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专题 18 平行四边形
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．在 中，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的对角相等即可选择正确的选项．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
故选：B．
2．关于平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，但是中心对称图形D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形进行判定即可．
【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．如图， 的对角线 、 交于 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可直接判断求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
A、OA=OB，不一定成立，故该选项不符合题意；
B、AC=BD，不一定成立，故该选项不符合题意；
C、AB=CD，成立，故该选项符合题意；
D、 ，不一定成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【解析】
【分析】
由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出
∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
即BE=BC﹣EC=8﹣6=2．
故选：A．
6．如图，EF过 ABCD的对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是
ABCD面积的▱( )
▱
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形对角线互相平分,中线将三角形面积平分这一性质解题.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,EF经过对角线交点O,
∴易得S =S ,
△BEO △DFO
∴S
阴影部分
=S
△AOB
= S▱ABCD
故选C.
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市光华中学校八年级阶段练习）在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件
中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平
行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一
组对边平行且相等的四边形是平行四边形．逐一判定即可求解．【详解】
解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以判定，故正确；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点
的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个．
【详解】解：如图所示：
观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4），
∴点D的坐标不可能是（-3，2）.
故选：D．
9．如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的
▱
长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】先证△ABO≌△AFO得到OB的长度，再用勾股定理求AO的长，再证△AOF≌△EOB，从而得到
AE=2AO，即可求得AE的长．
【详解】解：设AG与BF交点为O，如图所示：
∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,
∴△ABO≌△AFO,
∴BO=FO，∠AOB=∠AOF=90º，
∵BF＝6
∴BO=FO= BF＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
在
▱
ABCD中，AF∥BE,
∴∠FAO=∠BEO
又∵BO=FO，∠AOB=∠AOF
∴△AOF≌△EOB,
∴AO=EO,
∴AE=2AO=8，
故选C．
10．如图，平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ， 、 分别是对角线BD上的两点，给出
下列四个条件：① ；② ；③ ；④ .其中能判断四边形
是平行四边形的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定及全等三角形的性质即可作出判断．
【详解】
解：A、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若BE=DF，则OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
B、∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若DE=BF，则OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
C、若∠BAE=∠DAF，不能判断四边形 是平行四边形；
D、∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC
∴∠ADB =∠DBC ，
∵∠BCE=∠DAF，
在△DAF和△BCE中， ，
∴△DAF≌△BCE，
∴ DF=BE，
∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021·湖南中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点．已
知 ，则 _____．【答案】5
【分析】
直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．
【详解】
解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝ BC＝5．
故答案为：5．
12．如图，在平行四边形ABCD中， 于E， 于F，若 ， ，平行四边形
ABCD的周长为20．则平行四边形ABCD的面积为________．
【答案】12
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设 ，则 ，根据“等面积法”列方程，求BC，从
而求出平行四边形的面积．
【详解】设 ，则 ，
根据“等面积法”得，
解得
平行四边形的面积
故答案为：12．
13．（2021·江苏）如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若 ，则点A的坐标是__________．
【答案】（3，0）
【分析】根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴点A的坐标是（3，0），
故答案是：（3，0）．
14．如图，在 ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在AD，BA的延长线上，CE∥BD，EF⊥AB，BC＝1，
则EF的长为 ▱ ．
【分析】根据平行四边形性质推出AD＝BC，BC∥AD，得出平行四边形BCED，推出DE＝BC＝AD，求出
AE的长，进而根据勾股定理即可求出EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，BC∥AD，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴DE＝BC＝AD＝1，即D为AE中点，
∴AE＝2，
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ABC＝60°，∠AEF＝30°，
1
∴AF= AE＝1，
2
∴EF ，
=√AE2−AF2=√22−12=√3
故答案为：√3．
15．（2021·湖南中考真题）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ，若
， ，则 的度数是____．
【答案】40°
【分析】如图，由折叠的性质可得 ，进而可得 ，然后易得四
边形 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．
【详解】解：如图所示：∵ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
故答案为40°．
16．（2022·贵州毕节）如图，在 中， ，点P为 边上任意一点，连
接 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，连接 ，则 长度的最小值为_________．
【答案】 ##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线
段最短得到点P的位置，再证明 利用对应线段的比得到 的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线 ，
∵ ,∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴则PQ的最小值为 ，
故答案为： ．
三、简答题（共46分）
17．（7分）（2021·新疆中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且
．
求证：（1） ；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析．
【分析】
（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到 ；
（2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据 可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到
四边形AEFD是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，
∴∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，，
∴ （SAS）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
即AD=BE+EC，
∵BE=CF，
∴AD=CF+EC，
即AD=EF，
∵点F在BC的延长线上，
∴AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
18．（7分）（2021·广西）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB
于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠1＝∠2．
（2）∵点O是对角线BD的中点，∴OD=OB，
在△DOF和△BOE中， ，
∴△DOF≌△BOE．
19．（8分）如图，点B、E分别在AC，DF上，AF分别交BD、CE于点M、N， ，
．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形．
（2）连接BN，若BN平分 ， ，求CN的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）5
【分析】（1）证明BD∥CE，得∠C＝∠ABD，再证∠ABD＝∠D，得BC∥DE，然后由平行四边形的判定
即可得出结论；
（2）由平行线的性质和平行四边形的性质得∠DBN＝∠BNC，BC＝DE＝5，再证∠CBN＝∠BNC，即可得
出结论．
【小问1详解】
证明：∵∠BMA＝∠ENF，∠ANC＝∠ENF，
∴∠BMA＝∠ANC，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴BC∥DE，
∴四边形BCED是平行四边形．
【小问2详解】
解：由（1）可知，BD∥CE，四边形BCED是平行四边形，∴∠DBN＝∠BNC，BC＝DE＝5，
∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∴∠CBN＝∠BNC，
∴CN＝BC＝5．
20．（12分）如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先由全等三角形的性质得 BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，再证∠EAD＝∠AEB，得
BC∥AD，即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，得∠ADC＝∠B，再证△ABE是等
边三角形，得∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．21．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为 ，
，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：
（1）若点P是线段AC的中点，直接写出 ________．
（2）如图2，过点P作 轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出
点P的坐标．
（3）连接BP，若 是等腰三角形，求CP的长度．
【答案】（1） ； （2）（ ， ）或（ ， ）； （3） 或3或 ．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OA＝3，根据三角形中位线定理得出答
案；
（2）由PE⊥x轴得PE∥CD，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝CD＝ ．点P纵
坐标的绝对值是 ，求出直线AC的解析式为y＝− x＋ ，分两种情况：若点P在线段AC上，纵坐
标是 ；若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是− ，分别求出点P的坐标即可；
（3）分三种情况：①当PB＝PC时，②当CP＝CB时，③当BP＝BC时，根据等腰三角形的性质解直角三
角形即可求解．【小问1详解】解：∵C（0， ），∠AOC＝90°，∠CAO＝30°，
∴AC＝2OC＝2 ，
∴OA＝ ＝3，
∵点D是OC的中点，点P是线段AC的中点，
∴PD是 AOC的中位线，
△
∴PD＝ OA＝ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
∵PE⊥x轴，
∴PE∥CD，
若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝CD＝ OC＝ ．
∴点P的纵坐标绝对值是 ，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
把A（3，0）、C（0， ）代入得， ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
若点P在线段AC上，纵坐标是 ，则 ，
解得：x＝ ，
此时，点P的坐标为（ ， ）；
若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是 ，
则 ，
解得：x＝ ，
此时，点P的坐标为（ ， ），
综上所述，点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
【小问3详解】
①当PB＝PC时，如图：过点P作PQ⊥BC于点Q，
∴∠PQC＝90°，
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴CQ＝BQ＝ BC＝ ，
∵BC∥OA，∴∠PCQ＝∠CAO＝30°，
∴PQ＝ CQ＝ ，
∴CP＝2PQ＝ ；
②当CP＝CB时，CP＝3；
③当BP＝BC时，过点B作BH⊥CP于点H，如图：
∴∠CHB＝90°，CP＝2CH，
在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，BC＝3，
∴BH＝ ，
∴CH＝ BH＝ ，
∴CP＝2CH＝ ．
综上，若 CPB是等腰三角形，CP的长度为： 或3或 ．
△
