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第二十八章 锐角三角函数（4 大压轴考法 40 题专练）
目录
题型一：特殊角的三角函数综合题...................................................................................1
题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题.......................................................................15
题型三：同角三角函数关系综合题.................................................................................34
题型四：解直角三角形及其应用.....................................................................................53
题型一：特殊角的三角函数综合题
1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末） 和 均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，
的顶点 与 斜边 的中点重合，边 与边 相交于点 ，若 ，
， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形面积，角，边等性质，相似三角形判定及性质．根据题意先判定 ，
利用相似三角形性质得 ，继而得到 ， ， 的面积，继而得到本题答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴设 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， 是直角三角形，
∴ ，
则： ，
∵ ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 的顶点 与 斜边 的中点重合，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
解得： ，
当 时， （舍），
当 时， ，且 ，
故 符合题意，
则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的高 ，
∴ ，
∴ 的高 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点，点 是对角线 上一点， 与 关于直线 对称， 交 于点 ，当 中有一个内角为
时，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】利用勾股定理得出 ，利用三角函数得出 ，求得 ，分两
种情况讨论：①当 时；②当 时，则 ，利用轴对称的性质结合勾股定
理求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
当 中有一个内角为 时，分两种情况：
当 时，如图1所示：
则 ，四边形 是矩形，
∴ ；
当 时，如图 所示：则 ，
∴ ， ，
∴ ，
由轴对称的性质得： ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质及特殊
角的三角函数值等知识，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图， 中， ， ， ，P是AB上方一
动点，射线 ，连接 交 的外接圆于点D，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】连接 ，取 中点M，连接 ， ， 中，根据 ， ，
可得 ，即可得 是直角三角形，且 ，再根据 ，可得
，进而得 ，即有点D在以 为直径的圆上，即点M为该
圆圆心，结合图形有 ，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，即当A、M、D三点共线时，
有最小值，最小值为： ，问题随之得解．
【详解】解：连接 ，取 中点M，连接 ， ，如图，∵ 中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D在以 为直径的圆上，即点M为该圆圆心，
∵如图， ，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，
∴当A、M、D三点共线时， 有最小值，最小值为： ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 有最小值，最小值为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明 是直
角三角形，点D在以 为直径的圆上，是解答本题的关键．
4．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且 时，现有公式： ，
利用此公式求解下列问题：
(1)求 的值；
(2)若A，B为锐角且 时，求 的值；
(3)求 的值．【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是利用公式解决问题．
（1）利用公式根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）利用公式求解即可；
（3）利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）（1）
；
（2）当 时， ，
即
；
（3）由（2）可知， ，
∴原式 ．
5．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线
段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形 中，点 E、 F分别是 、 上的两点，连接 、
， ，则 的值为 ；
【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接 、 ，
且 ，求 的值；
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，点E为 上一点，
连接 ，过点 C作 的垂线交 的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求 的值；【答案】（1）1；（2） ；（3） ．
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到 ， ，然后证明出 ，
根据 可得 ，由此可得 得到，即可得到 ；
（2）根据矩形的性质可得 ，再根据同角的余角相等可得 .进而可得
，由此可以求出 的值．
（3）过点F作 ，则可得四边形 是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得
，由此可证 ，进幼儿可求出 ．
【详解】（1）设 与 的交点为G，
∵四边形 是正方形， ，
，
，
，
， ，
．
在 和 中
，
，
，．
故答案为：1
（2）∵四边形 是矩形，
，
，
则 ，
，
∴ ．
（3）如图，过点F作 ，
则 ， ，
，
∴四边形 是矩形,
，
又 ，
，
则 ,
，
，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形
的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键．
6．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）抛物线 与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，已
知 ，抛物线顶点的横坐标为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段 上的一个动点，过点D作 轴于点E,延长 交抛物线于点F,求线段 的最大
值及此时点D的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点P,使得 ．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2；
(3)存在， 或
【分析】（1）设 ，结合 ，对称轴为顶点的横坐标为 ，确定 ，得到 ．
构造方程组 求解即可．
（2）根据 得到 ，结合 ，设直线 的解析式为 ，设
，则 ，则
，计算即可．
（3）如图，设 ，过点P作 于点G，结合 ，设 ，则 ，
，利用特殊角的三角函数计算即可．
【详解】（1）设 ，∵ ，抛物线 顶点的横坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．∴ ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ．
（2）根据 得到 ，
设直线 的解析式为 ，
将A(−4,0)， 代入直线 的解析式得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵抛物线开口向下，故当 时， 有最大值，且最大值为2，
此时 ．
（3）存在，且 或 ．理由如下：
如图，设 ，过点P作 于点G，
∵A(−4,0)， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故点 ；
当点P关于原点的对称点，根据对称性质，此时的点P也符合条件的，
故
故点 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，线段型构造二次函数求最值，角的和问题，特殊角的三角函数
值，正切函数，原点对称，熟练掌握待定系数法，三角函数是解题的关键．
7．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）综合与实践
周末小亮遇到了这样一道题：
【作业】如图1， 中， ，G为其重心，D为 的中点，以G为圆心， 长为半径画
，过A点作 的两条切线 ，切点分别为E、F，求 的值．【小亮的解答】连接 ．
G为重心，D为 的中点，
A、G、D在一直线上，
，
，
、 与 相切，
，
在 中， ，
，同理， ，
，
．
小明阅读了以上内容进行了一些反思，请你根据反思内容完成对应的任务
【反思1】小亮的解答过程中得到“ ”的依据是重心的一个性质：三角形的重心到顶点的距离
等于它到对边中点的距离的2倍．课本中并没有给出这样的结论，所以不能直接应用得到“
”．要想证明，只要作出如图2的辅助线（连接 并延长交 于H，连接 ）即可．
【任务1】请你在图2的基础上，帮小亮完善得到“ ”的过程．
【反思2】若将【作业】中“如图”去掉，其它条件保持不变， 的值是否会发生改变？
【任务2】请你求出 满足什么条件时， 的值保持为 ？
【反思3】若将【作业】中“G为其重心，D为 的中点”改为“D为边 上一动点，G为线段 上一点， ”其它条件保持不变， 的值是否会发生改变？
【任务3】若 ， ，请你直接写出 的长度在什么范围内时， 的值保持为
？
【答案】任务一：见解析；任务二：若B、E在 异侧，无论 为何值，都不等于30度；若B、E
在 同侧， ；任务三：
【分析】（1）根据点G是 的重心，可得出 ， ，进而得出 ，根据
相似三角形的性质即可解答；
（2）分B、E在 异侧和在 同侧两种情况进行讨论即可；
（3）分当E点在 外时，当F点在 外时，点E在边 上，点F在边 上，情况进行讨论即
可．
【详解】（1）证明： 点G是 的重心，
、 为 中 和 边上的中线，
即D是 的中点，H是 中点，
， ，
， ，
，
，即 ；
（2） 若B、E在 异侧，不论 为何值， 始终等于 ，不等于
若B、E在 同侧， ，D为 的中点，
，
， ，
， ，
， ，
如图 ，当E点在 外时，
，
，
，
，则 ，
如图 ，当F点在 外时，，
，
，
，则 ，
点E、F在 内，包括点E在边 上，或点F在边 上，
如图 ，点E在边 上，则 ，
过点D作 于点M ，令 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得： ，
， ，
，
点F在边 上，点D在点 处，则 ，
过点 作 与点N，令 ，
，
，
，
，
，，
，
，解得 ，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握这些知
识是解题的关键．
题型二：由锐角三角函数值求锐角综合题
8．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形
桌面如图①，餐桌两边 和 平行且相等， 如图②，小华用皮尺量得 ， ，
那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( )
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】将圆形补全，设圆心为 ，连接 ，过点 作 于点 ，进而得出 ， 的长以及
， 的度数，进而勾股定理求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：将圆形补全，设圆心为 ，连接 ，过点 作 于点 ，
由题意可得出： ，
是 的直径，
， ，
∴
，
餐桌两边 和 平行且相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，解直角三角形，扇形面积计算以及三角形
面积求法等知识，熟练掌握弓形的面积求法是解题关键．9．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，已知 ，B为双曲线 上的一点， ，
C为y轴的正半轴上一动点，当 （ ）时， 最大．
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时， 最大，设圆心 ，用n的代
数式表示出 ， ，即可求解．
【详解】解：设 的中点为M，作 轴于点H，作 轴于点G，
∵ ，
∴
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为 ，切点为Q，
∵ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
当C与Q重合时， 最大，
∵ ， ，
∴
，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，特殊角的三角函数值，求
一次函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，找出使 最大的位置．
10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，扇形 中， ， ，点 为 的中点，
将扇形 绕点 顺时针旋转90°，得到扇形 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，设 交 于点 ，
交 于点 ，根据题意得出 ，进而根据 即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，设
交 于点 ， 交 于点 ，
∵
则四边形 是正方形，
，
∴ ，
，
，
，
在 中， ，，
，
，
∴ ，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
11．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，直线 与反比例函数 的图象交于点
，直线 与直线 交于点M，与反比例函数图象交于点N．
（1） ．
（2）当 时， ，此时 ．
【答案】 8 2 4
【分析】将 代入 即可k，过A点作 轴于点E，交 于点F， ，
，即有 ， ， ，由 ，可得 ，
进而可得 ， ，解方程即可求出 ，问题随之得解．
【详解】根据题意，将 代入 中，即有： ，
∴ ，即反比例函数解析式为 ，
过A点作 轴于点E，交 于点F，
根据题意，直线 轴，M、N的纵坐标均为n，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵直线 轴，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，或者 （舍去），
经检验， 是原方程的根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：8，2， ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，解直角三角形，解分式方程等知识，根据
，得到 ，进而得到 ，是解答本题的关键．
12．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ， 是第一象限内
任意一点，连接 、 ，若 ， ，则我们把 叫做点 的“双角坐标”．例
如，点 的“双角坐标”为 ．
（1）点 的“双角坐标”为 ；
（2）若“双角坐标”为 ，则点坐标为 ；
（3）若点 到 轴的距离为1，则 的最小值为 ．
【答案】 90
【分析】（1）分别求出 的值，得出 、算出 ，得出 ，说明 为等
边三角形，从而得出答案；
（2）根据 、 的度数和 、 的值可求坐标；
（3）根据三角形内角和定理知若要使 取得最小值，即 取得最小值，则 需取得
最大值， 中点为圆心，1为半径画圆，与直线 相切于点P，由 知此时 最
大， ，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴即点P的“双角坐标”为 ．
故答案为： ．
（2）如图，点P的“双角坐标”为 ，作 于点B，
∵“双角坐标”为 ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
解得： ，
， ，∴点P的点坐标为 ．
故答案为： ．
（3）根据三角形内角和定理知若要使 取得最小值，即 取得最小值，则 需取得
最大值，如图，
∵点P到x轴的距离为1， ，
∴以OA中点为圆心，1为半径画圆，与直线 相切于点P，在直线 上任取一点P′，连接 、
， 交圆于点Q，
∵∠OPA＝∠1， ，
∴ ，
∴此时 最大， ，
∴ 的最小值为: ．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质、锐角的三角函数、三角形的内角和定理、外角的性质及圆周角
定理，根据内角和定理推出 取得最小值即为 取得最大值，且找到满足条件的点P位置是关键．
13．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）将一副三角板如图拼接：含 角的三角板（ ）的长直
角边与含（ 角的三角板 ）的斜边恰好重合．已知 ，P是 上的一个动点，连接 ．
(1)当点P运动到 的平分线上时，求 的长；(2)当点P在运动过程中出现 时，求此时 的度数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）作 ，在直角中，由直角三角形的特征得 ，再由正切三角函数得
，可求 ，由 ，则 的长可以求得，然后在直角 中利用勾股
定理得 ，即可求解；
（2）分两种情况进行讨论：①当P点在 的左边时，由余弦函数 ，可求
，由 ，即可求解；②当P点在 的右边时，同理①即可求解．
【详解】（1）解：如图（1），作 交 于 ，
在 中， ， ，
，
，
中， ，
，
平分 ，
，
，
，；
（2）解：①当P点在 的左边时，如图（2）所示，
根据（1）中结论， ， ，
又
，
；
②当P点在 的右边时，如图（3）所示，
同①可得 ，
；综上所述： 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数，掌握相关的
性质，能根据 点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
14．（22-23九年级上·陕西西安·期末）问题提出：
(1)如图1，点E，F分别在正方形 的边 ， 上， ，连接 ，则线段 ， 和
之间的数量关系是 ．（提示：将 绕点A旋转至 ）
(2)问题探究：如图2，在四边形 中， ， ，点E，F分别在边 ， 上，
．已知 ， 都不是直角，则当 与 满足 时， 成立，
(3)问题解决：为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课．
学校内有一个空置讲堂，如图3，其俯视图是边长为 的正方形 ，高为 ，现需用隔音板材填充
， ， ，（板材填充至顶部，隔板上门的面积忽略），分隔中四个空间进行实践教学，点E，F
分别在边 ， 上 ， ， ，求共需消耗的板材面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)将 绕点A旋转至 ，根据旋转的性质可知： ， ，由
，可得 ，即可证得 ，据此即可得线段 ， 和 之间
的数量；
(2)把 绕A点旋转到 ，使 和 重合，连接 ，方法同(1)即可证得
， ，故当点F、D、G三点共线时， ，据此即可解答；
(3)将 绕点A顺时针旋转得到 ，则 ， ， ，再根据正方形的
性质可得点T，B，C共线，可证得∴ ，可得 ，设 ，则
， ， ，利用勾股定理可求得 ， ，
， ，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，， ，
如图1，将 绕点A旋转至 ，
， ， ， ，
，
点F，D，G共线，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：把 绕A点旋转到 ，使 和 重合，连接 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
，，
在 与 中，
，
，
，
，
点F，D，G共线，
，
，即 ，
故当 时， ，
故答案为： ；
（3）解：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
则 ， ， ．
∵四边形ABCD是正方形，
， ，
，点T，B，C共线．
，
．
在 与 中，
，
．设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
得 ，
解得 或 ，
或 ，
或 ，
，
， ， ，
由勾股定理，得 ，
，
∴所需板材面积 ，
答：共需消耗板材面积为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，特殊角
的三角函数值，勾股定理，根据旋转的性质，构造全等三角形是解决本题的关键．
15．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M．若
点A，M，P，Q按逆时针方向排列构成菱形AMPQ，其中 ， ，则称菱形AMPQ
是点A的“ -旋半菱形”，称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“ -旋半点”．已知点 ．
(1)在图1中，画出点A的“30°-旋半菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标；
(2)若点 是点A的“ -旋半点”，求 的值；
(3)若存在 使得直线 上有点A的“ -旋半点”，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)图见解析；P(2)45°或30°
(3)
【分析】对于（1），根据“ -旋半菱形”的定义做出图形，并求出相应的长度，写出坐标即可；
对于（2），分点B在 ， ， 上时，分别求出符合条件的结果；
对于（3），先确定b的最大值，即 直线 时，b最大，再结合直线的特点求出直线与y
轴的夹角，进而求出点R的坐标，即可得出答案．
【详解】（1）如图所示．点 ．
根据题意可知 ， ，
∴ ．
根据勾股定理得 ，且 ，
所以点 ；
（2）∵点 是点A的“ 旋半点”，
∴点B在菱形 边上，
分情况讨论：
①当B在 上，
如图：作 轴交于点C，
根据题意可知四边形 时菱形，
∴ ．
在 中， ，
∴ ；②当B在 上，
如图：作 轴交于点C，交 与点D，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
根据勾股定理，得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ， （舍去）；
∴ ，即 ；
③当B在 上，
此时： ，
∴这样的点B不存在，
综上所述： 或 ；（3） ．
设直线 与x轴交于T，与y轴交于R，当Q在直线 上，且 直线
时，b最大，如图：
在 中，令 得 ，令 ，得 ，
即 ， ，
∴
∴
∴ ．
设 ，则 ，根据勾股定理，得
，
解得 ，
则 ，
所以点 ．
将点 代入 ，得 ．
由点A的“α-旋半菱形”的定义知，四边形 在x轴上方，
∴直线 上有点A的“α-旋半点”， ，b的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查了菱形性质，点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质，特殊角的三角形函
数值，一次函数，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大．
题型三：同角三角函数关系综合题
16．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平
移a个单位长度 得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角形时，a的值为 ．
【答案】 或 ．
【分析】分两种情况：①如图1， ，②如图2， ，分别作辅助线，构建相似三角
形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．
【详解】解：①如图1， ，延长 交 于G，过点 作 ，交 的延长线于
H，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
设 ， ，
∴ ，
由平移得： ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
②如图2， ，延长 交 于M，则 ，
∴ ，
由平移得： ， ，
同理设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
综上，a的值是 或 ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直
角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形 为正方形， 为对角线 上
一点，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接
，则 ．
【答案】
【分析】连接 ， 交于点O，设 交于点P， 交于点H．先证明
，再证明 ，进而证明 ，从而证明 ，从而
得到 ，求出 ，即可求出 ，即可求出 ．
【详解】解：如图，连接 ， 交于点O，设 交于点P， 交于点H．
∵四边形 为正方形，
∴ 互相垂直平分， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴矩形 为正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形的边长为3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，
勾股定理等知识，综合性较强，熟知相关知识，正确添加辅助线进行角的转化是解题关键．
18．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，
以每秒5个单位的速度沿 向终点C匀速运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作 交 于
点Q，以 为边向上作正方形 ，设正方形 与 重叠部分面积为S（平方单位），点P
的运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示线段 的长度为______；
(2)当点N落在线段 上时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式；
(4)当点N恰好落在 的角平分线上时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)点N恰好落在 的角平分线上时，t的值为 或
【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，利用 ，求出 即
可；
（2）根据正方形的性质得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，即可求出t的
值；
（3）分 ， 两种情况求出S与t之间的函数关系式即可；
（4）过点N作 于点D， 于点K，用t分别表示出 ， ， ，然后分点N恰好落在 的角平分线上，点N恰好落在 的角平分线上两种情况求出t的值，并说
明点N不可能在 的平分线上．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故答案为： ．
（2）解：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：当 时， ；
当 时，如图所示：∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
；
综上分析可知， ；
（4）解：过点N作 于点D， 于点K，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
当点N恰好落在 的角平分线上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当点N恰好落在 的角平分线上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴点N不可能在 的平分线上；
综上分析可知，点N恰好落在 的角平分线上时，t的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，三角函数的应用，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积
的计算，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论．
19．（22-23九年级上·山东济南·期末）（1）如图1， 和 均为等边三角形，直线 和直线
交于点F．填空：
①线段 ， 之间的数量关系为________；② 的度数为______．
（2）如图2所示， 和 均为等腰直角三角形， ，直线 和直线 交于点F，请判断 的度数及线段 ， 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示， 和 均为直角三角形， ，
，当点B在线段 的延长线上时，求线段 和 的长度．
【答案】（1）① ；② ；（2） ； ；（3） ；
【分析】（1）①根据 证明 ，即可得出 ；
②根据全等三角形的性质得出 ，设 交 于点O，根据 ，结合三角形内
角和定理，得出 即可得出结果；
（2）证明 ，可得 ， ，根据三角形的外角得出，
，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出 ，根据三角函数求出 ，求出 ，
证明 ，求出 ，得出 ．
【详解】解：（1）①∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
设 交 于点O，
∵ ，
∴ ，
即 ．
故答案为： ．（2）结论： ， ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，勾股定理、三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，特殊角的三
角函数值．
20．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】
（1）如图①，在 中， ，点D为 上一点，且 ，过点D作 于点
E，若 ，则 的长为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在 中， ，点D是 边上一点，连接 ，过点D作 交
于点E，过点B作 于点F，交 于点G，试判断 与 是否相似，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③， 是一块菜园平面示意图， ， ， 是 边上的中线，
于点F，交 于点G， 交 于点E，经测量， 米，现欲沿 修一条灌溉水
渠，请你求出灌溉水渠的长度 ．
【答案】（1）2；（2） 与 相似，理由见解析；（3） 米
【分析】（1）证明 ，得出 ，即 ，得出 ；
（2）证明 ， ，得出 ；
（3）过点E作 于点H，证明 为等腰直角三角形，得出
（米），证明 ，得出 米，根据 ，得出
米，求出 米，根据勾股定理得出 米，即可求
出结果．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：2．
（2） 与 相似，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（3）过点E作 于点H，如图所示：
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ （米），
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 米，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
∵ 米，
∴ （米）．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的
判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
21．（22-23九年级上·山东青岛·期末）已知，如图，在 中， ， ，
于 ，直线 从点 出发沿 方向匀速运动，速度为 ；运动过程中始终保持 ，
直线 交 于 ，交 于点 ；过点 作 ，交 于 ，交 于点 ，连接 ，设运动
时间是 （s）（ ），解答下列问题：
(1)当 为何值时， ？
(2)设四边形 的面积为 ，试求出 与 的函数关系式；是否存在某一时刻 ，使 的值最大？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)是否存在某一时刻 ，使点 在线段 的垂直平分线上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2) ；存在；当 时，y可以取最大值
(3)存在；当 时，点 在线段 的垂直平分线上
【分析】（1） ，可以得到 ， ， ， ，
，利用三角函数的比值即可以求得答案；
（2）由 ，得到 ，即： ，求出 ，求出 ，根
据四边形的面积等于 的面积 的面积 的面积可以得到答案，求顶点坐标可以得到答案；
（3）若点M在线段 的垂直平分线上，则 ，构造关于t的方程，得到答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， 于D，
∴ ， ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
根据解析（1）可知， ，
∴
，
∴当 时，y可以取最大值 ．
（3）解：若点M在线段 的垂直平分线上，
则有 ，
由（1）（2）知道， ， ，∴ ，
解得： ，
即当 时，点 在线段 的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角
形面积的计算，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
22．（22-23九年级上·江苏南京·期末）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个
顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在 中， ， ， ，则 边上的伴随圆的半径为___________．
(2)如图②， 中， ， ，直接写出它的所有伴随圆的半径．
(3)如图③， 中 ，点 在边 上， ， 为 的中点，且 ．
①求证： 的外接圆是 的 边上的伴随圆；
② 的值为___________．
【答案】(1)2
(2) 或 或
(3)①见解析；②
【分析】（1）先依据勾股定理求得 的长，然后依据切线的性质可知 为圆的直径，故此可求得
的伴随圆的半径等于 的一半；
（2）当O在 上时，连接 ，过点A作 ．由等腰三角形的性质和勾股定理求得 ，依据
切线的性质可证明 ，接下来证明 ，由相似三角形的性质可求得 的半径；当O
在 上且 与 相切时，连接 、过点A作 ，垂足为E．先证明 ，由相似三
角形的性质可求得 的半径，当O在 上且 与 相切时，连接 、过点B作 ，过点A
作 ，垂足为E．先依据面积法求得 的长，然后再证明 ，由相似三角形的性质可
求得 的半径；（3）①连接 、 ，先证明 ，从而得到 ，于是可得到 ，接下来证明
，从而可证明 ；
②设 的半径为r，依据勾股定理定理依据求得 、 、 的长，从而可求得 接下来，
由 可求得 的值，再用r表示出 、 即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是圆的切线， ，
∴ 为圆的直径．
∴ 边上的伴随圆的半径为2．
故答案为：2．
（2）解：当O在 上时，如图（1）所示：连接 ，过点A作 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可知 ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ 的 边上的伴随圆的半径为 ；
当O在 上时，如图（2），连接 、过点A作 ，垂足为E，
∵ 与 相切，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ，
∴ ，
∴ ，
如图（3）所示：连接 、过点B作 ，过点A作 ，垂足为E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
综上所述， 的伴随圆的半径分为 或 或 ．
（3）证明：①证明：如图（4）连接 、 ，
∵ 为直角三角形，
∴ 的外接圆圆心O在 中点上，
设 的半径为r，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，∴ 是 的切线．
∴ 的外接圆是 某一条边上的伴随圆；
②如图（4）设圆O的半径为r，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义，解
题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，注意分类讨论．
题型四：解直角三角形及其应用23．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形 中， 分别是边
上的点，且 分别在边 上，且 与 交于点O，记 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，延长 、 交于点 ，
过点 作 ，根据平行线的性质得出 ，从而得出 ，设
，则 ，证明四边形 是平行四边形，得出 ，在 中，
勾股定理算出 ，得出 ，证明 ，得出 ，根据 ，得
出 ，在 中，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，延长 、 交于点
，过点 作 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴解得： 或 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质
和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知
识点，正确做出辅助线．
24．（24-25九年级下·全国·期末）图（1）是一个倾斜角为 的斜坡的横截面， ，斜坡顶端B与
地面的距离 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的
水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直
高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系
（a，b是常数， ），图（2）记录了x与y的相关数据，则y与x的函数关系式为
．【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式是解
题的关键．
先求出 ，再根据待定系数法，即可求得二次函数的解析式．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ．
∵ ， 在抛物线 上，
∴ ，
解得 ，
∴y关于x的函数关系式为 ，
故答案为： ．
25．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在 中， ，将 绕点C顺
时针旋转60°得到 ，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点，若点 恰好落在 边上．
(1)连接 ，求证： ．
(2)若 ，求点A到直线 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据含 的直角三角形的性质，得到 ，证明 为等边三角形， 为
等边三角形，即可证明；
（2）过点A作 于点D．求出 ，根据 为等边三角形，解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ．
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形， 为等边三角形．
∴ ， ，
∴ ．
（2）解：如图，过点A作 于点D．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴点A到直线 的距离为 ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与
性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
26．（23-24九年级上·浙江·期末）图1是一把可折叠的哑铃椅，其侧面可抽象成图2， 为支撑杆，M
为靠背 的中点，点N可在斜支柱 上滑动，通过调节螺母可将点N固定在斜支柱 上的六个孔位处，
靠背 随之绕点C转动，当点N位于第一个孔位处时， ；当点N位于最后一个孔位处时，．已知 ， ， ，坐凳 与水平地面l平行．
(1)在点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位的过程中，求点M所运动的路径长（结果保留π）
(2)在 转动的过程中，求点H到水平地面l的最大距离．
（结果精确到 ．参考数据： ．）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了点的运动轨迹，弧长公式，解直角三角形等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形．
（1）根据题意求出旋转角，再利用弧长公式求解即可．
（2）根据图象可得当 时，点H到地面的距离最大．过点D作 于T，过点H作
于点J，交 于点K．则四边形 是矩形，得出 ，在 中，求出 ，在
中，求出 ，再根据 求解即可．
【详解】（1）解： ，
．
点N位于第一个孔位处时， ，
当点N位于最后一个孔位处时， ．
旋转角为 ，
，
当点N从第一个孔位滑动到最后一个孔位时，
故点M运动路径长 ．
（2）解：如图，当 时，点H到地面的距离最大．过点D作 于T，过点H作 于点J，交 于点K．
则四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
，
在线段 转动过程中，H点到地面l的最大距离为 ．
27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，
将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解
放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭
位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请
根据以下材料，完成项目任务．
项
测量敬闲亭的高度及底面圆的半径
目
测
量
测角仪、皮尺等
工
具
说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭
顶端的仰角为 、 ， ，测角仪高度
测
，测角仪 所在位置与亭底部边
量
缘距离 ．点B、D、M、H在同一条直线
上．
参
考 ， ， ， ， ， 最后结果保留 ．
数据
任
务 求敬闲亭的高度 的长．
1
任
务 求敬闲亭底面圆的半径 的长．
2
【答案】任务1：敬闲亭的高度 的长约为 ；任务2：敬闲亭底面圆的半径 的长约为 ．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．
任务1：延长 交 于点F，根据题意可得： ， ， ，
然后设 ，分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而列出关于x
的方程，进行计算即可解答；
任务2：设 与 相交于点S，根据题意可得： ， ，然后利用线
段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：任务1：延长 交 于点F，
由题意得： ， ， ，
设 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，∴ ，
∴敬闲亭的高度 的长约为 ；
任务2：如图：设 与 相交于点S，
由题意得： ， ，
∴ ，
∴敬闲亭底面圆的半径 的长约为 ．
28．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在 中， 、 、 所对的边分别为a、b、c，求证：
．
证明：如图1，过点C作 于点D，则：在 中， ，在 中， ，
，
．
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在锐角 中， 、 、 所对的边分别为a、b、c，若 ， ， ，
求 的度数；
(2)如图3，一片三角形区域需美化，已知 ， ， 米，求这片区域的面积．（结果
保留根号，参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2) 平方米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及三角形内角和定理等知识．
（1）根据题目提供的方法进行证明 ，解得 ，则 ，然后由三角形内角和定理求出 的度数即可；
（2）过点 作 于点 ，由三角形内角和定理求出 ，再由锐角三角函数定义求出 的长，
然后求出 的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，过点 作 于点 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
即 ，
解得： ，
，
，
∴ 的度数为 ；
（2）解：如图3，过点 作 于点 ，
， ，
，
在 △ 中， （米），
又 ，
即 ，
解得： （米），
（平方米）．29．（24-25九年级上·山东·期末）（1）一个几何体的三个视图如图所示（单位： ）．若其俯视图为正
方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．
（2）如图所示，某市有一天桥高 为5米， 是通向天桥的斜坡， ，为了便于行走，市城
建局启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使 ，试求 的长度约为多少米？
（保留一位小数，参考数据： ）
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查根据三视图计算几何体的表面积，解直角三角形的实际应用：
（1）根据三视图，得到几何体为底面边长为 ，高为 的长方体，根据长方体的表面积公式进行计
算即可；
（2）分别解直角三角形 和直角三角形 ，求出 的长，再利用线段的和差关系进行求解即
可．
【详解】解：（1）由三视图可知：几何体为底面边长为 ，高为 的长方体，
其表面积为： ；
（2）在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
答： 的长度约为 ．30．（24-25九年级上·全国·期末）如图，AB是 的直径， 是 的切线， 为 上的一点，
，延长CD交 的延长线于点 ，
(1)求证：CD为 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 、 ，证明 ，得 ，即 ，从而即可
得证；
（2）令BD交 于点 ，利用角平分线的性质及三线合一得 ， ，
， ，进而利用三角函数求得 ， ，从而求得
，再求出 ，即可得解；
（3）由题可设 则 ，证明 ，得 设
，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，从
而 ，解得 或 （舍去），在 中，利用三角形函数求解即可．
【详解】（1）证明：连接 、 ，∵点 在圆上， 为切点，
∴ ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴CD为 的切线；
（2）解：令BD交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∴
∴ ，
∴ ；
（3）解：由题可设 则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）
∴在 中， ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角
形的判定及性质，熟练掌握切线的判定，三线合一，解一元二次方程，相似三角形的判定及性质是解题的
关键．
31．（23-24九年级下·河北石家庄·期末）如图1，四边形 中， ， ， ， 为
四边形 的对角线， ．
(1)求点 到 的距离；(2)如图2，点 在 边上，且 ．以 为圆心， 长为半径作 ，点 为 上一点，连接
交 于 ． ．
①当 与 相切时，求 的长；
②当 时，直接写出 的长．
【答案】(1)4
(2)① ；②5或11
【分析】（1）由勾股定理求出 的长，然后根据三角函数的定义求出 到 的距离即可；
（2）①连接 ，由（1）以及 可以求出 的长，然后根据勾股定理求出 的长，再根据勾股
定理求出 的长即可；
②过 作 与 ，所以四边形 为矩形，在 中运用勾股定理即可求出 的长，从而
可以求出 的长．
【详解】（1）解：过 作 于 ，如图：
， ， ，
，
在 中， ，
，
即点 到 的距离为4；
（2）解：①连接 ，如图：
由（1）知， ，
，
，
，， ， ，
，
是 的切线，
，
；
②过 作 于 ，如图：
， ，
四边形 为矩形，
， ，
在 中， ，
；
同理， ，
或11．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形
是本题解题的关键．
32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【问题探究】
（1）如图1，在正方形 中，点E，F分别为 和 上的点，连接 ， 交于点O，若
．求证： ；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形 中， ，点E为 边上一点，点F为对角线 上一点，连接 ，
交于点O，若 ， ，求 的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形 中， ，点E为 边上一点，点F为CD边上一点，若 平分 ，
且 ，求CF的长．【答案】（1）见解析（2） （3）
【分析】（1）根据 ，利用同角的余角相等得出 ，再根据 即可证出
，
（2）作 于点 ，由 ，得到 ，设 ，则 ， ，
，由 ，得到 ， ， ，由
，得到 ，求出 ， ，同理 ，
，得到 ， ，即可求解，
（3）作 于H，交 于G，则 ， ，结合（2）的结论得到
，求出 长，利用勾股定理解题即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的
关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，
，
，
即 ， ，
，
又 ，
，
在 和 中
，
．
．（2）作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
在矩形 中， ，
∴ ，
设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（3）作 于H，交 于G，平分 ，且 ，
， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
过点 ，交AD于点M，
则四边形 是平行四边形， ，
∵ ，
∴
∴ ，
， ， ，
．
33．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【操作发现】如图1，将 绕点 顺时针旋转 ，得到
，连接 ，则 的度数为 ；
（2）【类比探究】如图2，在等边三角形 内任取一点 ，连接 ， ， ，求证：以 ， ，
的长为三边必能组成三角形；
（3）【解决问题】如图3，在边长为 的等边三角形 内有一点 ， ， ，求
的面积；
（4）【拓展应用】如图4是 ， ， 三个村子位置的平面图，经测量 ， ， ，
为 内的一个动点，连接 ， ， ，求 的最小值．【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ；（4）
【分析】（1）证明 是等边三角形即可；
（2）以 为边长作等边 ，使P、D分别在 的两侧，连接 ．利用全等三角形的性质以及三
角形的三边关系即可解决问题；
（3）将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到 ，只要证明 ，利用勾股定理即可解
决问题；
（4）将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，证明 为等边三角形，得出
，根据勾股定理求出 ，根据 ，得
出当 最小时， 最小，根据两点之间线段最短，得出当P，D在 上时，
最小，求出最小值即可．
【详解】解：（1）∵将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（2）证明：如图，以 为边长作等边 ，使P、D分别在 的两侧，连接 ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
又∵ ，
∴ ，∴以 ， ， 的长为三边必能组成三角形．
（3）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 ，
∴ ，
， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，负值舍去，
∴ ，
∴ ．
（4）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，
∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 最小时， 最小，
∵两点之间线段最短，
∴当P，D在 上时， 最小，且最小值为 的长，
∴ 的最小值为 .
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的
判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想
思考问题，属于中考压轴题．
34．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)当 时，直接写出点A、B、C、D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
(2)如图1，直线 交x轴于点E，若 ，求抛物线的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为 的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，
垂足为Q，交 于点F；过点F作 ，垂足为H．设点P的横坐标为t，记 ．
①用含t的代数式表示f；
②请直接写出f的最大值为： ．
【答案】(1) ， ， ，(2)
(3)① ；②
【分析】
（1）当 时，抛物线的表达式为： ，即可求解；
（2）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，进而求出点 ， ，利用
，即可求 ，解，故点 、 的坐标分别为 、 ， ，代入抛物线即可作答；
（3）①证明 ，故 ，则 ，即可求解；
② ，即可求解．
【详解】（1）
当 时，抛物线的表达式为： ，
令 ，则 或 ；当 时， ，函数的对称轴为 ，
故点 、 、 、 的坐标分别为 、 、 、 ；
故答案为： 、 、 、 ；
（2）
，令 ，则 ，则点 ，
函数的对称轴为 ，故点 的坐标为 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
令 ，则 ，故点 ， ，
则 ，
，
解得： ，
故点 、 的坐标分别为 、 ， ，
抛物线的表达式为： ，
（3）
①如图，作 与 的延长线交于点 ，由（2）知，抛物线的表达式为： ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，则点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ；
设点 ，则点 ；
则 ，
由点 ， 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
则点 ，故 ，
， 轴，
故 ， ，
，故 ，
则 ，
；
② ；
当 时， ．
故答案为：
35．（23-24九年级下·重庆大足·期末）等边 中，点 在线段 上，连接 ．(1)如图 ，过点 作 于点 ，若 ， ，求 的长；
(2)如图 ，点 在线段 的延长线上，点 在线段 上，连接 ，若 ，
，求证： ；
(3)如图 ， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 是直线 上一动
点，将 沿直线 翻折得到 ，在点 运动过程中， 最小时，请直接写出 的面积．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】（ ）由 可设 ，则 ，由勾股定理可得 ，求出 ，
进而利用三角函数即可求解；
（ ）延长 ，使 ，连接 ，过点 作 ，可得 为等边三角形，进而得到
， ，再证明 ，得到 ，证明 ，得到
，即得 ，即可得到 ，即得 ，再根据 即可求证；
（ ）由题意可知，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，当点 三点共线时， 最小，
过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，则 ，
解直角三角形求出 ， ，得到 ，
由勾股定理得 ，再求出 ，得到 ，证明
，得到 ，可得 ，最后根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，∵ ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：延长 ，使 ，连接 ，过点 作 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ；
（3）解：由题意可知，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，当点 三点共线时， 最小，
过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
由旋转可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，旋转的性质，折叠的性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
36．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系 中的 ，点 ，点 ，给出如下定义：线段
为⊙ 的弦，点 是弦 上任意一点．若 ，则称点 是点 关于 的 倍关联点．已知， 的半径为2，点 的坐标为 ．
(1)在点 ， ， 中，是点 关于 的2倍关联点的是 ；
(2) 在直线 上，若 是点 关于⊙ 的2倍关联点，直接写出 的取值范围；
(3) 与 轴正半轴交于点 ，对于线段 上任意一点 ，在 上都存在点 ，使得点 是点
关于 的 倍关联点，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】(1) 、 ；
(2) ；
(3)最小值是1，最大值是 ．
【分析】（1）根据新定义可知， ，所以 是 的中点，连接 ，根据垂径定理可知，
，据此判断可得出结果；
（2）可推出点 在以 为直径的圆 上运动，当直线 于 相切于点 时，设直线交 轴于
，交 轴于 ，解 求得 ，进而得出 ，解 求得结果，当直线 于
相切于点 时，设直线交 轴于 ，交 轴于 ，同样的方法得出结果；
（3）根据 ， ，可求得 的最小值是 ，此时点 在 点或 点处， ；连接 ，
，可得出 ，从而 ，进而得到 ，从而得到
，进一步得出结果．
【详解】（1）如图，图 中，
∵ ， ，则 应为 ，但此时 不在圆 上，故 点不是点 关于⊙ 的 倍关联点，
图 中，
∵ ， ，则 在圆上，故点 是点 关于⊙ 的 倍关联点，
图 ，
连接 ，作 于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是点 关于⊙ 的 倍关联点．
故答案为 、 ．
（2）如图 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆 上运动，
当直线 于⊙ 相切于点 时，设直线交 轴于 ，交 轴于 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当直线 于⊙ 相切于点 时，设直线交 轴于 ，交 轴于 ，
连接 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵ ， ，
∴ 的最小值是 ，当点 在 点或 点时， ，
如图 ，
连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，即点 是 的中点， 最大，当 ， 最小，此时
，
此时 ，
综上所述， 的最小值是 ，最大值时 ．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关
键是根据新定义转化题意．
37．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系 中，对于线段 与直线 ，给出
如下定义：若线段 关于直线 的对称线段为 ( ， 分别为点 ， 的对应点)，则称线段 为线
段 的“[k,b)关联线段”．
已知点 ， ．
(1)线段 为线段 的“ 关联线段”，点 的坐标为 ，则 的长为______， 的值为______；
(2)线段 为线段 的“[k,0)关联线段”，直线 经过点 ，若点 ， 都在直线 上，连接 ，
求 的度数；(3)点 ， ，线段 为线段 的“[k,b)关联线段”，且当 取某个值时，一定存在 使得
线段 与线段 有公共点，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
7
(3)b≤− 或b≥2❑√2−1
2
【分析】（1）由 、 关于直线 对称，得到 ，由题意得 ，把 的中点
(3 1)
, 代入 ，求出 即可；
2 2
（2）连接 ， ， ，以 为圆心， 的长为半径画圆，由A(1，1)，B(1，−1)，可得 ，
，根据对称的性质可得 ，OA′=OA=OB=OB′=❑√2，推出点 、 、 、
都在圆 上，得到 是直线 与圆 相交所得的长为 的弦，分为当 在 轴的左侧时，取 的中点
，连接 ，当 在 轴的右侧时，两种情况讨论，即可求解；
（3）设直线 与 轴交于点 ，连接 ， ，求出当 时，⊙E(r=EB)与 相切时，当
时，⊙E(r=EA)经过点 时，两种特殊情形的值，即可得出 的取值范围．
【详解】（1）解： ，B(1,−1)，
，
、 关于直线 对称，
，
由题意得： ，
，
、 关于直线 对称，
直线 经过 的中点，
， ，
(1+2 1+0) (3 1)
的中点为 , ，即 , ，
2 2 2 2
(3 1)
把 , 代入 ，
2 2
3 1
得： +b= ，
2 2
解得： ，
故答案为： ， ；
（2）连接 ， ， ，以 为圆心， 的长为半径画圆，
A(1，1)，B(1，−1)，， ，
线段 为线段 的“[k,0)关联线段”，
直线 解析式为： ，点 、 关于直线 的对称点是 、 ，
，OA′=OA=OB=OB′=❑√2，
点 、 、 、 都在圆 上，
点 ， 都在直线 上，
是直线 与圆 相交所得的长为 的弦，
如下图，当 在 轴的左侧时，取 的中点 ，连接 ，
则A′D=1， ，
∠A′DO=90°，
OD=❑√A′O2−A′D2=❑√(❑√2) 2 −12=1，
，
∠A′OD=45°，
C(0，2)，
，
OD 1
cos∠COD= = ，
OC 2
，
∠COA′=∠COD−∠A′OD=60°−45°=15°，
如下图，当 在 轴的右侧时，
同理可求∠COA′=∠COD+∠A′OD=60°+45°=105°，综上所述， 的度数为 或 ；
（3）设直线 与 轴交于点 ，连接 ， ．
E(0,b)，
当 时，⊙E(r=EB)与 相切时，OP=BE，
P(−3，0)，B(1，−1)，
OP2=(−3) 2=9，BE2=12+(b+1) 2
12+(b+1) 2=9，
解得：b=2❑√2−1（负值已舍去）；
当 时，⊙E(r=EA)经过点 时， ，
P(−3，0)，A(1，1)，E(0,b)，
PE2=32+b2，AE2=12+(1−b) 2，32+b2=1+(1−b) 2，
解得： ，
线段 与线段 有公共点，
7
b≤− 或b≥2❑√2−1．
2
【点睛】本题考查轴对称的性质，一次函数的图像与性质，三角函数，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
38．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ， 是边AB的
中点．动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿AB向终点 运动，过点 作 于点 ，
当点 不与点 重合时，以 为邻边作 ，设点 的运动时间为 秒．
(1)用含有 的代数式表示线段DE的长．
(2)当点 到点 的距离相等时，求DE的长．
(3)当 的某条对角线与边AB垂直时，求 的值．
(4)作点 关于直线DE的对称点 ，连结 ，当 时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ；
(4) 或 ．
【分析】（ ）利用勾股定理求出 ，可得 ，再直角三角形可得 ，
最后根据平行四边形的性质即可求解；
（ ）如图 ，作 于点 ，可得 垂直平分AD，进而得 ，又由
得 ，即可得 ，再利用三角函数即可求解；
（ ）分两种情况： 和 ，画出图性质，利用三角函数解答即可求解；
（ ）设 交直线DE于点 ，由轴对称可得 ， ，进而得 ，即得 ，得到 ，由此可得 ，又由
，可得 ，即得 ，再分点 在线段AD上和点 在线
段BD上两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
（2）解：如图 ，作 于点 ，则 ，
∵点 到点 的距离相等，
∴ 垂直平分AD，
∵ 是边AB的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：当 时，如图 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，如图 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴
∴解得 ；
综上所述， 的值为 或 ；
（4）解：设 交直线DE于点 ，
∵点 与点 关于直线DE对称，
∴DE垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点 在线段AD上，如图 ，
则 ，
解得 ；
当点 在线段BD上，如图 ，则 ，
解得 ；
综上， 的值为 或 ．
【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、锐角三角
函数与解直角三角形，运用数形结合与分类讨论数学思想解题是解题的关键．
39．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（A在B的左
边），与y轴交于点C，连接 ， ，点D在抛物线上一点．
(1)求证； 是等腰直角三角形．
(2)连接 ，如图1，若 平分 ，求点D的坐标．
(3)如图2，若点D在线段 的下方抛物线上一点，画 于点E．
①求DE的最大值．
②在线段CE上取点F，连 ， ，若 ，且点C关于直线 的对称点恰好落在抛物线
上，求点D的坐标（直接写出答案）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得 即问题得解；
（2）过点 作 交 于点 , 交CD于 ，连接 ，利用等腰直角三角形的性质可得 ，
然后求出直线CF的解析式为： 再联立 即可求解；
（3）求得直线 的解析式为： ①设过点D的坐标为 过点 与直线 平行
的直线解析式为 过 点作 轴的平行线交 于点 ，通过联立方程可得点 的坐标为
根据 可得 点横坐标为 , 即可得 , 进而可得 再证明 为等腰直角三角形，即
问题得解；②设点C关于 的对称点为点 (且点 在抛物线上) ，则有 垂直平分
线段 ，即 由图可知抛物线 上除点 、点 外，再无其它点到原点的距离为
，由此可得点 与点 重合，此时对称轴 即为 斜边的中线，即点 为 中点，过 点作
于 点，连接 ，再计算出 可得 可知 点与 点重合，
则 点与 点重合，符合要求，问题随之得解.
【详解】（1）证明: 令 可得
令 可得 解得
∴ ,
，
，
为等腰直角三角形；
（2）过点 作 交 于点 , 交CD于 , 连接 , 如图,为等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵ 平分
，
即根据“三线合一”可知： 即
，
，
是等腰直角三角形，即 ，
∴ ，
设直线CF的解析式为 ，代入得：
，解得 ，
∴直线CF的解析式为： ，
联立 ，
解得 (舍去) , ，
；
（3）∵ ,
设直线BC的解析式为y=mx+n，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
①设点 的坐标为 过点 与直线 平行的直线解析式为 过 点作y轴的平行线交 于点 , 如图,
联立 可得
则
，
∴解得 ,
即点 的坐标为 根据 可得 点横坐标为 ，
即可得 ,
∴当DE有最大值时，点 的坐标为 , ,
即：
当 时，
∵ ,
，
，
为等腰直角三角形，
，
∴此时DE的最大值为
②设点 关于 的对称点为点 (且点 在抛物线上) ，则有 垂直平分线段 ，
即由图可知抛物线 上除点 、点 外，再无其他点到原点的距离为 ，
∴点 与点 重合，此时对称轴 即为 斜边的中线，
即点 为 中点，
过 点作 于 点, 连接 ,
∵ , 为等腰直角三角形，
且可得 为等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
，
，
此时若 点与 点重合，则 点与 点重合，满足
此时 点坐标为: ；
若 点不与 点重合：
点 为定点( 中点) ，且 点在线段 上，即：
第一种情况：当 点从 点往 点靠近时， 点也会逼近 点，此时形成的角 会越来越小，
∴即不存在 的情况；
第二种情况：当 点从 点往 点靠近时， 与 的夹角 将越来越小，则在 的另一个锐
角 会越来越大，
∴即不存在 的情况；
综上: 点与 点重合满足要求, 即 .
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正切，等腰三角形的判定与性质，二次函数与一元二次
方程的关系等知识，问题的难点在第三问的第二小问，确定F点为BC的中点是解答本题的关键.
40．（24-25九年级上·重庆·期末）在 中， ， ，点 在射线AB上，连接CD，过点 作 ，交CB于点 ，交CD于点 ．
(1)如图 ， ， ，求BD长度；
(2)如图 ，点 在射线 上，满足 ，连接 ，探究线段 之间的数量关系并证明；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，点 为平面内一动点，满足 ，当 最小时，在射线 、射
线 上分别有点 、点 ，使得 ，当 最小值时，请直接写出 的面积．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点 作 于 ，则 ，求出 ， ，在
中，解直角三角形求出 ， ，即可求出 ，解直角三角形求出
，由 即可解答；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，交CD于点 ，则 ，证明
，推出 ， ，再证明 ，推出 ，即可
得出结论
（3）作 交于点Q，过点A作 于点H，过点N作 交AB
于点G，取 的中 ，连接 ，证明 四点共圆， 是等腰直角三角形，得到
，当 与 重合时，即 两点重合时， 有最小值，证明 ，根据
， ，再证明 ，得到 ，当 三点共线
时， 有最小值，最小值为 的长，证明 ，得到 ，设
，则 ，求出 ， ，
中， ，求出 ，利用 的面积为 即可解答．
【详解】（1）解：过点 作 于 ，则 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ．证明如下：
过点 作 交 的延长线于点 ，交CD于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：作 交于点Q，过点A作 于点H，过点N作 交
AB于点G，取 的中 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四点共圆，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
如图，当 与 重合时，即 两点重合时， 有最小值，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∵ 点是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，当 三点共线时， 有最小值，最小值为 的长，∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
整理得：
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，解直角三角形，四点共圆的性质，勾股定
理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是：构造全等三角形．
