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专题18 相交线与平行线
一、垂线及垂线段最短
【高频考点精讲】
1、垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫
做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2、垂线性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3、垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。
（2）涉及线路最短问题时，从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”中选择方案。
【热点题型精练】
1．（2022•威海中考）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，
∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点
是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK，如下图所示：
根据图形可以看出OB是反射光线，
答案：B．
2．（2022•河南中考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（
）A．26° B．36° C．44° D．54°
解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
答案：B．
3．（2022•泸州中考）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝
130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
答案：B．4．（2022•张家口模拟）如图，∠O＝40°，点D在OB上，CD⊥OA，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．不能确定
解：延长CD交OA于点E，如图，
则根据题意，∠BDC＝∠ODE＝90°﹣40°＝50°，
答案：A．
5．（2022•常州中考）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走
过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
答案：A．
6．（2022•商丘模拟）如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的
四个方案中，管道长度最短的是（ ）A． B． C． D．
解：四个方案中，管道长度最短的是B．
答案：B．
7．（2022•保定模拟）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结
PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，
∴PT≥PQ，
答案：C．
8．（2022•铜仁模拟）体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的
脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 垂线段最短 ．
解：为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距
离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是垂线段最短，
答案：垂线段最短．
二、平行线的判定与性质
【高频考点精讲】
1、平行线的判定定理
定理1：两条直线被第三条所截，若同位角相等，则两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）
定理2：两条直线被第三条所截，若内错角相等，则两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）
定理3：两条直线被第三条所截，若同旁内角互补，则两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）
定理4：两条直线都和第三条直线平行，则两条直线平行。
定理5：在同一平面内，若两条直线同时垂直于同一条直线，则两条直线平行。2、平行线的性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）
【热点题型精练】
9．（2022•盐城中考）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
解：如图，
过点G作GH∥ED，
∵BC∥ED，
∴ED∥GH∥BC，
∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，
∵∠HGF+∠AGH＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝90°
∴∠DEF和∠ABC互余，
答案：A．
10．（2022•台州中考）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
答案：C．
11．（2022•深圳中考）一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
解：如图，∠ACB＝45°，∠F＝30°，
∵BC∥EF，
∴∠DCB＝∠F＝30°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
答案：C．
12．（2022•潍坊中考）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出
射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，
∴∠2＝∠1＝40°10'，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，
∵入射光线l与出射光线m平行，
∴∠6＝∠5＝99°40'．
答案：C．
13．（2022•长沙中考）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．105°
解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠DGE＝∠BAE＝75°，
∵AE∥CF，
∴∠DCF＝∠DGE＝75°，
答案：C．
14．（2022•东营中考）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝
40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°．
答案：B．
15．（2022•南通中考）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝80°，
∵∠1﹣∠2＝20°，
∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
答案：C．16．（2022•威海中考）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若
MN∥PQ，则点N的坐标可能是（ ）
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
解：如图所示，
∵P（0，2），Q（3，0）M（1，4），
MN∥PQ，
∴N（4，2）．
答案：C．
17．（2022•宜昌中考）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是
85° ．
解：过点C作CF∥AD，如图，
∵AD∥BE，
∴AD∥CF∥BE，
∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠DAC+∠EBC，
由C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，得
∠DAC＝50°，∠CBE＝35°．
∴∠ACB＝50°+35°＝85°，
答案：85°．
18．（2022•阜新中考）一副三角板如图摆放，直线AB∥CD，则∠ 的度数是 15 ° ．
α
解：如图：
由题意得：
∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠FDC＝180°，
∴∠ ＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC
＝18α0°﹣90°﹣45°﹣30°
＝15°，
答案：15°．
19．（2022•枣庄中考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面
AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB
＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 25 ° ．
解：∵AB∥CD，
∴∠GFB＝∠FED＝45°．∵∠HFB＝20°，
∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．
答案：25°．
20．（2022•武汉中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
（1）解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠BAD＝100°；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝50°，
∵∠BCD＝50°，
∴∠AEB＝∠BCD，
∴AE∥DC．
三、平行线间的距离
【高频考点精讲】
1、平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离。
2、平行线间的距离处处相等。
【热点题型精练】
21．（2022•杭州模拟）如图，直线l ∥l ，其中P在l 上，A、B、C、D在l 上，且PB⊥l ，则l 与l 间的距离是
1 2 1 2 2 1 2
（ ）A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
解：两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离，
所以l 与l 间的距离是线段 PB 的长度．
1 2
答案：B．
22．（2022•廊坊模拟）如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（
）
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点P向左还是向右移动
解：设平行线AB、CD间的距离为h，
1
则S△PCD = CD•h，
2
∵CD长度不变，h大小不变，
∴三角形的面积不变．
答案：C．
23．（2022•衡水模拟）如图，已知直线a∥b，点A、B、C在直线a上，点D、E、F在直线b上，AB＝EF＝2，
若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
解：∵直线a∥b，点A、B、C在直线a上，
∴点D到直线a的距离与点C到直线B的距离相等．
又∵AB＝EF＝2，
∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，
∴S△ABD ＝S△CEF ＝5，
答案：C．24．（2022•铜仁模拟）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB与CD的距离是12cm，EF
与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 7 或 1 7 cm．
解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当AB，CD在EF同侧时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
答案：7或17．
25．（2022•常州模拟）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE
的面积为 8 ．
解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，
在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，
∵AE∥BD，
∴h＝h′，∵△ABD的面积为16，BD＝8，
∴h＝4．
1
则△ACE的面积= ×4×4＝8．
2
26．（2022•六盘水模拟）如图，已知，l ∥l ，C 在l 上，并且C A⊥l ，A为垂足，C ，C 是l 上任意两点，点
1 2 1 1 1 2 2 3 1
B在l 上．设△ABC 的面积为S ，△ABC 的面积为S ，△ABC 的面积为S ，小颖认为S ＝S ＝S ，请帮小颖
2 1 1 2 2 3 3 1 2 3
说明理由．
解：∵直线l ∥l ，
1 2
∴△ABC ，△ABC ，△ABC 的底边AB上的高相等，
1 2 3
∴△ABC ，△ABC ，△ABC 这3个三角形同底，等高，
1 2 3
∴△ABC ，△ABC ，△ABC 这些三角形的面积相等．
1 2 3
即S ＝S ＝S ．
1 2 3
