最小？
如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
(3)直线 与 轴交于点 ，点 是 轴上一动点，请你写出使 是等腰三角形的所有点 的横
坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）将点 代入 ，可求抛物线的解析式；将点 代入 ，然后
根据抛物线与直线由唯一交点，求出 ，即可求直线的解析式；
（2）根据抛物线的对称轴可知M、N点关于对称轴 对称，则当A、P、N三点共线时， 有最
小值，最小值为 的长；
（3）设 ，分别求出 ， ， ，再由等腰三角形三边关系，分类讨论即可．
【详解】（1）将点 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
将点 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 的图象与直线 有唯一交点，
∴ 有两个相等实数根时，∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为 ；
（2）存在点P，使 的值最小，理由如下，连接 ， ， ．
当 时， ，
解得 或 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵M、N点关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当A、P、N三点共线时， 有最小值，最小值为 的长．
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）当 时， ，
∴ ，
设 ，∴ ，
当 时， ，
解得 或 （舍）；
当 时， ，
解得 或 ；
当 时， ，
解得 ；
综上所述：Q点横坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，
轴对称的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用抛物线的对称性求最小值
的方法是解题的关键．
4．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ， ；
(3)3．
【分析】（1）利用函数 求解 的坐标，再把 的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点 作 轴交 于 ，得到 ，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，
证明 ，从而得到 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：令 ，解得： ，
∴点 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ．
（2）解：令 ，化简可得：
解得 或 ，
如图，过点 作 轴交 于 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
所以：①当 时，
；
②当 时，
；
∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，
此时 点坐标为 ．（3）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点
．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 则
∴ ，
∴ ，
∵ 、 关于 轴对称，∴ ，
∴ ，此时 最小．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是3．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大
值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】
例题：（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线 经过 、 、 三点，直线
l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线 上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使以 、 、 为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）把 三点坐标代入 ，得到关于 的方程组即可；
（2）因为 长度确定，所以 的周长最小，等同于 最小，问题转化为：在直线 取一点使
得到两定点的距离之和最小（“将军饮马”模型），所以 在同一条直线，在利用待定系数法求出直
线 的解析式即可确定点 坐标；
（3）分别讨论直角顶点在 、 、 的情况，计算即可，见详解．
【详解】（1）解：把 、 、 三点分别代入 得：
，解得 ，
．
（2）解： 与 关于直线 对称，点 在直线 上，
当点 在线段 与直线 的交点时， 最短，
的周长 = ， 的长度确定，
当 最小时， 的周长最小，
由以上可知：当点 在线段 与直线 的交点时， 的周长最小，
设线段 所在直线方程为： ，把 、 代入 得：
解得：
直线 的解析式为：
直线 为： ，
将 代入 得： ，即点 坐标为 ，
（3）解：要使以 、 、 为顶点的三角形为直角三形，只要考虑直角顶点分别为 、 、 情况，
如图1所示：
（a）直角顶点为 时，过点 作 交直线 于点 ，设直线 与 轴交点为 ，
则 ，根据相似三角形对应边成比例性质得：
其中： ， ， ，
计算可得： ，
故点 坐标为：
（b）直角顶点为 时，过点 作 交直线 于点 ，过点 作 轴垂线，
垂足为点 ， ，
由相似性质定理可得：
其中： ， ， ，计算可得： ，则 ，故点 坐标为：
（c）直角顶点为 时，点 为以线段 为直径的圆与直线 的交点，过点 作 垂足为点 如
图2所示：
在 与 中有：
， ，
其中： ， ， ，
代入数据整理得： 即 ，
或 ，即 或 ，
点 坐标为 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数表达式求解，动点+最值问题，以及相似和圆的知识，综合性较大，其中第
（3）问的关键是要分情况讨论各种直角顶点存在性和计算结果，特别是直角顶点为点 时就用到“直径
所对圆周角是直角”这一原理和“一线三等角”模型．
【变式训练】
1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若
存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，求出 面积的
最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点 的坐标为
(3)存在， 最大值为
【分析】（1）根据题意可知，将点 、 的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得 、 的值，求得
函数解析式；
（2）根据题意可知，边 的长是定值，要想 的周长最小，即是 最小，所以此题的关键
是确定点 的位置，找到点 的对称点 ，求得直线 的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设 ，过点 作 轴交于点 ，连接 、 、 ，根据
，将 表示成二次函数，再根据二次函数的
性质，即可求得 的最大值．
【详解】（1）解：将 ， 代入 中，
可得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：存在，理由如下：
如图，∵ 、 两点关于抛物线的对称轴 对称，
∴直线 与 的交点即为 点，此时 周长最小，连接 、 ，
∵点 是抛物线与 轴的交点，
∴ 的坐标为 ，
又∵ ，
∴直线 解析式为： ，
∴ 点坐标即为 ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设 ，过点 作 轴交于点 ，连接 、 、 ，
∵ ，
若 有最大值，则 就最大，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 时， 最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的
求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】
例题：（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
点A，B，与y轴交于点C，连接 ， ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由 得 ，结合对称轴建立方程组求解即可；（2）如图，由（1）求出 即 ， 即 设 是第三象限内抛物线
上的动点 ，根据 ，用 坐
标表示三角形面积即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
对称轴为 ，
，
解得： ，
抛物线解析式为： ；
（2）如图，抛物线与x轴交于点 ，
对称轴为 ，
即 ，
抛物线解析式为： ，
,即 ，
设 是第三象限内抛物线 上的动点，
则 且 ，
，开口向下，
当 时 有最大值 ，
面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是
熟练掌握二次函数的图像和性质．
【变式训练】
1．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为 ．直线l与抛物线交于B，C两
点，其中点C的坐标为 ．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段 上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作
交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(3)在（2）的条件下，设 的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
【答案】(1) ；(2)
(3) ，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质可得， ，得到关于 的方程，求解即可；
（3）由题意可得 ，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点 、点 代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
即抛物线为 ．
设直线l的解析式为 ，
将点 、点 代入得 解得 ，
即直线l的解析式为 ；
（2）解：由题意可得，抛物线 的对称轴为 ，顶点 ，
则 ，所以 ，
点 ， ，点 ．
连接 ，如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
化简可得： ，解得 ， （舍去），
即 ，四边形 是平行四边形；
（3）连接 、 ，如图：由题意可得：
，
∴ ，
∵ ，开口向下，对称轴为 ，
∴当 时， 面积最大，为 ．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与几何的应用，二次函
数的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，正确求得解析式．
2．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？若存在，求出
Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得 的面积最大？若存在，求出点P的坐标及
的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，(3)存在，点P的坐标为 ，8
【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2)判定 ， 是对称点，确定直线 的解析式，计算当 时的函数值即可确定坐标．
(3)设 ，过点P作 于点E，根据 ，
构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于 ， 两点，
∴ ，解得 ，∴该抛物线的解析式为 ．
（2）存在，点 ．理由如下：∵抛物线 与x轴交于 ， 两点，∴
， 是对称点，且 ，设直线 的解析式为 ，∴ ，解得 ，∴
直线 的解析式为 ，
当 时， ，故点 ．
（3）如图，设 ，过点P作 于点E，
∵抛物线 与x轴交于 ， 两点，且 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
，故当 时， 取得最大值，且为8，此时 ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的
最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
