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考点 17 锐角三角函数
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．（2021·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．
【详解】
解：A、 ，此选项正确；
B、 ，此选项错误；
C、 ，此选项错误；
D、 ，此选项错误；
故选：A．
2．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】如图，作BD⊥AC交AC的延长线于点D,利用三角函数的定义可知tan A= =
故选A.3．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故选：D
4．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ， ，则
房顶A离地面 的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即
可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，∴ m，
，即 ，
房顶A离地面 的高度为 ，故选B．
5．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成
45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，
∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．
6．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在
OB上， ，连接AC，过点O作 交AC的延长线于P．若 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由 可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为 ，则 为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵ ，
则∠BAO=45°， 为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴ ．
7．（2022·浙江杭州）如图，已知 ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则 ABC的面积
的最大值为（ ） △ △
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使 ABC的面积S= BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
△
【详解】解：当 ABC的高AD经过圆的圆心时，此时 ABC的面积最大，
如图所示， △ △
∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ= ，cosθ= ，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，
∴S ABC= AD•BC= •2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故选：D．
△
8．（2022·四川乐山）如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接BD．若
， ，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D作 于点E，依据
三角函数值可得 从而得 ，再由 得AE=2，DE=1，由勾股定理
得AD= ，从而可求出CD．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ∴
由勾股定理得,
过点D作 于点E，如图，∵ ， ，∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴ ,
在 中, ∴
∵ ∴ 故选：C
9．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形 的边长为4，E是 的中点， 平分 交 于点F，
交 于点G，若 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，
利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP= ，即可得到FG的长；
【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∴BE=2，又∵ ，∴BH=1，即H是BE的中点，∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠AGP= = = ，解得x= ；故选B．
10．（2022·辽宁）如图，在矩形 中， ，分别以点A和C为圆心，以大于 的长为
半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线 分别交 于点E，F，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形 可知 为直角三角形，根据勾股定理可得 的长度，在 中得到
，又由题知 为 的垂直平分线，于是 ，于是在 中，
利用锐角三角函数即可求出 的长．
【详解】解：设 与 的交点为 ，四边形 为矩形，
， ， ，
为直角三角形，
， ，
，
，
又由作图知 为 的垂直平分线，
， ，
在 中，
，
，
，
．
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021·浙江）如图，已知在 中， ，则 的值是______．【答案】
【分析】
在直角三角形中，锐角 的正弦=锐角 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】
解： ，
故答案为：
12．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算； ，
．例如：当 ， 时，
，则 的值为_______．
【答案】
【分析】根据 代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
== ．
故答案为： ．
13．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点
上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点．则 的正切值为________．
【答案】
【分析】
由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 ．
14．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角
三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如
图，已知大正方形 的面积是100，小正方形 的面积是4，那么 __．【答案】 ##0.75
【分析】根据两个正方形的面积可得 ， ，设 ，得到 ，由勾股定理得
，解方程可得x的值，从而解决问题．
【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴ ．
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴ ，
设 ，
则 ，
由勾股定理得， ，
解得 或 （负值舍去），
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 ，已知窗户
的高度 ，窗台的高度 ，窗外水平遮阳篷的宽 ，则 的长度为______（结果精
确到 ）．【答案】4.4m##4.4米
【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得
，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，
∵ ，∴ ，
∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴ ，
即 的长度为4.4m．故答案为：4.4m.
16．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，
他从古塔底部点处前行 到达斜坡 的底部点C处，然后沿斜坡 前行 到达最佳测量点D处，
在点D处测得塔顶A的仰角为 ，已知斜坡的斜面坡度 ，且点A，B，C，D，在同一平面内，小
明同学测得古塔 的高度是___________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF= x m，求出x=10，则BH=DF=
+30，CF= m，DH=BF，再求出AH= ，即可求解．【详解】
解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1： ，
∴ ，
设DF=x m，CF= x m，
∴CD= ，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF= m，
∴DH=BF= +30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AH= （m），
∴AB=AH+BH= （m），
故答案为： ．
三、简答题（共46分）
17．（7分）计算： ．
【答案】-3【分析】
根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式
．
18．（7分）（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA
的值．
【答案】AC=4，sinA=
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴ ．
．
19．（8分）（2022·浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α
为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，
cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=AB⋅sin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
20．（12分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 的高度．如图所
示，其中观景平台斜坡 的长是20米，坡角为 ，斜坡 底部 与大楼底端 的距离 为74米，
与地面 垂直的路灯 的高度是3米，从楼顶 测得路灯 项端 处的俯角是 ．试求大楼 的
高度．
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】96米
【分析】
延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐
角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】
延长 交 于点 ，
过点 作 ，交 于点 ，
由题意得， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， .在 中， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
答：大楼 的高度约为96米.
21．（12分）（2022·四川自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 ．测量时，使支
杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直
径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 ．请说明两个角相等的理由．
（2）实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角
，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 ．（ ，
结果精确到0.1米）
（3）拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决
定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间
的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)10.2米(3) 米
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含 、m的式子表示出PH．
【详解】(1)
证明：∵
∴
∴
(2)
由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米， ，
在Rt△POQ中
tan∠POQ=
∴
∴ （米）
故答案为：10.2米．
(3)
由题意得： ，
由图得：
，
∴
∴∴
∴ 米
故答案为： 米
