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专题 18 平行四边形
1. 平行四边形：两组对边分别平行的四边形.
2. 平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行;
（2）平行四边形的对边相等;
（3）平行四边形的对角相等;
（4）平行四边形的对角线互相平分.
3. 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【考点1】平行四边形的性质
【例1】（2022·四川内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于
▱
点M，则DM的长为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC
＝8，进而可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【例2】（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点A落在E处．若
， ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质，得出 ，根据平行线的性质，得出 ，根据折叠得出 ，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ ， ，
根据折叠可知， ，∴ ，
，∴ ，故C正确．故选：C．
在解答平行四边形的题型中，往往涉及到三角形的全等证明，在对学生的综合考查方面有一定要求
1．（2022·广东）如图，在 中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC故选C．
2．（2022·江苏无锡）如图，在 ABCD中， ， ，点E在AD上， ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF= ，DE=DF-EF=（ -1）x，
AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2- ）2x2+X2=（8-4 ）x2，从而求得
，再由AB=CD，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵ ABCD，∴CD=AB，CD AB，∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵ ∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，
∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF= ，
∴DE=DF-EF=（ -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2- ）2x2+x2=（8-4 ）x2，
∴ ∴ ，∵AB=CD，∴ ，故选：D．
3．（2021·天津中考真题）如图， 的顶点A，B，C的坐标分别是 ，则顶
点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)，
∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度，
∴A到D也应向右移动4个单位长度，
∵点A的坐标为(0，1)，
则点D的坐标为(4，1)，
故选:C．
4．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O是 对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点
E，F．下列结论成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】
∵点O是 对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若 ，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故选：A．
5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若
， ，则 的面积为________．
【答案】50
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得
到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50．
【考点2】平行四边形的判定
【例3】如图，在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． ， B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可．【详解】解：根据平行四边形的判定定理一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判断
能判定四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
【例4】（2022·黑龙江大庆）如图，在四边形 中，点E，C为对角线 上的两点，
．连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由 可得 ，证明 ，则 ， ，进
而结论得证；
（2）由 ，可知 ， ，则 ，证明
，进而结论得证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）证明：由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1．（2021·四川资阳市）下列命题正确的是（ ）
A．每个内角都相等的多边形是正多边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐
项进行判断即可得到结论．【详解】
解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意；
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意；
C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意；
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意．
故选：B．
2．（2021·湖南）如图，点 在矩形 的对角线 所在的直线上， ，则四边形 是
（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形
状．
【详解】解：由题意：
，
，
又 ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
故选：A．
3．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四
边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边
形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．逐一判定即可求解．
【详解】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以判定，故正确；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．
故选：D．
4．（2022·内蒙古赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形
，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形 周长不变 B． C．四边形 面积不变 D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ；故D符合题意；
随着一张纸条在转动过程中， 不一定等于 ，四边形 周长、面积都会改变；故A、B、C不符
合题意；故选：D
5．如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．【分析】（1）先由全等三角形的性质得BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，再证∠EAD＝∠AEB，得
BC∥AD，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，得∠ADC＝∠B，再证△ABE是等
边三角形，得∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．
