文档内容
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专题 08 锐角三角形及其应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 解直角三角形
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 锐角三角函数与几何图形综合
类型一 锐角三角函数与等腰三角形综合
类型二 锐角三角函数与等边三角形综合
类型三 锐角三角函数与直角三角形综合
类型四 锐角三角函数与矩形综合
类型五 锐角三角函数与菱形综合
类型六 锐角三角函数与正方形综合
类型七 锐角三角函数与圆综合
类型八 锐角三角函数与圆及四边形综合
类型九 锐角三角函数与圆及三角形综合
题型02 锐角三角函数与函数综合
类型一 锐角三角函数与反比例函数综合
类型二 锐角三角函数与二次函数综合
题型03 12345模型
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 解直角三角形的实际应用
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 仰角俯角问题
题型02 方位角问题
题型03 坡度坡角问题
题型04 与不易测量相关问题
题型05 与可调节的滑动悬杆问题
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计
解直角三角形
算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主.其中，锐角三角函数的性质
解直角三角形的实际 及解直角三角形多以选择填空题为主，解直角三角形的应用多以解答题为主，考点
应用 所占分值有3-12分，还是需要考生对这块考点多加重视.
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考点一 解直角三角形
题型01 锐角三角函数与几何图形综合
类型一 锐角三角函数与等腰三角形综合
1
1．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB= ，点D是边BC的中点，
4
CE
以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE=∠B，连接CE，则 的值为（ ）
AD
3 √15
A． B．√3 C． D．2
2 2
1
2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝ ，点P在边
3
AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长
的最大值为 ．
3．（2020·甘肃天水·中考真题）性质探究
如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为_________．
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理解运用
（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2√3，则它的面积为_________；
（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF=EG=EH.在边FG，GH上分别取中点M,N，连接MN.若
∠FGH=120°，EF=20，求线段MN的长．
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________(用含α的式子表示)
类型二 锐角三角函数与等边三角形综合
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，B(0,4)，
点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标
为 ；点D的坐标为 ．
2．（2023·湖南郴州·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，
使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
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①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．
3．（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE=CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边
上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD=4√2，BD=3CD，求cos∠AFB的值．
类型三 锐角三角函数与直角三角形综合
1．（2023·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中
相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作
EH⊥ AB于点H．当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为（ ）
3 4
A．√3 B． C．√2 D．
2 3
2．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中点，
连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥ AB．若CB=1，那么CE= ．
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3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），过点A
作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF//AM交直线AN于点
F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
4
（2）当tanα= ，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．
3
类型四 锐角三角函数与矩形综合
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，
AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=2√3，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．16√3 B．8√3+4 C．4√3+8 D．8√3+8
2．（2023·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．
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(1)求证：四边形AECF是矩形；
1
(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB= ，求BC的长．
2
3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=√2AB，小天用该A4纸玩折
纸游戏．
游戏1 折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点
F恰为BC的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上
的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．
类型五 锐角三角函数与菱形综合
1．（2023·山东济南·中考真题）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的
点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于 ．
2．（2023·广东广州·中考真题）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
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(1)尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写
作法）；
(2)在（1）所作的图中，连接BD，CE；
①求证：△ABD∽△ACE；
1
②若tan∠BAC= ，求cos∠DCE的值．
3
3．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S =20时，则BE⋅CF=______．
矩形ABCD
1
（2）如图，在菱形ABCD中，cosA= ，过C作CE⊥ AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥ AD交
3
AD于点F，若S =24时，求EF⋅BC的值．
菱形ABCD
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC
上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=7√3时，请直接写出
AG的长．
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类型六 锐角三角函数与正方形综合
1．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的
证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千
百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH
的边长之比为√5:1，则sin∠DGE等于（ ）
√10 √5 3 2
A． B． C． √10 D． √5
10 5 10 5
2．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图 1 所示纸片中，
∠ACB=90°(AC0)的图象与BC交于点D，与对角线
x
OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①sin∠DOC=cos∠BOC；②
OE=BE；③S =S ；④OD:DF=2:3．其中正确的结论有（ ）
△DOE △BEF
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
k
2．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，点 A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB⊥ y轴于点B，
x
1
tan∠AOB= ，AB=2．
2
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
1 k
3．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数y= x与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，
2 x
2
AB⊥x轴于点B，延长AB至点C，连接OC．若cos∠BOC= ，OC=3．
3
（1）求OB的长和反比例函数的解析式；
（2）将△AOB绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．
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类型二 锐角三角函数与二次函数综合
1
1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y= x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶
2
点是C．
(1)b=_______；
5
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD= ；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物
2
线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范
围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接
PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．
1
2．（2022·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y=− x2+bx+c图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），
4
图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且
∠CAD=90∘．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由．
5
3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+ x+c经过点(3,1)，与y轴交于点B(0,5)，点E
3
为第一象限内抛物线上一动点．
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(1)求抛物线的解析式．
2
(2)直线y= x−4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD于点F，连接BE．
3
当BE=DF时，求点E的横坐标．
3
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M．若OE=BN，tan∠BME= ，求点E的坐标．
4
题型03 12345模型
1 1
【12345模型简介】对于角α和角β，若满足α+β=45°，tanα= ，则一定tanβ= ，并且这三个式子，
2 3
只要满足其中任意两个，都可以推出另外一个。
1 1
已知△ABC为等腰直角三角形，点D为线段AB的中点，设∠BCD=α，∠ACD=β, 且tanα= ，则tanβ=
2 3
【证明过程】过点D作DE⊥AC
1
设AB=BC=4,则AD=2，AC=4√2, DE=AE=√2 ∴CE=3√2 ∴tanβ=
3
∵α+β=45°，∴tan（α+β）=1, ∠CDE=α+45°，∠BDE=β+45°（三角形内角和为180°）
∴tan（α+45°）=3，tan（β+45°）=2
在BC上取一点F，使DF=FC, 设BF=x，则DF=4-x
4 3
在Rt△BDF中，由勾股定理解得x=1.5，∴tan2α= ，tan2β=
3 4
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A
√2
45°
2 E
√2
D
α+45°
3√2
2β
2 β+45° 4-x
β
2α α
B x F C
1．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，
过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则
MN的长为（ ）
2 5 6
A． B． C． D．1
3 6 7
2．（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，
1
且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC= ，则点C的坐标为 ．
3
3．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩
形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD
＝4，BE＝2，则DF的长是（ ）
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7 3√2
A．2 B． C． D．3
4 2
4．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径
1
画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧交于点P，作射线
2
BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A．√10 B．√11 C．2√3 D．4
5．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
1
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα= ，则
2
1
tanβ= ．
3
1
证明：设BE=k，∵tanα= ，∴AB=2k，
2
易证△AEB≌△EFC(AAS)
∴EC=2k,CF=k，
∴FD=k,AD=3k
DF k 1
∴tanβ= = = ，
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
2 3
1 1
同理：若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
3 2
根据上述材料，完成下列问题：
m
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺
x
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时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥ y轴于点N，已知
OA=5．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
A
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b b
sin A= = ，sin B= =
斜边 c 斜边 c
a
∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a C B
cos A= = ，cosB= =
斜边 c 斜边 c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
tan A= = ，tanB= =
邻边 b 邻边 a
解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
斜边和一直角边
(如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A
两边
两直角边
(如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A
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斜边和一锐角
（如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
一边和一锐角 一直角边和一锐角
（如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
另一直角边和一锐角
（如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
1．（2023·重庆·模拟预测）如图，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，分别交⊙O于点A和点B，
3
连接AB，C为⊙O上一点，连接AC，BC．若cosC= ，AP=6，则AB的长度为（ ）
5
36 32 20
A． B．7 C． D．
5 5 3
2．（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、
1
y轴上，连接OB将纸片沿OB折叠，使A落在A'的位置，OB=√5,tan∠BOC= ，则点A'的坐标为
2
（ ）
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( 3 4) ( 4 3) ( √5 )
A． − , B． − , C．(−1,2) D． − ,√5
5 5 5 5 5
3
3．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=12，cosA= ，过点D作
5
DE⊥ AB，垂足为E，连接CE，则sin∠BCE的值为（ ）
7√10 √10 9√10 9√10
A． B． C． D．
50 50 50 10
4．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，∠CDA=∠CAB．若
3
BC=4， tanB= ，则AD的长度为（ ）
4
9 12 15
A． B． C． D．4
4 5 4
5．（2024·重庆·一模）如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，连接OC，E为边AB上一点，
CF⊥DE于点F，若OF= √2，CF=5，则AE的长为( )
3√34
A．2√3 B．√34−2 C．3 D．
5
二、填空题
6．（2024·山西吕梁·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，点F在DA的延长线上，CF与
2
AB相交于点G，若AD=2，tan∠FCE= ，则AG的长为 ．
3
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7．（2024·江苏常州·模拟预测）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为
1
△ABC，已知tanB= ，∠C=45°，则左视图的面积是 ．
3
8．（2024·山西临汾·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上一点，点F在BA边的
延长线上，且CE=AF，连接EF交AD边于点G，HN垂直平分EF，分别交AD，EF，AB于点H，M，
N．若CE=2，则MH的长为 ．
三、解答题
9．（2024·贵州安顺·一模）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点F，交BC于点E，过点F作∠AFD的
2
角平分线交AD于点G，tan∠DBC= ．
3
(1)求证：AE⋅BC=AB⋅BD；
(2)求∠AFG；
(3)若DC=4，求四边形EFDC的面积．
10．（2024·山东济南·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的
延长线交于点F，且∠AFE=∠ABC．
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(1)求证：∠CAB=2∠EAB；
4
(2)若BF=1，sin∠AFE= ，求BC的长．
5
11．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A，B，与y轴
交于点C，其中B(3√2,0)，抛物线的对称轴是直线x=√2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，点M是线段BC上一动点，直线PM交y轴于点N．若
√2
tan∠PNC= ，求PM的最大值及此时点P的坐标；
3
(3)另有抛物线y'的顶点E在线段BC上，y'经过点C，将抛物线y'平移得到新的抛物线yn，点E，C平移后
的对应点分别是点F，G，连接GE．若¿∥x轴，点F在x轴上，yn经过点C，写出所有符合条件的点F的坐
标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程．
12．（2023·河南平顶山·一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC，CD上．连接
AM，AN，MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易
证：△ANM≌△ANE，从而可得：线段DM，BN与MN的关系：______．（请直接写出结论，不必说明
理由）
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N分别在边DC，BC上，连接AM，AN，MN，
1 1
∠MAN=45°，若tan∠BAN= ，求证：tan∠DAM= ．
3 2
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M，N分别在边DC，BC上，连接AM，AN，
已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是______．
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考点二 解直角三角形的实际应用
题型01 仰角俯角问题
1．（2023·内蒙古·中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平
飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河
流右岸D处的俯角为30°，线段AM=24√3米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，
其中tanα=2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.7）．
2．（2023·湖南·中考真题）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心
点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船
从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s
后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
(1)求点A离地面的高度AO；
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(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s，参考数据：√3 ≈1.73)
3．（2023·山东·中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度
BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，
已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根
号）
4．（2023·湖南永州·中考真题）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），
寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观
者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为
45°，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离
（结果精确到0.1米，参考数据：√3≈1.732）
题型02方位角问题
1．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向
上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯
塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，
tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．
2．（2023·海南·中考真题）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北
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方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．
已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)填空：∠AMB= 度，∠BCM= 度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
(3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．
3．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科
技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北
偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方
向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：√2≈1.41，
√6≈2.45）
题型03 坡度坡角问题
1．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置
后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，
BE=20m，DE=2m，求建筑物AB的高度．
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【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子
移动至E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE =2m；再将镜子移动至E 处，恰好通过镜
1 1 2
子看到广告牌的底端A，测出DE =3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m，BD=10m，求这
2
个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如
图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子
平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测
8
出坡比为8:15（即tan∠ADG= ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整
15
数）．
2．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
(1)测量坡角
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如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度
BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆
MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡
AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．
(2)测量山高
同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为
求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山
高DF．（√2≈1.41，结果精确到1米）
(3)测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点
N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β ，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得
1
山顶仰角β ；画一个含β 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a 厘米，b 厘米，再画一个含
2 1 1 1
β 的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a 厘米，b 厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．
2 2 2
（结果用不含β ，β 的字母表示）
1 2
3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1:0.75，底端A在地面上，堤坝与对
面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚
好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'．求堤坝高及山高DE．（sin26°35'≈0.45，
cos26°35'≈0.89，tan26°35'≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）
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题型04 与不易测量相关问题
1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间
的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE=30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得
∠CDE=45°．
(1)求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
(2)若从D点继续沿DE的方向走(12√3+12)米到达P点．求tan∠CPE的值．
2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c．
a b
∵sin A= ，sinB=
c c
a b
∴c= ，c=
sinA sinB
a b
∴ =
sin A sinB
a b
(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究 ， ，
sin A sinB
c
之间的关系，并写出探究过程．
sinC
(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝
60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
3．（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测
得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，设A，B，C，D在
同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17'≈0.35,tan56°19'≈1.50．）
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题型05 与可调节的滑动悬杆问题
1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆
BC=√2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是（ ）
b b
A．a+ B．a+ C．a+bcosa D．a+bsinα
cosa sinα
2．（2022·江苏盐城·中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功
发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机
械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
(1)求A、C两点之间的距离；
(2)求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√5≈2.24）
测量物体的高度的常见模型：
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1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.
2）测量底部可以到达的物体高度
模型 需测量数据 数量关系 原理
测量仪高m， h−m
tanα=
n
h 水平距离n，
α 倾斜角α h= m+n•tanα 矩形的性质与直角三
m
n
角形的边角关系
水平距离n， h h
tana= 1，tanβ= 2
h
1
仰角α， n n
α
β 俯角β h=h 1 +h 2 =n（
h
2 tana+tanaβ）
n
3）测量底部不可到达的物体的高度
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1．（2023·云南·模拟预测）2023年4月20日，云南大学迎来百年校庆，当天晚间，千架无人机在云南大
学上空变换着“云南大学校徽”等图案（如图1） ，书写着百年学府的深厚积淀．小李为记录这次表演，
携带无人机航拍，如图2，某一时刻小李在水平地面点 A 处测得无人机位置点 B的仰角为60°，无人机从
点 B水平飞至点 C 处，小李在点 A 处测得点 C 的仰角为45°，水平地面AF∥BC，若BC=4米，则
此时无人机距离水平地面的距离为（ ）
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A．(6+2√3)米 B．8米 C．(2+2√3)米 D．8√3米
2．（2023·山东泰安·一模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公
路．甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得
24
AC=840m，BC=500m，请求出点O到BC的距离（ ）m．（参考数据sin73.7°≈ ，
25
7 24
cos73.7°≈ ，tan73.7°≈ ）
25 7
A．140m B．340m C．360m D．480m
3．（2023·河南南阳·一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东
30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为（ ）
3 4 3
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．15√3海里
4．（2023·广东深圳·二模）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测
得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量
仪的高度AE=CF=1.65米，AC=28米，则树BD的高度是（ ）【参考数据：sin37°≈0.60，
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cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】
A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米
5．（2022·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物
底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若
干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、
4
E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1: ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到
3
1．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）（ ）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
6．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）春节期间，白居寺长江大桥凭借其独特的造型、科幻的氛围、“星
际穿越”的视感吸引众多游客纷纷前来打卡拍照．某校数学社团的同学们欲测量白居寺长江大桥桥塔的高
度，如图2，他们在桥下地面MB上架设测角仪CM（测角仪垂直于地面放置），此时测得白居寺长江大桥
桥塔最高点A的仰角∠ACE=35°，然后将测角仪沿MB方向移动100.5米到达点N处，并测出点A的仰角
∠ADE=45°，测角仪高度CM=DN=1.6米．（点M，N，B在同一水平线上，AB⊥BM）
(1)白居寺长江大桥桥塔的高度AB约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：sin35°≈0.57，
cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，√2≈1.41）
(2)如图3，在（1）问条件下，小明在某大楼Q处测得白居寺长江大桥桥塔最高点A的仰角∠AQG=18°，
最低点B的俯角∠BQG=53°，则小明所在地Q处与AB的水平距离约为多少米？（结果保留到个位，参考
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数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
7．（2023·贵州贵阳·二模）为加快城乡发展，建设美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如
图，A，B两地之间有一座山、汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车
可直接沿直线AB行驶．已知BC=100千米，∠A=45°,∠B=30°．
(1)求C地到公路AB的距离；
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？（结果精确到1米）（参考数据：
√2≈1.4,√3≈1.7）
8．（2023·河南濮阳·一模）某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm,BC为支杆，它
可绕点B旋转，其中BC的长为30cm，悬杆CD=40cm，如图2所示，当∠BCD=70°，∠ABC=135°
时，求灯泡悬挂点D到地面的距离DF的长．（结果精确到1cm；参考数据：
sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,√2≈1.41）
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