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专题 18 二次函数中线段、周长、面积最值问题
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【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 二次函数中求线段和最值问题】....................................................................................................1
【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】..........................................................................................13
【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】..........................................................................................18
【直击中考】
【考向一 二次函数中求线段和最值问题】
例题：（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如已知二次函数 的图象过点 和点
，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：
(3)抛物线的对称轴上有一动点 ，求出 的最小值．
【变式训练】1．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两
点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线 轴于点D，交直线
BC于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段 的最大值；
(3)当 时，求点 的坐标．
2．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线 分别交x轴于点
， ，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为
线段AC上的动点，且 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ MC是否有最小值，如果有，请写出理由．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 的图象与直线 有唯一交点 ．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与 轴的交点分别为点 、 ，抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的值最小？
如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
(3)直线 与 轴交于点 ，点 是 轴上一动点，请你写出使 是等腰三角形的所有点 的横
坐标．
4．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求 的最小值．【考向二 二次函数中求三角形周长最值问题】
例题：（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线 经过 、 、 三点，直线
l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线 上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使以 、 、 为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若
不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若
存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，求出 面积的最大值．若没有，请说明理由．
【考向三 二次函数中求三角形面积最值问题】
例题：（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
点A，B，与y轴交于点C，连接 ， ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
【变式训练】
1．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为 ．直线l与抛物线交于B，C两
点，其中点C的坐标为 ．(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段 上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作
交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(3)在（2）的条件下，设 的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
2．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？若存在，求出
Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得 的面积最大？若存在，求出点P的坐标及
的面积最大值；若不存在，请说明理由．
