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专题 02 不等式与复数
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：基本不等式二元式................................................................................................................2
题型二：和式与积式............................................................................................................................2
题型三：柯西不等式二元式................................................................................................................3
题型四：齐次化与不等式最值............................................................................................................3
题型五：复数的四则运算....................................................................................................................3
题型六：复数的几何意义....................................................................................................................4
重难点突破：不等式与复数新定义问题............................................................................................4
02 重难创新练......................................................................................................................................5题型一：基本不等式二元式
1
1．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知ab= 且a,b∈(0,1)，则（ ）
4
1 4 2
A．a2+b2≥ B．b+ a>
2 9 3
1 1 3
C． + ≥4 D．a2+b≥
a b 4
2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若ex−√2=e2y，则x−y的最小值为（ ）
1 5ln2
A． B．√2 C．1 D．
2 4
1 1
3．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且 + =1，则4x+ y的最小值为（ ）
x−1 y
15+5√5
A．13 B． C．14 D．9+√65
2
题型二：和式与积式
4．（多选题）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则（ ）
1 1 √2
A．2a+b的最小值为8 B． + 的最小值为
a+1 b+2 2
1 6√2−1
C．ab的最大值为2√2 D．b+ 的最小值为
9−a 10
5．（多选题）（2024·广东佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则（ ）
A．ab的最小值为18 B．a2+b2的最小值为36
2 1 2
C． + 的最小值为 D．a+b的最小值为3+4√2
a b 3
6．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足m>n，且m+2n=4，则下列说法正确的是
（ ）n+2 n
A．|m−4|+2|n−4|=8 B． <
m+2 m
C．mn的最大值为2 D．m2+n2的最小值是4
题型三：柯西不等式二元式
7．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一
个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 ，
⃗a=(x ,y )
1 1
⃗b=(x ,y )
，由
|⃗a⋅⃗b|≤|⃗a||⃗b|
得到
(x x + y y ) 2≤(x2+ y2)(x2+ y2)
，当且仅当
x y =x y
时取等号.现已
2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
知a≥0，b≥0，a+b=9，则√2a+4+√b+1的最大值为 .
8． f(x)=|2asinx+2bcosx|+|acosx−bsinx|(a,b∈R)的最大值为√5，则复数z=a+bi的模为
9．若2x+3 y+z=7，则x2+ y2+z2的最小值为 ．
题型四：齐次化与不等式最值
10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知 ，则 的最小值为 ．
x2+2y2−√3xy=1(x,y∈R) x2+ y2
3 8
11．已知正数x，y满足 + =2，则xy的最小值是（ ）
(x+2y)y (3x+2y)x
5 5 4 7
A． B． C． D．
8 4 3 4
2xy xy
12．已知x>0，y>0，S= + ，则（ ）
4x2+ y2 x2+ y2
9 2√2
A．S的最大值是 B．S的最大值是
10 3
3 9√2
C．S的最大值是 D．S的最大值是
2 4题型五：复数的四则运算
z4
13．（2024·浙江·二模）已知z2−z= ，则|z|=（ ）
z
√2 √6
A．0 B． C．1 D．
2 2
14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2−2x+2=0的两个根分别为x ，x ，则
1 2
（ ）
|x +2x |=
1 2
A．1 B．√5 C．√7 D．√10
15．在复平面内，复数 对应的点关于直线 对称，若 ，则 （ ）
z ,z y=x z =2+i |z +1−3i|=
1 2 1 2
A．√29 B．5 C．√5 D．1
题型六：复数的几何意义
1−z
16．（2024·湖北·模拟预测）若复数z满足 =1+i,i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ）
z−i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．复数z满足|z−5|=|z−1|=|z−i|，则|z|=（ ）
A．√10 B．√13 C．3√2 D．5
18．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足z(1−i)=a−i(a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不可
能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
重难点突破：不等式与复数新定义问题
19．正割(secant)及余割(cosecant)这两个概念是由伊朗数学家阿布尔⋅威发首先引入的．定义正割
1 1
secα= ，余割cscα= ．已知m为正实数，且m⋅csc2x+tan2x≥15对任意的实数
cosα sinα
(
kπ
)
x x≠ ,k∈Z 均成立，则m的最小值为（ ）
2A．1 B．4 C．8 D．9
20．定义： 表示数集 中最小数，例如 3 39．已知 ， 且 { √x }，则
minA A y=− x− x>0 y>0 z=min ,√y
8 8 x+ y
z的最大值为（ ）
1 √2
A． B．1 C． D．2
2 2
21．（多选题）（2024·河北沧州·一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一
个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，
于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数
为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]
来表示复数的“大小”，例如：[1+2i]=√5，[1−2i]=−√5，[1]=1，[−3]=−3，[−1−2i]=−√5，
则下列说法正确的是（ ）
A．[z]=1在复平面内表示一个圆
B．若z∈C，则方程[z] 2=−1无解
C．若 为虚数，且 ，则
z ,z z =z [z ]+[z ]=0
1 2 1 2 1 2
D．复平面内，复数z对应的点在直线y=−x+4上，则|[z]|最小值为2√2
1．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世
纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观
《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均为
正数）.则 ， ”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好
(a+b) 2=4ab+(b−a) 2 (a+b) 2=2c2−(b−a) 2
奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），
请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）A．9 B．18 C．27 D．36
z
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）若 =i3，则z=（ ）
z+i
1 1 1 1 1 1
A． −i B． +i C． − i D． + i
2 2 2 2 2 2
z+1
3．（2024·北京·模拟预测）若 =i，则|z|=（ ）
z−1
√2 1
A．√2 B． C．1 D．
2 2
4．（2024·四川宜宾·一模）如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为1，点A、B对应的复数分
别为 ，则 （ ）
z 、z |z −z |=
1 2 1 2
A．√13 B．√10
C．3 D．√5
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数z=a+bi在复平面内表示一个圆周，则z'=a2+b2i在复平面内表
示的点构成的形状为：（ ）.
A．圆周 B．椭圆周 C．双曲线的一部分 D．线段
6．（2024·浙江温州·一模）若i2025z=1+i，则复数z对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四( 1)( 1)
7．（2024·河南·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+b=1，则 a+ b+ 的最小值为（ ）
a b
16 25
A．4 B．5 C． D．
3 4
1 1
8．（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+ y=1，则 + 的最小值为（ ）
2x 1+ y
3+2√2 3+2√2 4
A． B． C．2 D．
2 4 3
2x+5 y
9．（2024·福建·模拟预测）在△ABC中，点D是边BC上一点，若⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则 的最小
xy
值为（ ）
A．7−2√10 B．7+2√10 C．−2√10 D．7
10．（2024·山西·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
x>0 y>0 4x2+5xy=(4+ y)(4−y) 7x+4 y
（ ）
A．6√3 B．6√5 C．8√3 D．8√5
1 1 1
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若存在t，使得a−22 B．a2+2a−3>0
C． 16的最小值为8 D． a4 的最大值为－16
a2+
a2 4−a2
12．（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）已知z∈C，z为z的共轭复数，则下列条件可判定z∈R的是：
（ ）.
z z
A． = B．z⋅z=0
|z| |z|
C．z2=z2 D．z2 ⋅z=z⋅z2
13．（多选题）（2024·宁夏吴忠·一模）已知z ,z 为方程x2−10x+40=0的根，则（ ）
1 2
A．z +z =10 B．z z =10
1 2 1 2
C． D．
z =z |z |=|z |
1 2 1 2
14．（多选题）（2024·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，ab=2，则（ ）1
A．log a⋅log b的最大值为 B．2a+4b的最小值为8
2 2 2
1 b 3
C．a3+b3的最小值为4√2 D． + 的最小值为
b a 2
15．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数x，y满足x+2y=1，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A．xy的最大值为 B．x2+4 y2的最小值为
8 2
1 3
C．√x+√2y的最大值为2√3 D． + 的最小值为7+2√6
x y
16．（2024·上海普陀·模拟预测）函数y=log (x+2)−1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直
a
1 1
线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为 .
m n
alnx e
17．（2024·新疆喀什·三模）已知函数f (x)= 和g(x)=b(√x−x)（b>0）有相同的最大值．则a+
x b
的最小值为 ．
18．（2024·吉林长春·一模）若 ，则 .
(√3+i) 99=x+ yi x+2y=
19．（2024·浙江杭州·一模）已知复数
z ,z
的实部和虚部都不为0，满足①|z
1
|
=2
；②
|z z |=2
.则
z =
1 2 z 1 2 1
2
，z = .（写出满足条件的一组z 和z ）
2 1 2
20．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若
n
为正整数，则
[r(cosθ+isinθ)] n =rn[cos(nθ)+isin(nθ)]
，
其中i为虚数单位，已知复数z=202√4 985 ( sin π +icos π) ， 则|z2024|= ，(z2024)的实部为 ．
6 6
