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专题 4-3 三角函数与解三角形典型大题归类
目录
专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类.................................................................................1
..................................................................................1
题型一：三角形中线问题.................................................................................................................1
题型二：三角形角平分线问题.........................................................................................................4
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）........................................................8
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）......................................................................10
题型五：四边形问题.......................................................................................................................14
. ............................................................17
题型一：三角形中线问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北张家口·高三期中）已知 的内角 ， ， 的对边分别为
， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 边上中线长为 ， ，求 的面积．例题2．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）已知函数
．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ， ，若 为 上一点，
满足 为 的中线，且 ，求 的周长．
【提分秘籍】
1、向量化(三角形中线问题）
如图在 中， 为 的中点， (此秘籍在解决三角形中线问题
时，高效便捷）
2、角互补
【变式演练】
1．（2022·北京市十一学校高三阶段练习） 中，已知
．
(1)求 ；
(2)记 边上的中线为 ．求 和 的长度．2．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））已知 中，内角 ， ，
所对的边分别为 ， ， ，且
(1)求 ；
(2)若 边上的中线长为 ， ，求 的面积．
3．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）在 中，
边上的中线长为 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长题型二：三角形角平分线问题
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为
， ， ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ， 的内角平分线交边 于点D，求 ．
例题2．（2022·山西·高一阶段练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小，
(2)若 ，角 的角平分线交 于 ，且 ，求 的面积．
【提分秘籍】
角平分线如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在 中有： ;
在 中有：
【变式演练】
1．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知 的内角 的对边分别为
,且 .
(1)求 的值;
(2)给出以下三个条件:条件①: ;条件②: , ;条件③: .
这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求 的值;
（ii）求 的角平分线 的长.
2．（2022·广东·模拟预测） 中， ， ， ， .(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
3．（2022·湖南·长沙一中高二期中）在锐角 中，内角 的对边分别为
，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若 ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 面积的取值范围.
4．（2022·黑龙江·哈九中高三阶段练习）已知向量 ，
，函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若
恰好为函数 的最大值，且此时 ，求3a＋4b的最小值．
5．（2022·黑龙江·铁人中学高三阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求角 ；
(2)角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
6．（2022·江苏淮安·模拟预测）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知tanB
(1)若 ，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面
积．
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）
【典例分析】例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）设向量
，在三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，
且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，边长 ，求三角形 的周长 的值．
例题2．（2022·全国·模拟预测）在① ，② ，③
且 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，______.
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 为边 的中点，且 ，求 周长的最大值.
例题3．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中） 的内角 ， ， 的对边
分别为 ， ， ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围.【提分秘籍】
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助
角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知在 中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，且 ．
(1)若 ，求证： 为直角三角形；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文）） 三角形的内角 的对边分别
为 ，
(1)求 ；
(2)已知 ，求 周长的最大值．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别为锐角△ 三个内角 ， ， 的
对边，记三角形的面积为 ，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，试求△ 周长的取值范围．题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）记 的内角 、 、 的对边分别为
、 、 ，已知 ， ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的面积．
例题2．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））在 中，内角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
例题3．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角 中，角 ， ， 所对的
边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 是 边上的一点，且 ， ，求 面积的最大值．例题4．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知 中，内角 ， ，
所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)若 ，求 外接圆的面积；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【提分秘籍】
常用的三角形面积公式
1
（1）S = ×底×高；
ΔABC 2
1 1 1
（2）S = absinC= bcsinA= casinB（两边夹一角）；
ΔABC 2 2 2
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，
根据角的取值范围，求面积的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，
且 ．
(1)求角C的大小；(2)若 ， ，求△ABC的面积．
2．（2022·全国·模拟预测）在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且
， .
(1)求角 的大小；
(2)求 面积的取值范围.
3．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）在 中，角 所对的边分别为
，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
4．（2022·广西广西·模拟预测（理））记 的面积为S，其内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知
(1)求角C.
(2)求 面积的最大值.5．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）在 中，角 的对边分别是 且
满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求锐角 的面积 的取值范围.
题型五：四边形问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北·高三期中）如图所示，在四边形ABCD中， ，
，(1)求 ；
(2)若 为 的平分线，试求 ．
例题2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）如图，在平面四边形 中，
， ．
(1)若 平分 ，证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
例题3．（2022·安徽·蚌埠二中高三阶段练习）如图，在梯形 中， ，
．
(1)若 ，求 周长的最大值；(2)若 ， ，求 的值．
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）在 中，角 所对的边分别为 ，
.
(1)判断 的形状，并加以证明；
(2)如图， 外存在一点D，使得 且 ，求 .
2．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）在平面四边形 中，
为等边三角形，设 .(1)求四边形 面积的最大值，以及相应 的值；
(2)求四边形 对角线 长度的最大值，以及相应 的值.
3．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中， ，
， .
(1)若 ABC的面积为 ，求AC；
△
(2)若 ， ，求 .
.
1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高三阶段练习）在① ，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解
答该问题.问题：锐角 的内角 的对边分别为 ，且______.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
2．（2022·山东·汶上县第一中学高三阶段练习）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分
别是a，b，c， ， ， .
(1)求角A的值；
(2)求 的面积.
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在 中，角 的对边
分别为 ， ， ， 且 ．
(1)求 ；(2)求 面积的最大值．
4．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别
为a，b，c， .
(1)求角B；
(2)若 的面积为 ，求b的最小值.
5．（2022·北京·海淀实验中学高三阶段练习）已知在 中， ，
．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中
线的长度．
① 周长为 ；② ；③ 面积为 ；④
6．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知在 中，角 所对的边分别
为 ，且 .
(1)求 ；(2)设点 是边 的中点，若 ，求 的取值范围.
7．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）在锐角 中，内角 、 、 所对的边分别为
， ， ， ， ，向量 ， 的夹角为 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
8．（2022·湖北·高三阶段练习）已知在 中，边 , , 所对的角分别为 ， ， ，
.
(1)证明： , , 成等比数列；
(2)求角 的最大值.
9．（2022·江苏·昆山震川高级中学高三阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别
a，b，c，若2ccosB＝2a＋b．
(1)求角C；(2)若△ABC的面积为4 ，则3a2＋c2的最小值．
10．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）在①
；②
，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并
加以解答________
(1)求角 ；
(2)若 ， ， 在线段 上，且满足 ，求线段 的长度.
