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课时跟踪检测（四） 基本不等式
一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·豫北重点中学联考)设a>0，则a＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析：选D a＋＝a＋1＋≥1＋2 ＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.
2．设x为实数，则“x<0”是“x＋≤－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若x<0，则－x>0，x＋＝－(－x)＋≤－2，∴“x<0”是“x＋≤－2”的充分
条件；若x＋≤－2，则≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是
“x＋≤－2”的充要条件．故选C.
3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
解析：选D 对于选项A，当x>0时，y＝x＋≥2 ＝2；当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合
题意．对于选项B，由于00，b>0，且a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴ab有最大值，∴A正确．
∵(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋2×＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴＋≤，即＋有最大值，B错误．
∵＋＝≥＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴＋有最小值4，∴C正确．
∵a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，
∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误，故选A、C.
5．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( )
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2解析：选C 设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)
＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
6．若x>1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
二、综合练——练思维敏锐度
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D 由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则
x＋y的取值范围是(－∞，－2]．
2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2
时取等号，故选B.
法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取
等号，故选B.
3．已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
解析：选A ∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2 ＝16，当且
仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A.
4．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
解析：选B ∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥ 2 ＝3，当且仅当＝，即x
＝1时取等号．故选B.
5．若log (3a＋4b)＝log ，则a＋b的最小值是( )
4 2
A．7＋2 B．6＋2
C．7＋4 D．6＋4
解析：选C 由题意得＝，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1(a>0，b>0)．
∴a＋b＝(a＋b)＝4＋3＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当a＝2b时取等号．故选C.
6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )A. B.
C．8 D．24
解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)＝12＋
＋≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.
7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则＋的最
小值为( )
A．2 B．2＋
C．4 D．2＋2
解析：选D 因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
8．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实
数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
解析：选D 因为a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立．
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，
令f(x)＝x2－4x－2，
则f(x)＝(x－2)2－6，
所以f(x)的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
9．实数x，y满足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋有( )
A．最大值9 B．最大值18
C．最小值9 D．最小值18
解析：选C 根据|x＋y|＋|x－y|＝2，可得点(x，y)满足的图形是以A(1,1)，B(－1,1)，C(－
1，－1)，D(1，－1)为顶点的正方形，可知x＝1，y＝1时，z＝4ax＋by取得最大值，故4a＋b＝
1，所以＋＝(4a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．故＋有最小值9.故选C.
10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大
值是________．
解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝
(a·2b)≤2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故ab的最大值是.
答案：11．若关于x的不等式x＋≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：∵x＋＝x－a＋＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.
则(x－a)＋≥2 ＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，又∵x－a＋
≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.
答案：1
12．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是
__________．
解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，
即≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，
当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，
∵g(2)>g(3)，∴g(x) ＝.∴－＋3≤－，
min
∴a≥－，故a的取值范围是.
答案：
13．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋＋.当x＜时，有3－2x＞0，∴＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即x
＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.
14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单
位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]
.
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．
故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
三、自选练——练高考区分度
1．已知函数f(x)＝log (x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞
a0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为( )
A．16 B．8
C．12 D．14
解析：选B 由题意，函数f(x)＝log (x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，
a
代入可得y＝－1，
∴图象恒过定点A(－3，－1)．∵直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，∴＋＝2，即＋＝
1.∴3m＋n＝(3m＋n)＝＋＋＋≥2 ＋5＝8(当且仅当n＝m＝2时，取等号)，∴3m＋n的最小
值为8.
2．若实数x，y满足x2y2＋x2＋y2＝8，则x2＋y2的取值范围为( )
A．[4,8] B．[8，＋∞)
C．[2,8] D．[2,4]
解析：选A ∵x2y2≤，∴x2y2＋x2＋y2＝8≤＋(x2＋y2)(x2＝y2＝2时取等号)，
(x2＋y2－4)(x2＋y2＋8)≥0，∴x2＋y2≥4，
又x2y2≥0，∴x2＋y2≤8，∴x2＋y2∈[4,8]．
3.某县一中计划把一块边长为 20米的等边△ABC的边角地开辟为
植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在
AB上，E在AC上．
(1)设AD＝x(x≥10)，ED＝y，使用x表示y的函数关系式；
(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．
解：(1)∵△ABC的边长是20米，D在AB上，
则10≤x≤20，S ＝S ，
△ADE △ABC
∴x·AEsin 60°＝··202，故AE＝.
在△ADE中，由余弦定理得，y＝ (10≤x≤20)．
(2)若DE作为输水管道，则需求y的最小值，
∴y＝ ≥＝10，
当且仅当x2＝即x＝10米时“＝”成立，
∴DE的位置应该在AD＝10，AE＝10米处，
且DE的最小值为10米．
