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课时跟踪检测（十二） 函数与方程
一、综合练——练思维敏锐度
1．求下列函数的零点，可以用二分法的是( )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝tan x＋2
C．f(x)＝cos x－1
D．f(x)＝|2x－3|
解析：选B ∵二分法只适用于求“变号零点”，∴选B.
2．函数f(x)＝x －x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B 法一：定理法
∵f(0)＝－1，f(1)＝，
∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个
数为1.
法二：图象法
令f(x)＝0，得x ＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x 与y＝x的图象(图略)，可
得交点只有一个，∴函数f(x)的零点只有1个，故选B.
3．设函数y＝log x－1与y＝22－x的图象的交点为(x，y)，则x 所在的区间是( )
2 0 0 0
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C 令函数f(x)＝log x－1－22－x，则f(2)＝－1，f(3)＝log 3－＝log 3－log ()>0，
2 2 2 2
因为f(2)f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)上必有零点．又易知函数f(x)为增函数，所以f(x)在(2,3)
上有且只有一个零点，所以x∈(2,3)，故选C.
0
4．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x，x，x，则( )
1 2 3
A．x0，所以函数
f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零
点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正
确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．故选A、C.
6．(多选)定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所
示，则下列说法正确的有( )
A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解
B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解
C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解
D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解
解析：选ABCD 设f(x)的零点分别为x，x，x，则x＜x＜0＜x，设g(x)的零点为x，x
1 2 3 1 2 3 4 4
＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x，有一个解为正数，g(x)＝x，有一个解为正数，g(x)＝x，有一个解
1 2 3
为负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；
4
f(f(x))＝0，即f(x)＝x，可能为一个解，f(x)＝x，可能为三个解，f(x)＝x，可能为一个解，故C
1 2 3
正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x，方程有且仅有一个解，故D正确．
4
7．对于实数a，b定义运算“D○×”：aD○×b＝设f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)，且关于
x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x，x，x，则xxx 的取值范围为( )
1 2 3 1 2 3
A．(0,3) B．(－1,0)
C．(－∞，0) D．(－3,0)
解析：选D ∵aD○×b＝
∴f(x)＝(2x－3)D○×(x－3)＝
其图象如图所示．
不妨设x0的解集是
____________________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3，
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根．
由根与系数的关系知∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，
解集为.
答案：
10．函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的零点个数为________；所有零点之和为
________．
解析：可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的个数，因为两个
函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和
为2，分别画出两个函数的图象(如图)，易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，共10个
交点，所有零点之和为5×2＝10.
答案：10 10
11．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t(t<1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易
知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不
同的实数根等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a<，即a的取值范围是.
12．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m 的图象有且只有一个交点，
求正实数m的取值范围．
解：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．
分两种情形：
(1)当01时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．
二、自选练——练高考区分度
1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝
f(x)－log |x|的零点有( )
3
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选B 因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝
x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log |x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象
3
与函数y＝log |x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数 y＝f(x)的图象与函数y＝
3
log |x|的图象，如图所示．
3
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log |x|的图象有4个交点，故选B.
3
2．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，
则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为
“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B．
C. D．[2,3]
解析：选D 易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，
设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，
根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2，作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，
因为g(－1)＝4，要使函数g(x)的零点在区间[0,2]内，则即解得2≤a≤3.
3．已知f(x)＝有且只有1个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a>0时，函数f(x)＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a2＋2＋a>0，解得
a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝
ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点．
答案：{0}∪(1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝(2－a)·(x－1)－2ln x．若函数f(x)在上无零点，求a的最小值．解：法一：∵f(x)<0在上不可能恒成立，要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x∈，
f(x)>0恒成立，即对任意的x∈，a>2－恒成立．
令l(x)＝2－，x∈，则l′(x)＝，
令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，则m′(x)＝－＋＝<0，故m(x)在上为减函数，于是m(x)>m＝
2－2ln 2>0，从而l′(x)>0，于是l(x)在上为增函数，∴l(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)．
则a的最小值为2－4ln 2.
法二：令g(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，
∵f(x)＝g(x)－h(x)在上无零点，
∴g(x)与h(x)的图象在上无交点．
显然，g(x)，h(x)的图象都过A(1,0)，
如图，直线AB的斜率k＝＝4ln 2.
∴当g(x)的斜率2－a≤4ln 2时无交点，
∴a≥2－4ln 2.
∴a的最小值为2－4ln 2.
