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第二十五章 概率初步(A 卷·知识通关练)
核心知识1 随机事件与概率
1．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出
一个球，摸到白球的概率为
A． B． C． D．
【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解： 一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球，
球的总数 ， 从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为 ．故选： ．
【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出
现 种结果，那么事件 的概率 (A) ．
2．下列事件是必然事件的是
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解： 、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，不符合题意；
、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
、一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．3．(2022•阜新)如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取
在阴影部分的概率是
A． B． C． D．
【分析】先设每个小等边三角的面积为 ，则阴影部分的面积是 ，得出整个图形的面积是 ，再根据
几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先设每个小等边三角的面积为 ，
则阴影部分的面积是 ，得出整个图形的面积是 ，
则这个点取在阴影部分的概率是 ．
故选： ．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
4．下列说法正确的是
A．对乘坐飞机的乘客进行安检，应选择抽样调查
B．了解某小区居民的新冠疫苗接种情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
【分析】根据全面调查与抽样调查，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解： 、对乘坐飞机的乘客进行安检，应选择全面调查，故 不符合题意；
、了解某小区居民的新冠疫苗接种情况，应选择全面调查，故 符合题意；
、购买一张体育彩票中奖是可能事件，故 不符合题意；
、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，故 不符合题意；故选： ．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5．下列说法正确的是A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 ， ，说明乙的跳远成绩比甲稳定
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是 的事件在一次试验中一定不会发生
【分析】根据方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查分别对每一项进行分想，即可得
出答案．
【解答】解： 、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 ， ，说明甲的跳远成绩比乙稳定，故本
选项错误，不符合题意； 、了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项
错误，不符合题意； 、一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是 ，故本选项正确，符合题
意； 、可能性是 的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，故本选项错误，不符合
题意；故选： ．
【点评】此题考查了方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查，熟记定义与公式是解题
的关键．
核心知识2．用列举法求概率
6．一个不透明的袋子中装有8个小球，其中6个红球、2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子
中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率．
【解答】解： 不透明的袋子中装有8个小球，其中6个红球、2个黑球，
摸出的小球是红球的概率为 ；
故选 ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
7．一个黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的5个红球和2个白球，那么从这个袋子中摸出一个红球的可能性和摸出一个白球的可能性相比
A．摸出一个红球的可能性大 B．摸出一个白球的可能性大
C．两种可能性一样大 D．无法确定
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率．
【解答】解： 黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的5个红球和2个白球，共7个球，
摸出一个红球的概率是 ，摸出一个白球的概率是 ，
摸出一个红球的可能性大；
故选： ．
【点评】本题主要考查了概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
出现 种结果，那么事件 的概率 (A) ．
8．(2022•宁夏)下列事件为确定事件的有
(1)打开电视正在播动画片
(2)长、宽为 ， 的矩形面积是
(3)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
(4) 是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：(1)打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意；
(2)长、宽为 ， 的矩形面积是 ，是确定事件，符合题意；
(3)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
(4) 是无理数，是确定事件，符合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确掌握相关定义是解题关键．
9．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡
同时发光的概率是A．0 B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解
即可．
【解答】解：把开关 ， ， 分别记为 、 、 ，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
10．如图，湖边建有 ， ， ， 共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，
先经过凉亭 ，接下来参观凉亭 或凉亭 (已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留)，则最后一次参观的凉亭为凉亭 的概率为
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭 的有6种，
则最后一次参观的凉亭为凉亭 的概率为 ；
故选： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与
总情况数之比．
11．如图，管中放置着三根同样的绳子 、 、 ，小明先从左端 、 、 三个绳头中随机选两
个打一个结，再从右端 、 、 三个绳头中随机选两个打一个结，则这三的绳子能连接成一根长绳的
概率为A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出这三根绳子能连接成一根长绳的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连接成一根长绳的结果数为6，
所以这三根绳子能连接成一根长绳的概率 ．
故选： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出
符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式计算事件 或事件 的概率．
12．如图，在某次体育课上， 、 、 、 四位同学分别站在正方形的4个顶点处(面向正方形内)做传
球游戏．规定：假设从 开始传球，传给 或 或 (若传到 ，则 传给 或 或 ，且游戏中传球
和接球都没有失误，若由 开始第一次传球，则第二次 接到球的概率为
A． B． C． D．
【分析】先画树状图展示9种等可能的结果，再找出第二次 接到球的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果，其中第二次 接到球的结果数为3，
所以第二次 接到球的概率 ．
故选： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出
符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式计算事件 或事件 的概率．
13．甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只
有一砖高．例如，如图，一组 的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种： ， ，2，
， ，1， ，(4)， ， 或 ，1， ．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下
开 局 ， 甲 没 有 必 胜 策 略 的 开 局 是
A． ，1， B． ，2， C． ，3， D． ，2，
【分析】根据游戏规则总结规律然后分析各个选项得出结论即可．
【解答】解： 选项中6个连续的砖墙无论先拿几块对方都能拿到最后一块，后面的两个 1块的砖墙需要
拿两次，
选项是甲没有必胜策略的开局，
故 选项符合题意；选项中后面的一个2块连续的墙砖，一个1块的墙砖即可以分三次也能两次拿完，
个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，
故 选项不符合题意；
选项先拿走6块连续墙砖边上的两个，无论对方怎么拿都让他拿到这 6块连续墙砖的最后一块，然后拿
3块连续墙砖边上的两个即可保证甲能拿最后一块；
故 选项不符合题意；
选项同理 ，后面的两个2块连续的墙砖，即可以分三次也能分四次拿完，
个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，
选项不符合题意；
故选 ．
【点评】本题主要考查推理能力，根基游戏规则总结砖墙的变化规律是解题的关键．
14．如图，甲，乙两辆汽车即将经过该丁字路口，它们各自可能向左转或向右转，且两种情况的可能性相
等，则它们经过丁字路口时，都向右转的概率为
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，都向右转的只有1种结果，
所以都向右转的概率为 ，
故选： ．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，再从中选出符
合事件 或 的结果数目 ，然后利用概率公式求事件 或 的概率．
15．小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除
数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为 ，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小
球数字记为 ．如果 ， 满足 ，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有
灵犀”的概率是
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种可能性，其中 的可能性有10种，
小林、小华两人“心有灵犀”的概率是 ，
故选： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
核心知识3．用频率估计概率
16．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用
黑白打印机打印于边长为 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷
点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约
为A． B． C． D．
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6左右，可估计点落入黑色部分
的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解： 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
估计点落入黑色部分的概率为0.6，
估计黑色部分的总面积约为 ，
故选： ．
【点评】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率．
17．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和 个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外
兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则 的值最可能
是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用频率估计概率，由概率列方程求解即可．
【解答】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在0.6附近，
因此摸到蓝球的概率为0.6，
所以有 ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，
因此蓝球有6个，
故选： ．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
18．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则
符合这一结果的实验可能是
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球
的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在 附近波动，即其概率 ，计算四个选项的概率，约为 者
即为正确答案．
【解答】解： 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项不符合题意；
、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 ；故此选项不符合题意；
、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到红球
的概率为 ，故此选项符合题意；
、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，
难度不大．19．某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽 100 200 400 600 800 1000 1200
毛球数
优等品的 93 192 380 561 752 941 1128
频数
优等品的 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
频率
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是
A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在 的范围内
【分析】根据频率估计概率逐一判断即可．
【解答】解： ．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动，此表述正确，
符合题意；
．从这批羽毛球中任意抽取一只，优等品的可能性较大，但不确定其一定是优等品，原表述错误，不符
合题意；
．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品约有 (只 ，原表述不准确，不符合题意；
．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940附近，原表述错误，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率．
20．王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从
该批零件中任取一个，为合格零件的概率为
随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000
合格的零件个数 18 46 91 450 900
0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
零件的合格率A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【分析】用“实验频率”的稳定值估计“概率”，从而得到合格零件的概率；
【解答】解： 随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9，
从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9．
故选： ．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
21．某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
残次品的频数 1 3 9 16 38 79 121 154
0.050 0.060 0.090 0.080 0.076 0.079 0.081 0.077
残次品的频率
估计从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是残次品的概率是 0.0 8 ．(精确到
【分析】由表中数据可判断频率在0.08左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是残次
品的概率为0.08．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是残次品的概率为0.08．
故答案为：0.08．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
