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专题09 数轴上动点所成线段和差且含参问题
1．已知a、b满足 ， ，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为
A、B、C．
（1）则 ______， ______， ______．
（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF
的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
（3）若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分
别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动 请问：是否存在一个常数m使得
不随运动时间t的改变而改变 若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；-3；-5（2）线段EF的长度不发生变化，其值为 ；（3）存在常数m，
，这个不变化的值为26
【解析】
【分析】
根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；
根据中点的定义得到 ， ，再根据 即可求解；
求出BC和AB的值，然后求出 的值即可．
【详解】
、b满足 ，
且 ．
解得 ， ．
．
如图，
当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，理由如下：点E、点F分别为CD、AD中点，
， ，
，
当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，其值为 ；
假设存在常数m使得 不随运动时间t的改变而改变．
则依题意得： ， ．
所以 与t的值无关，即 ，
解得 ，
所以存在常数m， ，这个不变化的值为26．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点
间的距离．
2．如图所示，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且a，c满足等式 ，我
们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作
AB．
（1）点A，C表示的数分别为a＝ ，c＝ ．
（2）数轴上一个动点M表示的数为m，若点M满足条件AM+CM＝42．则点M表示的数m＝
．
（3）动点B从数﹣6对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度．同时点A，C在数轴上运
动，点A，C的速度分别为每秒3个单位长度，每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．
①若点A向右运动，点C向左运动时，若AB＝BC．求t的值．
②若点A向左运动，点C向右运动时，是否存在m使得2AB﹣m∙BC的值不随时间t的变化而改变，
如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣20，15；（2）﹣23.5或18.5；（3）①1.4或5；②存在，m的值为5，理由见解
析．
【解析】
【分析】（1）根据非负性可求出答案；
（2）分三种情况：当点D在点A的左侧；当点D在点A，C之间时；当点D在点C的右侧时；进
行讨论可求D点表示的数；
（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出关于t的含绝对值方程可求解；
②用t的代数式表示AB，BC，代入代数式得到关于m的多项式，令含t系数为0可求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴c﹣15＝0，20+a＝0，
a＝﹣20，c＝15．
故答案为：﹣20；15；
（2）当点D在点A的左侧，
解得AM＝3.5，
∴点M点表示的数为﹣20﹣3.5＝﹣23.5；
当点M在点A，C之间时，
∵ ，
∴不存在点M，使 ；
当点M在点C的右侧时，
解得CM＝3.5，
∴点M点表示的数为15+3.5＝18.5．
综上所述，M点表示的数为﹣23.5或18.5，
故答案为﹣23.5或18.5；
（3）①∵AB＝BC，此时 ， ，
∴
整理得：
∴ 或
解得t＝1.4或5；
②∵
此时 ， ，
＝
＝
＝ ，
∵ 的值不随时间t的变化而改变，
∴10﹣2m＝0，
解得m＝5．
故m的值为5．
【点睛】
本题考查了列代数式、数轴应用、多项式的性质、一元一次方程的应用、解含绝对值的一元一次
方程；本题关键在于根据题意列出正确的代数式，会用绝对值的性质解含对值的一元一次方程，
明白多项式中无关的项类型问题指的是相关项项系数为0．
3．已知有理数 在数轴上对应的点分别为 ，其中b是最小的正整数， 满足
．
（1）填空： __________， _____________， ___________；
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数
轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
i）定义：已知 为数轴上任意两点，将数轴沿线段 的中点Q进行折叠，点M与点N刚好
重合，所以我们又称线段 的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
ii）当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数m，使得 的
值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-2,1,5；（2）i）当t= 或t= 时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点；ii）
存在，当常数m=2时， 的值在一定时间范围内不随t的改变而改变.
【解析】
【分析】
（1）根据b是最小的正整数得到b=1，根据 求出a=-2，c=5；
（2）i）先得到运动t秒后三个点对应的数，再分三种情况分别计算t的值；
ii）先分别用t表示出AC、AB，再根据 将AC、AB的式子代入即可求出常数m的值.
【详解】
（1）∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵ ，
∴a+2=0，c-5=0，
∴a=-2，c=5，
故答案为：-2,1,5；
（2）
i）t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，
当点A是中点时，1+t+5+t=2（4t-2），得t= ，
当点B是中点时，4t-2+5+t=2（1+t），得t= （舍去），
当点C是中点时，4t-2+1+t=2（5+t），得t= ，
综上，当t= 或t= 时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点；
ii）存在，
∵t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，
∴AC=5+t-4t+2=7-3t，当点A在点B的右侧时即AB =4t-2-1-t =3t-3时，
= ，
∴常数m=2，此时 =2AC+2AB=8，即AC+AB=4，
∵AC+AB=7-3t+3t-3=4，
∴当常数m=2时， 的值在一定时间范围内不随t的改变而改变；
当点B在点A右侧即AB=1+t-4t+2=3-3t时，
= ，
∴常数m=-2，此时 =2AC-2AB=20，即AC-AB=10，
∵7-3t-(3-3t)=4，
∴m=-2舍去，
综上，当常数m=2时， 的值在一定时间范围内不随t的改变而改变.
【点睛】
此题考查数轴相关的动点问题，数轴上两点间的距离公式，两点的中点公式，绝对值及平方的非
负性质，一元一次方程，（2）是本题的难点，注意分类讨论的思想方法的运用，避免漏解.
4．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越
往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N
表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表
示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位
长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 ．（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每
秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的
值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表
示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．）【答案】（1） ， ；（2）①9秒；②点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时
点P表示的数分别为 ， ；（3）当 时， 为定值，定值为：
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据数轴、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据题意，列方程并求解，即可得到答案；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，结合题意，通过列方程并
求解，即可得到 ；再结合数轴和代数式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意得：运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为： ， ， ；且
＜ ＜ ；结合数轴的性质列代数式，得当 时， 为定值，从而
完成求解．
【详解】
（1）∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边
∴B表示的数为： ；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）
秒
∴点P表示的数为：
故答案为： ， ；
（2）①根据题意，得：
∴ ，即点P运动9秒时追上点Q；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析；
相遇前相距6个单位长度，依题意得：
∴
∴此时点P表示的数为： ；
相遇后相距6个单位长度，依题意得：∴
∴此时点P表示的数为： ；
∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为 ， ；
（3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为： ， ， ；
根据题意得： ＜ ＜
∴ ， ，
∴
当 ，即 时， 为定值，定值为： ．
【点睛】
本题考查了数轴、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、一元一
次方程的性质，从而完成求解．
5．如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且 ．我们把数轴上两点之
间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB．
（1）求BC的值；
（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数；
（3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运
动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒．
①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值；
②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数 使得
的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）① 或 ；②存在，n=3或-3
【解析】
【分析】
（1）根据非负性可求出答案；
（2）分三种情况：当点M在点B的左侧；当点M在点B，C之间时；当点M在点C的右侧时；
进行讨论可求M点表示的数；
（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代数式表示AB，AC，代入代数式可求解．
【详解】
（1）∵ ，
∴b=-15，c=30，
∴BC=30-（-15）=45；
（2）当点M在点B的左侧，
∵MB＋MC＝51，
∴MB＋MB+BC＝51，
∴MB=3，
∴点M点表示的数为-15-3=-18；
当点M在点B，C之间时，
∵MB＋MC＝BC=45≠51，
∴不存在点M，使MB＋MC＝51；
当点M在点C的右侧时,
∵MB＋MC＝51，
∴BC+MC+MC=51，
∴MC=3，
∴点M点表示的数为30+3=33；
综上所述，M点表示的数为-18或33；
（3）①∵AB=BC，
∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|
∴ 或 ．
②∵ = - ，原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且 的值不随时间t的变化而改变，
∴3+n=0，3-n=0，
∴存在，n=3或者-3．
【点睛】
此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，数轴上的中点公式，动点在数轴上
运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的
距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可．
6．如图，数轴上有三个点 ， ， ，表示的数分别是－7，－1，1．
（1）若要使 ， 两点的距离与 ， 两点距离相等，则可将点 向左移动______个单位长度；
（2）若动点 ， 分别从点 、点 出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左
匀速运动，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点 ， ， 同时出发，
设运动时间为 秒．
①记点 与点 之间的距离为 ，点 与点 之间的距离为 ，请用含 的代数式表示 和 ，
并判断是否存在一个常数 ，使 的值不随 的变化而改变，若存在，求出 的值：若不存
在，请说明理由；
②若动点 到达点 后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当 为何值时，点 与点
距离3个单位长度？
【答案】（1）2；（2）① ， ，存在， ；② 为 或 时，点 与点 距
离3个单位长度
【解析】
【分析】
（1）由AC=8，结合数轴即可得出点B向左移动的距离；
（2）①根据路程=速度×时间，分别表示出 和 ，再进行计算即可； ②由AB=6可知点 到达
点的时间为2秒，再根据题意找出点P和点Q运动t秒后的点，再由PQ=3列出关于t的等式，进行计算后得出结果．
【详解】
解：（1）由题意得：AC=8．
∵AC=AB+BC，
∴当AB=BC时，AB=4．
设向左移动后的点B表示的数为x，
则AB=x-（-7）=4，解得x=-3，
∵向左移动前点B表示的数为-1，
∴点B向左移动了2个单位长度．
故答案为：2.
（2）①由题意得：经过时间t秒点P向左移动了4t个单位长度，点Q向左移动了3t个单位长度，
点R向右移动了t个单位长度，
∴经过时间t后点P在数轴上表示的数为-7-4t，点Q在数轴上表示的数为-1-3t，点R在数轴上表示
的数为1+t．
∴
．
∴ ．
∴当 ，即 时， 的值不随 的变化而改变．
（3）解：∵AB=6,
∴点 到达 点的时间为 （秒）．
∴当t>2时，点Q向左移动了6+7（t-2）=7t-8个单位长度．
∴经过时间t后点Q在数轴上表示的数为-1-（7t-8）=-7t+7．
由（2）①可得：经过时间t后点P在数轴上表示的数为-7-4t．
∴ ．
当PQ=3，即 =3时，
可得：14-3t=3或3t-14=3，
解得 或 ．综上所述， 为 或 时，点 与点 距离3个单位长度．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把数和形结合起来，二者互相补
充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想
7．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；
（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单
位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m
值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）−10，5；（2）−15或−5；（3）3，40
【解析】
【分析】
（1）根据两个非负数的和为零则它们均为零的性质即可求得a与b的值；
（2）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧和点P在线段AB之间两种情况考虑，利用数轴上
两点间的距离即可列方程解决；
（3）求出三个点运动t秒后在数轴上的位置，由数轴上两点间的距离可得3AM+2OB﹣mOM关于t
的式子，根据此式即可求得m的值及定值．
【详解】
（1）∵|a+10|≥0，（b﹣5）2≥0，且|a+10|+（b﹣5）2＝0
∴a+10=0，b－5=0
即a=−10，b=5
故答案为：−10，5
（2）设点P对应的数为x
当点P在点A的左侧时，则 ， ，
由题意得：
解得：
当点P在线段AB之间时， 则 ， ，
由题意得：
解得：综上所述，点P对应的数为−15或−5
（3）存在，理由如下：
当点A、B、M运动t秒时的距离分别为2t、3t、5t，此时点A、B、M在数轴上的位置分别为
−10+2t、5+3t、5t
则 ， ，
所以
由题意，当 ，即m=3时，3AM+2OB﹣mOM为定值40．
【点睛】
本题考查了绝对值与平方的非负性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的解法，多项式的定
值问题等知识，关键与难点是数轴上表示两个数的两个点间的距离．注意方程思想的运用．
8．如图，直线l上有A、B两点，点O是线段AB上的一点，且OA=10cm，OB=5cm．
（1）若点C是线段 AB 的中点，求线段CO的长．
（2）若动点 P、Q 分别从 A、B 同时出发，向右运动，点P的速度为4cm/s，点Q的速度为
3cm/s，设运动时间为 x 秒，
①当 x=__________秒时，PQ=1cm；
②若点M从点O以7cm/s的速度与P、Q两点同时向右运动，是否存在常数m，使得
4PM+3OQ﹣mOM为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
（3）若有两条射线 OC、OD 均从射线OA同时绕点O顺时针方向旋转，OC旋转的速度为6
度/秒，OD 旋转的速度为2度/秒.当OC与OD第一次重合时，OC、OD 同时停止旋转，设旋转
时间为t秒，当t为何值时，射线 OC⊥OD？
【答案】（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由见解析；（3）t=22.5和67.5
【解析】
【分析】
（1）先求出线段AB的长，然后根据线段中点的定义解答即可；
（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；
②先表示出PM、OQ、OM的长，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣
mOM为定值，则21-7m=0，解方程即可；（3）分两种情况讨论，画出图形，根据图形列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．
∵点C是线段 AB 的中点，∴AC= AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．
（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．
②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣mOM=4（10+3x）+3
（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解得：m=3，此时定
值为55．
（3）分两种情况讨论：①如图1，根据题意得：6t-2t=90，解得：t=22.5；
②如图2，根据题意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5．
综上所述：当t=22.5秒和67.5秒时，射线 OC⊥OD．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是分类讨论．
9．如图，点 为原点， 、 为数轴上两点， ，且 ．
（1） 、 对应的数分别为______、______；
（2）点 、 分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点 从原点 以7个单
位/秒的速度向右运动，是否存在常数 ，使得 为定值，若存在请求出 值以及
这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）−10；5；（2）存在，当m=3时，4AP+3OB−mOP为定值55
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出OA、OB的长，根据数轴的性质解答；
（2）设t秒后4AP+3OB−mOP为定值，根据题意列出关系式，根据定值的确定方法求出m即可．
【详解】
解：（1）设OA=2x，则OB=x，由题意得，2x+x=15，
解得，x=5，
则OA=10，OB=5，
∴A、B对应的数分别为−10、5，
故答案为：−10；5；
（2）存在，
设t秒后4AP+3OB−mOP为定值，
由题意得，4AP+3OB−mOP
=4×[7t−(4t−10)]+3(5+3t)−7mt
=(21−7m)t+55，
∴21−7m=0
解得：m=3
即当m=3时，4AP+3OB−mOP为定值55．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用、数轴的应用，根据题意正确列出一元一次方程和掌握数轴上
两点之间的距离公式是解题的关键．
10．已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|>|a|．
（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数，
①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是
__________
②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离
为50，即PC+PA−PB=50?若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由；
③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右
运动，是否存在常数m，使得3CA+2mOB-mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2) ①40，-10；②存在；-90或 ；（2）存在m=9，定值是390.
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的性质和数轴即可求出a，利用b2=400和数轴即可求出b，利用c的相反数即可求出c；
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可求出AC，再利用中点公式即可求出折痕所表示的数；
②设P表示的数为 ，根据P点不同的位置及数轴上两点的距离公式分类讨论即可；
③设运动时间为t，利用数轴上两点之间的距离公式，表示出CA、OB、OA，将它们代入
3CA+2mOB-mOA并化简，再根据其为定值，即与t值无关，令t的系数为0即可.
【详解】
解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反数是30
解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30
由数轴可知：a＞0，b＞0
∴a＝10，b＝20，c＝﹣30
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式：AC=| a－c|=40；
若A、C两点重合，则折痕在数轴上所表示的点即为AC的中点，故折痕处在数轴上表示的数是
；
②存在，求法如下
假设P点所表示的数为 ，
当P在C左侧时，即 ，如下图所示：
∴PC=﹣30－ ，PA=10－ ，PB=20－
根据PC+PA−PB=50，
∴（﹣30－ ）＋（10－ ）－（20－ ）=50
解得： .
若P在C、A之间时，即 ，如下图所示：
∴PC= ，PA=10－ ，PB=20－
根据PC+PA−PB=50
（ ）＋（10－ ）－（20－ ）=50
解得： ，不符合前提，故舍去；
若P在A、B之间时，即 ，如下图所示：∴PC= ，PA= ，PB=20－
根据PC+PA−PB=50
（ ）＋（ ）－（20－ ）=50
解得： ；
若P在B右侧时，即 ，如下图所示：
∴PC= ，PA= ，PB=
根据PC+PA−PB=50
（ ）＋（ ）－（ ）=50
解得： ，不符合前提，故舍去；
综上所述：P点在数轴上所对应的数是：-90或 .
③存在，理由如下：
设运动时间为t，此时C表示的数为：﹣30＋4t，A表示的数为：10＋7t，B表示的数为20＋3t.
∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得：
原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t）
=（9－m）t＋120＋30m
∵3CA+2mOB-mOA为定值，即与t值无关，令t 的系数为0即可，
∴9－m=0，解得：
m=9，代入得：
定值=120＋30×9=390.
【点睛】
此题考查的是（1）用绝对值的性质去绝对值，相反数的定义及平方的意义；（2）根据点的不同
位置进行分类讨论及数轴上任意两点之间的距离；（3）长度与某个变量无关时令其系数为0.
11．如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B在点A左边，且AB=18．动点P从点A出发，以
每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．
①问点P运动多少秒时追上点Q？
②问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数；（3）若点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单
位的速度向右运动，是否存在常数m，使得2QR+3OP﹣mOR为定值，若存在请求出m值以及这个
定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣8； 10﹣5t；（2）①9秒；②7秒或11秒；-25或-45；（3） .
【解析】
【分析】
(1)根据两点间的距离公式,以及路程=速度 时间即可求解;
(2)①根据时间=路程差 速度差,列出算式计算即可求解;
②分两种情况:相遇前相距4个单位长度;相遇后相距4个单位长度;进行讨论可求点P表示的数;
(3) 设t秒后2QR+3OP﹣mOR为定值,列方程求解即可.
【详解】
解：（1）数轴上点B表示的数为10﹣18=﹣8，点P表示的数为10﹣5t；
（2）①18÷（5﹣3）=9（秒）．
故点P运动9秒时追上点Q；
②相遇前相距4个单位长度，
（18﹣4）÷（5﹣3）=7（秒），
10﹣7×5=﹣25，
则点P表示的数为﹣25；
相遇后相距4个单位长度，
（18+4）÷（5﹣3）=11（秒），
10﹣11×5=﹣45，
则点P表示的数为﹣45；
（3）设t秒后2QR+3OP﹣mOR为定值，
由题意得，2QR+3OP﹣mOR=2×[7t﹣（3t﹣8）]+3（10+5t）﹣7mt=（23﹣7m）t+46，
∴当m= 时，2QR+3OP﹣mOR为定值46．
【点睛】
本题主要考查数轴的概念及一元一次方程的应用.12．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0
（1）则m＝ ，n＝ ；
（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点
A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车
的长为 个单位长度：
②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你
若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你
能帮小明求出来吗？
（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从
N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后
对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出
k和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15
【解析】
【分析】
（1）由非负性可求m，n的值；
（2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解；
（3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解．
【详解】
解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，
∴m﹣12＝0，n+3＝0，
∴m＝12，n＝﹣3；
故答案为12，﹣3；
（2）①由题意得：3AB＝m﹣n，
∴AB＝ ＝5，
∴玩具火车的长为：5个单位长度，
故答案为5；
②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁，根据题意可得方程组为： ，
解得： ，
答：奶奶今年64岁；
（3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t，
∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时
间无关，
∴12﹣2k＝0，
∴k＝6
∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15
【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合
思想和方程思想.
13．已知 两点在数轴上所表示的数分别为 且满足 .
(1)则 ， ；
(2)若点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从M点出发，以每秒1个
单位长度的速度向左运动，经过多长时间后 两点相距7个单位长度？
(3)若 为线段 上的两点，且 ，点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
向左运动，点 从 点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，点R从B点出发，以每秒3
个单位长度的速度向右运动，P,Q,R同时出发，是否存在常数 ，使得 的值与它们的运
动时间无关，为定值。若存在，请求出 和这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)m=12,n=-3； (2) 或11；(3)存在，k=2，定值为5.
【解析】
【分析】
（1）由绝对值和完全平方式的非负性可求m，n的值；
（2）由题意可得P点对应的数是-3+t，Q点对应的数是12-t，根据两点间的距离列方程，即可求解；（3）用t分别表示出PQ，AR的长度，然后化简 ，即可求解．
【详解】
解：(1)∵
∴m-12=0；n+3=0
∴m=12,n=-3
(2) t秒后P、M两点相距7个单位长度。
依题意， P点对应的数是-3+t，Q点对应的数是12-t,
2t-15=7或2t-15=-7
解得：t=11或t=4
(3)设运动时间为t秒，依题意，点A对应的数是2，点B对应的数是7，点P对应的数是
-3-2t，点Q对应的数是12+4t, 点R对应的数是7+3t，
当 的值与t无关，则6-3k=0
解得：k=2
∴当k=2时， 的值与t无关，其值为定值5.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
