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专题 18 全等三角形
【专题目录】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【题型】一、全等三角形的性质
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
【题型】六、全等三角形的判定（HL）
【题型】七、全等三角形综合问题
【题型】八、角平分线的判定定理
【考纲要求】
1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素
2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等
【考点总结】一、全等三角形及其性质
能完全重合的图形叫做全等图形.
全等图形概念
特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
三角
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应
形及
全等三角形概 顶点字母要写在对应位置上。
其性
念 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
质
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
【考点总结】二、全等三角形的判定
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等．
全等三
(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；
角形的
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；
性质与
判定 (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；
判定
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边
距离相等。
【技巧归纳】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交
AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
题型2：两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.
【类型】二、已知两边型
题型1：一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，
BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说
明理由．
题型2：两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
【类型】三、已知两角型
题型1：一次全等型5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.
题型2：两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长
BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
参考答案
1．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.
∴BD＝CD.∴D是BC的中点，即AD是△ABC的中线．
2．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°.
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.
在△ACM和△ADN中，
∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中，
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．
∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.
3．解：BF⊥AE.理由如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
4．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.在Rt△ACE和Rt△BDF中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．∴∠A＝∠B.
∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即AF＝BE.
在△ACF和△BDE中，
∴△ACF≌△BDE(SAS)．
5．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°.
∵AO平分∠BAC，∴∠DAO＝∠EAO.
在△ADO和△AEO中，
∴△ADO≌△AEO(AAS)．
∴OD＝OE.
又∵CD＝BE，∴CD－OD＝BE－OE，即OC＝OB.
6．证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.
又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.
在△FAC和△FDB中，
∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴CF＝BF.
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
【类型】二、构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，
其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.【类型】三、旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
【类型】四、平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，
且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
【类型】五、倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【类型】六、截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
参考答案
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕
为BE)
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD和△FBD中，∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在
△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠HAF＝45°.[来源:学科网]
点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到
△ABH.
4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，
∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.
易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.
∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.
又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，
∴∠BOP＝70°.
∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.
∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，
∴∠BNO＝∠BNP＝90°，
又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.
∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(2)解：∵AB－BE
