专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）（全国通用）（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习

专题 18 解直角三角形（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 锐角三角函数的定义】...........................................................................................................................1
【考点2 锐角三角函数的增减性】.......................................................................................................................3
【考点3 同角三角函数的关系】...........................................................................................................................3
【考点4 互余两角三角函数的关系】...................................................................................................................3
【考点5 特殊角的三角函数】...............................................................................................................................5
【考点6 解直角三角形】.......................................................................................................................................6
【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】................................................................................................7
【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】...................................................................................................9
【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】..............................................................................................11
【考点10 解直角三角形应用之其他问题】.........................................................................................................12
【要点1 锐角三角函数】
在 中， ，则 的三角函数为
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 A的对边 a 0sin A1
sinA sinA
斜边 c (∠A为锐角) sin AcosB
余弦 A的邻边 b 0cosA1
cos AsinB
cosA cosA
斜边 c (∠A为锐角) sin2 Acos2 A1
正切 A的对边 a tanA 0
tanA tanA
A的邻边 b (∠A为锐角)
【考点1 锐角三角函数的定义】
【例1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴
正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P(1,1)，
则tan∠OAP的值是（ ）√3 √2 1
A． B． C． D．3
3 2 3
【变式1-1】（2022·上海·上海市进才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列
四个选项，正确的是（ ）
3 4 4 4
A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB=
4 3 5 5
【变式1-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，
AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若AD＝3，AC＝2，则cosD 的值为（ ）
√3 √5 √5 2
A． B． C． D．
2 3 2 3
【变式1-3】（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿
BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）8 7 15 8
A． B． C． D．
17 15 17 15
【考点2 锐角三角函数的增减性】
【例2】（2022·上海静安·统考一模）如果0°<∠A<45°，那么sin A与cosA的差（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【变式2-1】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
1 √3
A．0<sinA< B．0<cosA<
2 2
√3
C． <tan A<1 D．1<cot A<√3
3
【变式2-2】（2022·甘肃张掖·统考模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（ ）
A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小
B．C．tanα随α的增大而增大 D．0<sinα<1
【变式2-3】（2022·浙江宁波·校联考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
【考点3 同角三角函数的关系】
【例3】（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知m为实数，且sinα，cosα是关于
x的方程4x2−mx+1=0的两根，则sin4α+cos4α的值为（ ）
1 3 7
A． B． C． D．1
8 4 8
2
【变式3-1】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）在Rt ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则
3
△
cosA＝（ ）
√13 √13 √5 √5
A． B． C． D．
3 2 3 2
3sinαcosα
【变式3-2】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知tanα=5，则 = ________．
2sin2α+cos2α
【变式3-3】（2022·湖北·校联考一模）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：⑴
asinθ+bcosθ−c=0；⑵acosθ−bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式
是：___________
【考点4 互余两角三角函数的关系】
【例4】（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE=β，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
( 2 5 ) ( 2 5 )
A．2 + B．2 +
cosβ sinβ sinβ cosβ
( 2 5 ) ( 2 5 )
C．2 + D．2 +
sinβ tanβ tanβ cosβ
【变式4-1】（2022·安徽宣城·校联考一模）在Rt ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．sinA＝sinB B．△cosA＝sinB
C．sinA＝cosB D．sin（A+B）＝sinC
【变式4-2】（2022·湖北武汉·统考三模）如图，在 ABC中，tan∠BAC•tan∠ABC=1，⊙O经过A、B两点，
分别交AC、BC于D、E两点，若DE=10，AB=24，则△⊙O的半径为（ ）
A．10√2 B．8√3
25
C．13 D．
2
【变式4-3】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，
A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（ ）A．25：9 B．5：3 C． ： D．5 ：3
【要点2 特殊角的三角函数值】
三角函数 30° 45° 60°
1 2 3
sin
2 2 2
cos 3 2 1
2 2 2
3
tan 1 3
3
【考点5 特殊角的三角函数】
【例5】（2022·山东济宁·校考二模）如图，在正方形ABCB 中，AB=√3，AB与直线l所夹锐角为60∘，
1
延长CB 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，延长C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B ，延长
1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3
C B 交直线l于点A ，作正方形A B C B …，依次规律，则线段A A =（ ）
2 3 3 3 3 3 4 2021 2022
2019 2020 2021 2022
A． (√3) B． (√3) C． (√3) D． (√3)
2× 2× 2× 2×
3 3 3 3
【变式5-1】（2022·山东日照·统考中考真题）在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-2】（2022·福建泉州·统考二模）如图，在菱形ABCD中，AC=CD，则cosB的值为（ ）
3 √3 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 2
【变式5-3】（2022·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B．4√3 C．8 D．4√6
【要点3 解直角三角形的类型和解法】
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
A C
邻边
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【考点6 解直角三角形】
【例6】（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB=3√2．Rt△BEF中，
∠BEF=90°,EF过点D，BE,BF分别交AD,CD于点G，M，连接OE,OM,EM．若
1
BG=DF,tan∠ABG= ，则△OEM的周长为___________．
3
【变式6-1】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与
BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽
BD的长为_________．【变式6-2】（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为C´E的中点，过点D作
DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【变式6-3】（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，线段AB绕点A逆
时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接
EC．
(1)如图①，当α=20°时，∠AEB的度数是_____________；
(2)如图②，当0°<α<90°时，求证：BD+2CE=√2AE；
BD
(3)当0°<α<180°,AE=2CE时，请直接写出 的值．
ED
【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
【例7】（2022·山东聊城·统考中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，
当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的
顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39
米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：
sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
）
【变式7-1】（2022·山东济南·统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，
他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，
D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，
tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
【变式7-2】（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口
P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即
tan∠ABC）为1:√3（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上）．(1)∠PBA的度数等于________度（直接填空）
(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1m，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
【变式7-3】（2022·四川自贡·统考中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程
如下：
(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径
两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角
∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（√3≈1.73，结果精确到0.1米）
(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定
先在水平地面上选取观测点E,F （E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间的
距离m，点O ,O 到地面的距离O E,O F均为1.5米；求PH（用α,β,m表示）．
1 2 1 2
【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】
【例8】（2022·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人
络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P 处的临皋亭和P
1 2
处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；
当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 处与遗爱
1
亭P 处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）
2
【变式8-1】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°
方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的公路，
路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程(结果保留整数．参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7)．
【变式8-2】（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得
岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有
暗礁．参考数据：√3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？
【变式8-3】（2022·四川成都·校联考三模）如图，m，n为河流南北两岸的平行道路，北岸道路A，B和南
岸道路D点处各有一株古树．已知B，D两株古树间的距离为200米，为了测量A，B两株古树之间的距离，
在南岸道路C点处测得古树A位于北偏西42°方向，在D处测得古树B位于北偏西30°方向．已知CD=280
米，求A，B两株古树之间的距离．（结果保留整数）
27 3 9
参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin42°≈ ，cos42°≈ ，tan42°≈ ．
40 4 10
【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
【例9】（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC的坡度
为i =1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为
1
，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据： ， ．结果精确到
i =1:√3 √2≈1.41 √3≈1.73
2
0.1m）
【变式9-1】（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山
坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=√2千米．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．
【变式9-2】（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡OA−AB上进行跑步训练．在训练过程中，
始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为3m/s，距水平地面的高度总为15m（在直线
y=15上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知OA=10√10m，斜坡OA的坡度i=1：3，
斜坡AB的坡角为22.5°．
(1)点A坐标为______，OA段y关于x的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡AB上的跑步速度是______m/s，并求AB段y关于x的函数解析式；
(3)若小明沿O−A−B方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：
5 12 5
sin22.5°≈ ，cos22.5°≈ ，tan22.5°≈ ）
13 13 12
【变式9-3】（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）如图是某大型商场一层到二层的自动扶梯侧面示意
图，小明在一层的A处用测角仪（测角仪高度忽略不计）测得天花板上的日光灯P的仰角为27°，他向正
前方走了5米来到扶梯起点B处，乘坐扶梯BD上行13米到达二层的D处，此时用测角仪测得日光灯P的
仰角为53°，已知自动扶梯BD的坡度为1∶2.4．
9 9 1 4 3 4
参考数据：sin27°≈ ，cos27°≈ ，tan27°≈ ，sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ．
20 10 2 5 5 3(1)求图中点D到一层地面的高度；
(2)根据规定，商场两层总楼高要大于10米，判断该商场楼高是否符合规定，并说明理由．
【考点10 解直角三角形应用之其他问题】
【例10】（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商
品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段
AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，
解决下列问题；参考数据：√2≈1．41，√3≈1．73，√6≈2．45．
(1)求AC的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
【变式10-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部
未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔
原来高度为( )A．120m B．60√3m C．60√5m D．120√3m
【变式10-2】（2022·山东枣庄·校考模拟预测）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE
为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按
压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．求点D到直线EF的距离（结果精
确到0.1cm）．（参考数据：
sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【变式10-3】（2022·江苏连云港·校考三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，
始见于《墨子⋅备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于
水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1．当点A位于最高点时，
∠AOM=127°．
(1)求点A位于最高点时到地面的距离；
(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A 时，求此时水桶B上升的高度．
1
（考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）