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第二十五章 概率初步（压轴题专练）
一、填空题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如
d d
x= x=
与 、 与 5．在一次制取 的实验中， 与 的原子个数比为2：1， 与 5的原子个数比
为1：1，若实验恰好完全反应生成 ，则反应生成 的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成 的结果数，
然后根据概率公式求解．．
【详解】解：反应的化学方程式为 ，
与 的原子个数比为 ， 与 的原子个数比为 ，
反应后生成的 中 来自于反应物C，而 来自于反应物O，
共有6种等可能的结果数，其中反应生成 的结果数为2，
∴反应生成 的概率为 ，
故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
2．（2023春·全国·七年级期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张
标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确
的是（ ）
A．小王的可能性最大B．小李的可能性最大C．小马的可能性最大D．三人的可能性一样大
【答案】D
【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李
抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求
出三人抽到“主持人”的可能性．
【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况：
小王抽到“主持人”可能性为 ，
小王抽到空白纸条的可能性为： ，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条，
抽取“主持人”可能性为： ，
抽取空白纸条可能性为： （当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”），
故小李抽到“主持人”的可能性为： ，
小马抽到“主持人”的可能性为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域
为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份
数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的
值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴ ，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴ ，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图
中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
4．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚
动，最后停留在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得 ；根据菱形和余角性质，得 ，从而得
；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合
概率的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，
∵两个菱形相同
∴
∴
又∵两个菱形
∴ ，∴
∴
∴
∴阴影部分面积 ，
∴部分重叠的两个菱形面积 -阴影部分面积
∴最后停留在阴影部分的概率
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、
概率的性质，从而完成求解．
5．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），
小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上
或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可
估计不规则图案的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，
再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把
0.35作为概率．设不规则图案的面积为xcm2，则有
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统
计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学
生知识的灵活应用提出了更高的要求．
6．（2023·全国·九年级假期作业）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是
正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝ a，再利用四边形
BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝ a，则S BEOF＝ a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝
正方形
AN＝MN＝x，即3x＝ a，解得x＝ x，则S MNGH＝ a2，然后根据几何概率的意义，用两个小
正方形
正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的
概率．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝ a，∵四边形BEOF为正方形，
∴CF＝OF＝BF，
∴S BEOF＝（ a）2＝ a2，
正方形
设正方形MNGH的边长为x，
∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形，
∴CM＝AN＝MN＝x，
∴3x＝ a，解得x＝ a，
∴S MNGH＝ ＝ a2，
正方形
∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣ ＝
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.
二、填空题
7．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点 在⊙ 上， ，以 为圆心， 为半径的扇形
内接于⊙ ．某人向⊙ 区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形 内的概率为 ．
【答案】 /0.5
【分析】分别求得⊙ 的面积和扇形的面积即可求解．
【详解】解：连接BC，
∵ ，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
设⊙ 的半径为r，如图，
连接OA，过点O作OD⊥AB，则OA=r，AB=2AD，∠OAD= ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴圆的面积为 ，扇形的面积为 ，
∴飞镖恰好落在扇形 内的概率为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与
正方形 ．连结 交 、 于点 、 ．若 平分 ，现随机向该图形内掷一枚小针，
则针尖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】 / /0.25
【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG交BD于点P，∵ 平分 ，
∴ ∠ADE＝∠MDE
∵四边形EFGH是正方形
∴∠MED＝90°，
∴∠AED＝180°－∠MED＝90°
∴∠MED＝∠AED
∵DE＝DE
∴△ADE≌△MDE（ASA）
∴AE＝ME
同理可证 BGC≌△BGN（ASA），
∵四边形△ABCD是正方形
∴∠ADM＝45°
∴∠ADE＝∠MDE＝22.5°
∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5°
∵∠MEG＝45°
∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5°
∴∠EMD＝∠MPE
∴EM＝EP
设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x
在Rt EFG中，∠EFG＝45°，
△
∴FG＝EG×sin45°＝
∵ BFA≌△AED≌△CGB
△
∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝ ， BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌ MED，
△ △
在Rt BCG中，
△∴ ＝
∴
∴针尖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的
面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键．
9．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）有三张正面分别标有数字 ，1，2的不透明卡片，它们除数字
不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不
放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组 的解
集中有且只有2个非负整数的概率为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的
坐标，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解不等式①得 ．
a、b取值：
1 21
2
共6种情况：
， 时，解不等式②得 ，非负整数解只有0个．
， 时，解不等式②得 ，非负整数解只有0个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有5个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有2个．
， 时，解不等式②得 ， 非负整数解只有5个．
， 时，解不等式②得 ， 负整数解只有4个．
综上所述，关于x的不等式组 的解集中有且只2个非负整数的概率为 ．
故答案为：
【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符
合要求的点是解题关键.
10．（2023春·四川成都·九年级专题练习）已知 满足
，则使一次函数 的图象经过一、二、四象
限的 的概率是 ．
【答案】 ．
【分析】根据 的值不是1就是－1，得出 有6个是负数，2006个是正数，再根据一次函数经过一、二、
四象限得出一次项系数小于0，即可求出概率．
【详解】解：∵ 的值不是1就是－1，且 满足 ，
∴ ， ， ，
∴ 有6个是负数，2006个是正数，
∵ 时直线 的图象经过一、二、四象限，
∴使直线 的图象经过一、二、四象限的 概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握绝对值的性质，一次函数的图象和性质，以及概率的求
解方法．
11．（2023春·天津和平·九年级专题练习）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．
如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为 ．
【答案】
【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．.
【详解】解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种，
所以概率为： ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答
本题的关键．三、解答题
12．（2023·江苏泰州·统考二模）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿
水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发
现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、
乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．
(1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；
(2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；
(3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；
(4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率．
【答案】(1)38千克
(2)甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量
一样高
(3)15520千克
(4)
【分析】（1）根据中位数的定义求解可得．
（2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得．
（3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可．
（4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得．
【详解】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克，
所以甲山4棵小枣树产量的中位数为 （千克）．
故答案为：38千克．
（2）解：因为 （千克），（千克），
所以 ，
所以甲、乙两座山的样本的产量一样高．
答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产
量一样高．
（3）四座山的小枣树的总产量为： （千克）．
答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克．
（4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种，
所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为 ．
【点睛】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图
或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息．
13．（2023春·江西南昌·九年级南昌市外国语学校校考开学考试）为了倡导保护资源节约用水，从某小区
随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
(1)这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
(2)把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；(3)从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t
的概率．
【答案】(1)3
(2)12.4
(3)
【分析】（1）由统计图可知，用50减去其他各组用水量的户数即可；
（2）根据题意找出各组的中间值，再用各组的中间值乘以各组的户数然后把它们的总和除以总户数即可．
（3）先列表展示所有20种等可能的结果数，再找出至少有1户用水量在30～40t的结果数，然后根据概
率公式计算．
【详解】（1）解： 50-20-25-2=3(户)
答：这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户．
（2）解：∵0～10的中间值为5；10～20的中间值为15；20～30的中间值为25；30～40的中间值为35；
∴（5×20+15×25+25×3+35×2）÷50=12.4（t）．
答：估计该小区平均每户用水量为12.4t．
（3）解：用水量在20～30t的家庭用A表示，有3户，用水量在30～40t的家庭用B表示，有2户，任意
抽取2户列表如下：
A A A B B
1 2 3 1 2
A AA AA AB AB
1 1 2 1 3 1 1 1 2
A AA AA AB AB
2 2 1 2 3 2 1 2 2
A AA AA AB AB
3 3 1 3 2 3 1 3 2
B BA BA BA BB
1 1 1 1 2 1 3 1 2
B BA BA BA BB
2 2 1 2 2 2 3 2 1
∵共有20种等可能结果，其中至少有1户用水量在30～40t的结果有14种，
∴P(至少有1户用水量在30～40t)= = ．
答：从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，至少有1户用水量在30～40t的概率是 ．
【点睛】此题考查了数据分析和画树状图（或列表）求概率，解题的关键是分析统计图，根据题意画出表
格，注意列举出所有的等可能结果．14．（2023春·云南·九年级专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．
抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15
元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，
否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如
某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案
B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析
【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获
得奖金的平均值即可．
【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，
由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，
从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，
所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为 ；（2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为 ，获得30元（2次都是红球）
的概率为 ，两次都不获奖的概率为 ，
所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15× +30× =10（元），
②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为 ，因此获得奖金的平均值为：10× ≈6.7（元），
③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15× +10× ≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答
的前提．
15．（2023·广东广州·校考二模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A， ， 三种午餐供师生
选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A， ，
三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条
形统计图：
种类 数量（份）
A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图
的方法求该校学生小芳选择“ ”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不
得超过3元，否则应调低午餐的单价．①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得
下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利
润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即
可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3
元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为 （份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，
（A+B）一共为 （份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“ ”组合的概率为 ；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为： （元），
∵ ，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），调低C单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周
平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为
14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求
概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，
而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了
一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
(1)本次抽测了 名九年级学生，a＝ ，本次成绩的中位数位于 组；
(2)若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
(3)在本次抽测的优秀学生中按1∶9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生
参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
【答案】(1)300；108；C；
(2)3600人
(3)
【分析】（1）利用A组频数和圆心角求得总人数，根据圆心角=（各组人数÷总人数）×360°求出各组人数即可解答；
（2）根据E组人数所占的圆心角估计总体即可；
（3）根据优秀的人数计算出抽取的人数，再利用列表法求概率即可；
【详解】（1）解：由A组的频数和扇形圆心角可得：总人数=30÷ =300（人）；
a= ；
B组人数= （人），C组人数= （人），
一共300名学生，中位数是第150名、151名学生的平均成绩，
∵30+60=90，30+60+75=165，∴第150名、151名学生在C组，即中位数位于C组；
（2）解：E组的圆心角=360°-36°-72°-90°-108°=54°，
∴优秀学生的约有 =3600（人）；
（3）解：优秀学生人数= （人）；
按1∶9的比例抽取部分学生，则抽取了5名学生，有2名女生则有3名男生，
根据题意列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3
女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2
由表可知一共有20种可能结果，一男一女的结果有12种，
∴抽取一男一女的概率=12÷20= ；
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联计算；列表法求概率；掌握相关的定义的计算方法是
解题关键．
17．（2023·广东梅州·校考一模）五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出A、B、C、D四
种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
(1)请你将图2的统计图补充完整．
(2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？
(3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中
随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．
【答案】(1)见解析
(2)D
(3)
【分析】(1)先利用扇形统计图计算出C型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以50%得到C型轿车的销
售量，再补全条形图；
(2)分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行比较判断即可；
(3)利用概率公式计算即可．
【详解】（1）C型号轿车的销售量为1000×20%×50%=100（辆），补全统计图如图所示，
（2）解：A型号的轿车销售成交率为 ；
B型号的轿车销售成交率为 ；
D型号的轿车销售成交率为 ；
C型号的轿车销售成交率为 ；∴D型号的轿车销售情况最好；
（3）抽到A型号的轿车发票的概率
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用及概率的计算，正确地从统计图中获得有用的信息是
解题的关键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和
9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，
并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若 ，求x的值．
【答案】(1) ；
(2)B点表示的数为-21；
(3)x的值为4或6．
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向
左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到
结果．
【详解】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4，
故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ，
则P(奇数)= ，∴P(B点移动到4)= ；
（2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，
当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
当b=0时，3a-30=0，
∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次，
∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21；
（3）解：刚开始AB的距离等于15，
均为偶数时，AB距离缩短3，
均为奇数时，AB距离缩短3，
均为一奇一偶时，AB距离也缩短3，
当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4；
当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值为4或6．
【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2023·北京海淀·九年级期末）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅
读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主
题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体
育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示．
请你根据以上信息，解答下列问题．
(1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度；
(2)补全条形统计图；
(3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织
的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率．【答案】(1)400；108°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度
数；
（2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可；
（3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率．
【详解】（1）解：样本容量是： ；
C所占的百分比为： ；
∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°．
故答案为：400，108
（2）解：D的数量为： ，
B的数量为： ；
补全条形图如下：
（3）解：由题意，树状图如下：
∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能．
所以 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握
题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题．20．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．
甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
(1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等
方法写出分析过程）．
(2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率；
（2）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合
题意的情况数，即可求出概率．
【详解】（1）根据题意画出树状图，如图所示：
共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有２次，因此摸出的都是白色小球的概率为 ；
（2）从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白 、白 白 、红白 ，从第二个布袋中摸出两个小球，
１ １ ２ ２
可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示：
共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有５种，因此摸出
的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求比较复杂的情况概率，画出树状图或列出表格是解题的关键．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在
运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果
公司的销售记录
特级柑橘的售价（元/千克） 14 15 16 17 18
100 85
特级柑橘的日销售量（千克） 950 900 800
0 0
（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；
（2）按此市场调节的观律，
①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由
②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持
不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．
【答案】（1）9000千克；（2）①当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克，理由见解析；②最大
利润售价为19元/千克，每日的最大利润为7500元，理由见解析
【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概
率，根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可．
（2）①根据表格求出销售量y与售价x的函数关系式，代入x=16.5计算即可；
②12天内售完9000千克完好的柑橘，求出日最大销售量即可求出售价的范围，再根据利润=（售价-进价）
×销售量求出利润与售价的函数关系式即可；
【详解】（1）由图可知损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定
故所求为 千克
（2）①设销售量y与售价x的函数关系式为由题意可得函数图像过 及 两点
得
∴ 与 的函数关系式为
把 代入，
∴当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克
②依题意得：12天内售完9000千克柑橘
故日销售量至少为： （千克）
∴
解得
设利润为w元，则
∴对称轴为x=21.5
∴当 时w随x的增大而增大
∴当 时销售利润最大，最大利润为 （元）
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，以及二次函数销售利润问题．解题的关键是在图中得到必要的信
息，求出柑橘损坏的概率；并利用等量关系：利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式．
22．（2023春·江苏·八年级期末）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写
出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先
擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙
胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）．
【答案】
【详解】解 获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2，3，4，…，2006中有1003个偶数，
1002个奇数．
（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．
乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数（没有奇数时才擦去偶数）这样最后两个数一定都是偶
数，它们不互素，故乙胜．（2）若裁判擦去的是偶数 ，则所剩的2004个数可配成1002对，每对中两个数互补： ，
，…， ， ，…，
这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互
补，故甲胜．
所以，甲获胜的概率为 ．
23．（2023·福建·九年级专题练习）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意
是：齐王有上、中、下三匹马 ，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜
负可用不等式表示如下： （注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，
齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，
田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上
马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造
了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并
求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，
请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜， ；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是
， ， ， ， ，
，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：， ，
， ，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
， ，共两种，
故此时田忌获胜的概率为 ．
（2）不是．
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
， ， ，
， ， ．
齐王的出马顺序为 时，比赛的所有可能对阵是
， ， ，
， ， ，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率 ．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
24．（2023春·福建南平·九年级专题练习）某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为
面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每
200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个
不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．
抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字
之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖．
（1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；
（2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下
（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）：
①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数；
②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均
可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？
【答案】（1） ， ， ；（2）① 元，② 元．
【分析】(1)列表表示出所有可能，再根据概率公式计算即可；
(2) ①根据平均数公式计算即可；②根据超市每销售100元，平均可获利20元，求出利润，再减去购物卡
金额即可．
【详解】解：(1)列表如图所示：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 53 4 5 6
一共有9种等可能结果，和为6的有1种，和为5的有2种，和为4的有3种，
获得一等奖的概率为 ；
获得二等奖的概率为 ；
获得三等奖的概率为 ；
(2) ① 样本数据中每位顾客消费金额的平均数为：
（元）
②超市每销售100元，平均可获利20元，销售获利为 （元），
样本数据中可抽奖次数为 （次），
2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动抽奖次数为 （次）
兑现的购物卡金额为 （元），
这一天超市共盈利为 （元）；
估计这一天超市共盈利大约为 元．
【点睛】本题考查了是概率和样本平均数以及用样本估计总体，解题关键是熟练运用列表法求概率，准确
的用样本数据估计总体数据．
25．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）在抛物线 中，规定：（1）符号 称
为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交
点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是 ，则此抛物线的函数表达式为 ，当 满足 时，此抛物线没有“抛物
线三角形”；
（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为 的“抛物线
三角形”的面积；（3）在抛物线 中，系数 均为绝对值不大于 的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”
是等腰直角三角形的概率．
【答案】（1）y=-x2+m;m≤0；（2）抛物线系数为 的“抛物线三角形”的面积= ，抛物线系数为
的“抛物线三角形”的面积= ；（3）该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概
率= ．
【分析】（1）由一条抛物线的系数是 ，可得 ，-1 0抛物线开口向下，当抛物线的顶
点在原点（0，0）或x轴下方时即可求出；
（2）设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，由等腰直角三角
形性质OE=AE=DE,即OA=2ED，抛物线顶点D ，A(-b,0)，则 ，可求 ， 分两
种情况分别求出抛物线，再求抛物线三角形面积即可
（3）系数 均为绝对值不大于 的整数， ， ， ，一共有18种可能情况，
或 抛物线为 或 ，EH=2，GF=1，EH=2GF， EFH为等腰
△
直角三角形，能构成等腰直角三角形的只有两种情况，利用概率公式可求．
【详解】解：（1）∵一条抛物线的系数是 ，
，
-1 0抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”，
当 满足 m≤0 时，此抛物线没有“抛物线三角形”，
故答案为：y=-x2+m;m≤0；
（2）抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的
顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，
由等腰直角三角形性质有：OE=AE=DE,即OA=2ED，，
抛物线顶点D ，A(-b,0)，
∴OA= ，DE= ，
则 =2× ，
∴ ，
，
，不存在三角形，舍去，
∴ ，
，
当 ，
抛物线系数为 ，抛物线为 ，
当y=0， ，
顶点坐标 ，与x轴的交点为（2，0），（3，0），抛物线系数为 的“抛物线三角形”的面积= ，
当 ，
抛物线系数为 ，抛物线为 ，
顶点坐标 ，与x轴的交点为（6，0），（-1，0），
抛物线系数为 的“抛物线三角形”的面积= ，
（3）系数 均为绝对值不大于 的整数， ， ， ，
一共有18种可能情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑，
①一次项系数为0， 或 ，
抛物线为 ，或 EH=2，GF=1，EH=2GF，
∴三角形EFH为等腰直角三角形，
， ， ， 没有抛物线三角形
②系数都不为0 ， ， ，， ，， ， ， ，
， =5，x= ,EH= ,GF= ，EH≠2GF，不是，
△
③常数项为0 ， ， ， 都不能构成，
其它 也没有抛物线三角形
为此能构成等腰直角三角形的只有两种，
该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率= ．
【点睛】本题
考查抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，概率，
掌握抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，会利用
树状图求概率是解题关键．26．（2023春·山东济南·九年级专题练习）为实施“精准扶贫”政策，西昌市某校随机抽取了一部分班级
对“建档立卡家庭户”的学生人数情况进行了统计，发现各班“建档立卡家庭户”学生的人数只有1名、2
名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）求班上有3名“建档立卡家庭户”的学生的班级所占圆心角，并将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有80个班级，请你估计该校共有多少名“建档立卡家庭户”的学生?
（3）某爱心人士决定从只有2名“建档立卡家庭户”学生的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列
表法或画树状图的方法，求出所选两名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级的概率．
【答案】（1）54°，图见解析；（2）320；（3）
【分析】（1）根据6名学生的班级个数及百分比求出班级数量，再利用公式求出有3名“建档立卡家庭
户”的学生的班级所占圆心角，再计算出有2名学生的班级数即可绘制条形图；
（2）利用公式求出平均数，再乘以80即可得到答案；
（3）列树状图（或列表）解答.
【详解】解：（1）抽查的班级数量： （个）
有3名学生的班级所占圆心角：
有2名学生的班级数： （个）
如图所示：（2）每个班级“建档立卡家庭户”的平均数：
（名）
答：该校共有320名“建档立卡家庭户”的学生；
（3）设第一个班的两名学生为 ， ，第2个班的两个学生为 ， ，
列树状图如下：
（列表如下：）
第1名
第2名共有12种可能，其中2名“建档立卡家庭户”的学生来自同一个班级有4种可能，设2名“建档立卡家庭
户”的学生来自同一个班级为事件A
∴ .
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百
分比大小，会列树状图或列表求事件的概率.
27．（2023秋·九年级单元测试）感恩节即将来临，小王调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种
方式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A类——当面表示感谢、B类——打电话
表示感谢、C类——发短信表示感谢、D类——写书信表示感谢．他将调查结果绘制成了如图所示的扇形
统计图和条形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：
（1）补全条形统计图；
（2）在A类的同学中，有4人来自同一班级，其中有2人主持过班会．现准备从他们4人中随机抽出两位
同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）联系扇形统计图和条形统计图的信息分别求出调查的学生总数、C类人数和B类人数，然后
画图即可；
（2）先采用列表法或树状图法列出所有机会均等的结果，然后求出抽出1人主持过班会而另一人没主持过
班会的概率．
【详解】（1）调查的学生总数为 ％ （人），C类人数为 （人），
B类人数为 （人），
条形统计图为：
（2）设主持过班会的两人分别为 、 ，另两人分别为 、 ，填表如下：
由列表可知，共有12种等可能情况，其中有8种符合题意，
所以 （抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会） ．
【点睛】此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、通过列表法与树状图法求概率，解题关键是正确读
懂统计图的信息．
28．（2023春·福建福州·九年级福建省福州外国语学校校考期中）在中国，不仅是购物，而且从共享单车
到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在
迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性
2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的
现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”
（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）
手机支
非手机支付 合计
付
男 a b女 c d
合计 60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支
付族”的概率是多少？
（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，
它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到
2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从
实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.
【答案】（1）①40，20，18，42；② ；（2）选择方案二更划算.
【分析】（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，进而可以补充表格数据；
②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；
（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，
1080元，1020元，根据从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机
摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图分别求出摸到1个红
球，摸到2个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．
【详解】解：（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，
∵b=30，c=8，
∴a=10，d=12，
补充表格如下：
手机支
非手机支付 合计
付
男 a b 40
女 c d 20
合计 18 42 60
故答案为：18，42，40，20；
②由①可得，女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是 ；
（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，
∵从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个
放回后抽取），
设两个红球为A、B，白球为C、D，
画出树状图为：
根据树状图可知：
所有可能的结果共16种，摸到1个红球的有8种，摸到2个红球的有4种，未摸到红球的有4种，
所以摸到1个红球的概率为： ，则打9折，
摸到2个红球的概率为： ，则打8.5折，
未摸到红球的概率为： ，按原价付款．
所以实际付款的平均金额为：1080× +1020× +1200× =1095（元）．
因为1100元＞1095元，
所以选择方案二更划算．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、算术平均数、概率公式，解决本题的关键是掌
握树状图法求概率．
29．（2023春·山东青岛·九年级专题练习）2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色
家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．（1）分数段在-----范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、
白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配
的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．
【答案】（1）85～90（2）24人（3）1/3
【详解】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人，
故答案为85～90；
（2）全校参加比赛的人数=5+10+6+3=24人；
（3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示，
共有9总搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种，
上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为：
（1）由条形图可直接得出人数最多的分数段；
（2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数；
（3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率
30．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，
XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这 件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的
概率为 ，求x，y的值．
【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见
解析；（3） ．
【分析】（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可；
（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；
（3）由销量比，则 ，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）抽取的总数为： （件），
∴XXL的百分比： ，
XL的百分比： ；
∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%．
（2）根据题意，
S号的数量： （件），
L号的数量： （件），
XL号数量： （件），
补全条形图如图所示．
（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则 ，根据概率的意义，有 ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计
图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
31．（2023春·山东济南·九年级专题练习）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体
系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情
况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅
不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，
请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4） ．
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；
（2）先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为：（人）；
故答案为：60；
（2）选择编织的人数为： （人），
补全条形图如下：
（3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
（4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为： ；
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率
=所求情况数与总情况数之比．
32．（2023·全国·九年级假期作业）寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：①棋盘为正五边形 ．一跳棋棋子从点 开始按照逆时针方向起跳．从点 跳到点 为 步．从点
跳到点 为 步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：
②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点 ，就算完成了一次操作：
③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点 ，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位
置，不论是否回到点 ．都算完成了一次操作．
（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到 点的概率为___．
（2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到 点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过
程）
【答案】 ；
【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；
（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.
【详解】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，
其中，掷出5时可以回到点A，
∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到 点的概率为 ；
（2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到 点，
则①第一次就掷出5，
②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，
画树状图如下：共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到 点的情况有7种，
∴经一次操作， 使得棋子跳回到 点的概率为 .
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要
求的情况数.
33．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）一个不透明的口袋中有 个大小、质地完全相同的乒乓球，球
面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出 个球，则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为 _；
（2）摇匀后先从中任意摸出 个球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点 的横坐标：再从余下的
个球中任意摸出 个球，记下数字作为点 的纵坐标，用列表或画树状图的方法求：两次摸球后得到的
点 恰好在函数 图像上的概率．
【答案】（1） ；（2）两次摸球后得到的点 恰好在函数 图像的概率为
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）利用列表法，展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸球后得到的点 恰好在函数
图像上的结果数，然后根据公式求解．
【详解】解：（1）摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为： ；
故答案为： ；
用列表法表示为：
点 的坐标∴共有 种等可能的结果，其中两次摸球后得到的点 恰好在函数 图像的有 种，
设事件“两次摸球后得到的点 恰好在函数 图像”记为“事件 ”，
则 ；
答：两次摸球后得到的点 恰好在函数 图像的概率为 ；
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
34．（2023春·浙江·九年级专题练习）九年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”
后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行
训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计
图．请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）该班共有学生______人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是_______．
（2）老师决定从选择铅球训练的 名男生和 名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的
方法求恰好选中两名男生的概率．
项目选择人数情况统计图
训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计图【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）总人数用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数，由加权平均数的公式，即可
求出答案；
（2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）该班共有学生（2+5+7+4+1+1）÷50%=40人；
训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是：
，
故答案为：40，5；
（2）三名男生分别用A，A，A 表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下：
1 2 3
由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）的结果有6种，
∴P（M）= ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此
题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比
35．（2023·福建·模拟预测）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该
公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班
车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景
区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程 （米）与时间 （分）的函数关系如
图2所示．
（1）求第一班车从入口处到达塔林的时间．（2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草
甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不
变）．
（3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不
超过3分钟的概率是多少？
【答案】（1）10；（2）7；（3） .
【分析】（1）根据题意设y=kx+b，运用待定系数法求解并把y=1500代入即可得出答案；
（2）由题意设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根
据“路程、速度与时间的关系”解答即可;
（3）根据题意求出小聪等车时间不超过3分钟的时间长度，代入概率计算公式，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b，
得 ，解得 ，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y=150x-3000（20≤x≤38）；
把y=1500代入y=150x-3000，解得x=30，
30-20=10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟.
（2）设小聪坐上了第n班车，则30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
即等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150=8（分），
步行所需时间：1200÷（1500÷25）=20（分），20-（8+5）=7（分），
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．
(3)由题意设小聪到达时间为y，
当y在8：37至8：40，或8：47至8：57时，共计6分钟，小聪等车时间不超过3分钟，
又小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，
故有其概率为： .
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
36．（2023·福建福州·校联考模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器
有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备
件不足再购买，则每个500元，三年后如果备件多余，每个以 元（ ）回收．现需决策在购买机器时
应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如
下频数分布直方图：
记 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计 不超过19的概率；
（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在 与 之中选其一，当
为何值时，选 比较划算？
【答案】（1）树状图见解析， ；（2）当 时，选 比较划算
【分析】（1）先画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案；
（2）设 为该公司购买易损零件所需的费用，购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另
一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时和n=20时 ， 与a的函数关系式，再根据 ＜
即可得到结果．
【详解】解：（1）如下图：由题可知所有结果出现的可能性相同，所以 不超过19的概率为： ；
（2）由（1）中树状图可得x的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，且取各值时x出现的次数如下
表，
1 2
16 17 19 20 22
8 1
出现的次数 1 2 3 4 3 2 1
设 为该公司购买易损零件所需的费用，
当 时，则有
16 17 18 19 20 21 22
；
当 时，则有
16 17 18 19 20 21 22
；
依题意得 ，解得 ，
∴当 时，选 比较划算．
【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找
出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率= ．同时也考查了利用平均
数进行决策以及建立函数模型解决问题等知识，综合性较强．
37．（2023·陕西西安·校考一模）[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小
红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷.
（1）你认为游戏公平吗?为什么?
（2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢?请你设计一个
方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式）
【答案】（1）不公平，理由见解析；（2）
【分析】（1）首先分别计算小红和小明获胜的概率，相比较，获胜概率不同，所以可判定不公平；
（2）首先设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为 ），然后往图形中
掷点，掷在正方形外或边界上不作记录，其次当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内
次，其中 次掷入不规则图形内，最后用频率估计概率，大概可得出结果.
【详解】（1）不公平.理由如下：
（掷中阴影部分） ，即小红获胜的概率为 ，则小明获胜的概率为 ， ，
游戏不公平
（2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将
不规则图形围起来（如正方形，其面积为 ），如图所示；
②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）；
③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内 次，其中 次掷入不规则图形内；④设不规则图形的面积为 ，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率 （掷入不规则图形内），
而 （掷入不规则图形内） ，故 ，即 .
【点睛】此题主要考查概率的计算和用频率估计概率，熟练运用即可解题.
38．（2023·辽宁抚顺·统考三模）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，
并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不
完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用
列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】（1）200 ， ；（2）1224人；（3）见解析， .
【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”
类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的
值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概
率公式求解．
【详解】解：（1） ，
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
，即 ；
（2） ，所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
39．（2023春·八年级单元测试）计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以
使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本
原理---加法原理、乘法原理.
问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机
有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共
有 种不同的走法：
问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法：
方法探究
加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n
种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步
骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就
是分步乘法计数原理.
实践应用1
问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北
走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2
填出.
(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，
便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种：
(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种.
(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返
回)概率是实践应用2
问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，
问共有 种不同的染色方法.
【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3） ；问题4：240种.
【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，
再由加法原理求解即可，
问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可，
问题3.
（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不
同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与
其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；
（2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点
总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止
通过交叉点C的走法；
（3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率．
问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C
区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只
与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共
有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法．【详解】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每
一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法．
问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘
法原理，共有 3×2=6种不同的走法．
问题3.
（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，
∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分
类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．
答：从A点到B点的走法共有35种．
（2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即
得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．
完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，
使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见
图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．
∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．
方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分
类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见
图4，
∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．
（3）P（顺利开车到达B点）= ．答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是 ．
问题4. 解：乘法原理可得：
5×4×3×2×2=240（种）．
答：共有240种染色方法．
【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解
此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单．
40．（2023春·八年级课时练习）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．
小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整
的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问
题：
（1）求该班共有多少名学生；
（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？
【答案】（1）50（2）15（3）144°（4）
【分析】（1）根据A是5人，占总体的10%，即可求得总人数；
（2）根据总人数和B所占的百分比是30%求解，然后补充图形；
（3）首先计算C所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数；
（4）只需用D的人数除以总人数，求得所占的比例即可．
【详解】解：（1）5÷10％=50（人）
（2） 50×30％=15（人）（3）360°× =144°
（4） ．
考点：数据分析（统计图，概率）
