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考点巩固卷 14 等差数列（九大考点）
考点01 基本量的计算
1．在等差数列 中， ，公差 ， ，则 等于（ ）
A．92 B．47 C．46 D．45
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.
【详解】因为 ，即 ，所以 .
故选：C
2．已知等差数列 的前 项为 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）解：设等差数列 的公差为 ，根据题意列出方程，求得 ， ，即可求得数列
的通项公式；
（2）由 ，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
即数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知 ， ，
因为 ，可得 ，即 ，
解得 或 .
3．数列 中， ， ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，对任意的 ， ，且 ，
所以，数列 为等差数列，且该数列的首项为 ，公差为 ，
因此， .
故选：B.
4．已知数列 是等差数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可；
(2)根据等差数列的求和公式计算即可.
【详解】（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ；
得 .
5．设等差数列 前n项和为 ，若 ， ，则等差数列 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据已知列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】设公差为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由已知可得， ，解得 .
故选：C.
6．（多选）已知公差为 的等差数列 中，其前 项和为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否
正确.
【详解】公差为 的等差数列 中，其前 项和为 ，且 ，
则 ，所以 ，A选项正确；
，B选项正确；
，C选项正确；
， ，D选项错误.
故选：ABC
考点02 等差中项及等差数列项的性质
7．在等差数列 中， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中项的性质求出 ，再利用等差中项的性质可求得 的值.
【详解】在等差数列 中， ，则 ，因此， .
故选：D.
8．（多选）已知随机变量X的分布列如下表：
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学科网（北京）股份有限公司X 0 1
P a b c
若 成等差数列，则公差d可以是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】AB
【分析】根据等差数列性质可得 ，即可求出答案.
【详解】因为 成等差数列，所以 .
又 ，所以 ，
又 ， ，
根据分布列的性质，得 ， ，所以 .
故选：AB.
9．若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石
板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不
含天心石）（ ）
A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块
【答案】B
【分析】每层扇面形石板的块数成等差数列，设为 ，再结合等差数列的性质，以及等差数列的前 项
和公式，即可求解．
【详解】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为 ，其中 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 所以 ，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）
块.
故选：B
10．记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.
【详解】由 ①， ②，
② ①得 ，
得 ，
又 ，
则 ，
故 ．
故答案为：
11．等差数列 ， 的前 项和分别是 与 ，且 ，则 ___________；
______________.
【答案】 / /
【分析】空1：根据等差数列的性质和求和公式，得到 ，代入即可求解；空2：设
， ， ，代入即可求出 .
【详解】空1：由等差数列的前 项和公式，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又由等差数列的性质，可得 ，
因为 ，可得 .
空2：设 ，
所以 ，
，所以 .
故答案为： ； .
12．等差数列 中，若 ，则n的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】先由 得到 ，再利用 解出 即可.
【详解】由等差数列下标和性质知： ， ，
因为 ，故 ，
又 ，
故 ，所以 .
故选：B.
考点03 由递推关系证明数列是等差数列
13．（ 2023春·江苏连云港·高二统考期末）已知数列 的前 项和为 .
(1)证明：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据 ，变形得到 ，从而得到 ，得到答案；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为 ， ，
，即 ，
，即 ，
是1为首项，1为公差的等差数列.
14．记 为数列 的前 项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列 是等差数列；
①数列 是等差数列；②
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）选择条件①，利用 与 的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件②，设数列
的首项为 ，公差为 ，求出 ，表示出 ，即可得证.
【详解】（1）选择条件①： ，
，
两式相减可得 ，
即 ，
，
两式相减可得 ，
化简可得 ，
， 数列 是等差数列．
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学科网（北京）股份有限公司选择条件②：设数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，故 ，
当 时，
，
当 时， ， ，
又 ．
数列 是等差数列．
15．已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)求数列 的前 项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系化简，可得 ，由等差数列的定义得证；
（2）由（1）求出 ，再由累乘法求解.
【详解】（1）由 ，得 ．
所以 ，
即 ，整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司上式两边同时除以 ，得 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知， ．
所以 ．
所以 ．
16．已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项积为 ，且满足 ．
(1)求证： 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据所给递推公式及前 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，解得 或 ，
又 ，所以 ，故 ，
由 ，可得 ，所以 ，
当 时， ．
所以 ，即 ，
所以 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司所以 是以 为首项，1为公差的等差数列.
17．已知数列 满足 ， ．
(1)证明： 是等差数列，并求出 的通项 ．
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由递推公式可得 ，两边取倒数，即可得到 ，从而得到
是以 为首项， 为公差的等差数列，即可求出 的通项公式；
（2）令 ，再由 ，可得 ，两式相乘即
可得证.
【详解】（1）由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列，
∴ ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）令 ①，
∵ ，∴ ②，
①×②得 ，
∴ ，即 ．
18．已知 数列满足 ， ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）等式两边同时除以 ，得到 ，再根据等差数列的定义即可证明.
（2）由（1）可得 的通项公式，再由 ，结合数列错位相减求和即可得出 的值.
【详解】（1）依题，在 两边同时除以 ，
得 ， ，
故数列 是以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）得 ，可得 ，
所以 ，
则数列 的前n项和为 ①，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ②，
由①-②可得 ，
所以 ．
考点04 等差数列前 项和的性质
19．已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ________.
【答案】2016
【分析】根据 是等差数列，求得其首项和公差，则问题得解.
【详解】 是等差数列 的前 项和， 是等差数列，设其公差为 .
， ， . ， .
.
.
故答案为： .
【点睛】本题考查等差数列的前 项和 ，涉及 是等差数列的认识和理解，属基础题.
20．已知等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， ；则 的值为
__________.
【答案】
【分析】设等差数列 的奇数项的和为 ，偶数项之和为 ，可得出 ，再由
可求出 、 的值，即为所求结果.
【详解】设 ， ，
因为数列 是等差数列，且公差 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ， ，
所以 .
故答案为： .
21．等差数列 的前 项和为30，前 项和为100，则它的前 项和为______.
【答案】
【分析】根据等差数列前 项和的性质计算可得.
【详解】 为等差数列，
， ， 成等差数列，即 ， ， 成等差数列，
，解得 ，
又 ， ， 成等差数列，即 ， ， 成等差数列，
所以 ，解得 .
故答案为： ．
22．（ 2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列片段和的性质可求得 的值.
【详解】因为 ， ，由等差数列的性质可知 、 、 成等差数列，
所以， ,所以， .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司23．（ 2022·新疆·统考二模）在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【分析】根据等差数列 的前 项和公式，可得 为等差数列，由已知求出其公差，进而得到 通
项公式，即可得出结论.
【详解】在等差数列 中， ，其前n项和为 ，
则 是以 为首项的等差数列，设其公差为 ，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列前 和基本量的运算，应用等差数列前 项和的性质是解题的关键，考查计算
求解能力，属于中档题.
24．已知两个等差数列{ }和 }的前n项和分别为 和 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由题，可设 ， ，则 .
【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又 ，
则可设 ， ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
考点05 等差数列前 项和的最值问题
25．已知等差数列 ，前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的最大值并指出此时 的值.
【答案】(1) ；
(2) 的最大值为 ，此时 或 .
【分析】（1）根据已知条件列出关于公差 的方程，求解即可；
（2）求出 ， ， 对应的 的取值，从而可求 的最大值及对应的 的值.
【详解】（1）设 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 ,
所以 .
（2）当 时， ；当 时， ；当 时， .
所以当 或 时， 取得最大值，最大值为 .
26．设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则n＝________时， 有最小值为 ________．
【答案】 4或5 －10
【分析】由已知结合等差数列的求和公式先求出 ，然后结合二次函数的性质即可求解．
【详解】因为等差数列 中， ， ，则d＝1，
所以 ，
根据二次函数的性质可知，当n＝4或5时， 有最小值－10．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：4或5，－10．
27．已知等差数列 的通项公式为 （ ），当且仅当 时，数列 的前 项和 最
大，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先由条件求 ，再代入等差数列的前 项和公式，即可求解.
【详解】由条件可知，当 时， ， ，
解得： ，因为 ，
所以 ，得 ，
，解得： 或 （舍）.
故选：D
28．已知等差数列 ， 是数列 的前 项和，对任意的 ，均有 成立，则 的值不可
能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据题意，由 恒成立可得 是等差数列 的前 项和中的最大值，结合等差数列前 项
和的性质，分3种情况讨论，综合求出 的取值范围，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，等差数列 ，对任意的 ，均有 成立，即 是等差数列 的前 项和
中的最大值，
必有 ，公差 ，
分3种情况讨论：
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学科网（北京）股份有限公司① ，此时 ， 、 是等差数列 的前 项和中的最大值，
此时 ，则有 ，
则 ，
② ，此时 ， 、 是等差数列 的前 项和中的最大值，
此时 ，则有 ，
，
③ ， ， 是等差数列 的前 项和中的最大值，
此时 ， ，则 ，变形可得： ，
，
而 ，则有 ，
综合可得： .
故选：A．
29．（多选）等差数列 的前n项和为 ，且 ， ， ，则下列说法中正确的有（ ）．
A． B．
C．当 或6时， 取最小值 D．
【答案】ACD
【分析】由 可判断A；由 作差可判断B；先由 和 可得 ，则
可判断C；由 可得 ，利用等差数列的性质
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学科网（北京）股份有限公司可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，故A正确；
因为 ， ，所以 ，故B错误；
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以当 或6时， 取最小值，故C正确；
由 得 ， ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
30．在等差数列 中， 以 表示 的前 项和，则使 达到最大值的
是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】利用等差数列性质求出数列 公差d，再求出其通项公式，并探讨数列 的单调性即可得解.
【详解】在等差数列 中， ， ，即 ， ，从而得等
差数列 公差 ， ，
于是得 的通项公式为 ，则 是单调递减等差数列，其前10项均为正，从
第11项起的以后各项均为负，
因此，数列 的前10项和最大，
所以，使 达到最大值的n是10.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司考点06 利用 与 的关系求等差数列通项公式
31．已知数列 的前 项和为 ，对任意 满足 ，且 ．求数列 的通
项公式．
【答案】
【解析】
由 得 ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
【反思】
此类问题解析决的关键在于通过递推关系式的变形，转化为已知数列（或模型），从而求出对应的通项．
32．设 为数列 的前n项和， .求 及 .
【答案】a＝－28，an＝4n－32，n∈N*
1
【分析】根据数列的前n项和与通项的关系 可求通项公式.
【详解】因为S＝2n2－30n，
n
所以当n＝1时，a＝S＝2×12－30×1＝－28，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
n n n－1
验证当n＝1时上式成立，
所以a＝4n－32，n∈N*.
n
33．已知数列 的前n项和为 ，对一切正整数n，点 都在函数 的图象上，记
与 的等差中项为 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得 ，利用 与 的关系可求得通项公式；
（2）利用等差中项求得 ，则 ，利用错位相减法可求出数列 的前 项
和 .
【详解】（1） 点 都在函数 的图象上，
，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
所以数列 的通项公式为
（2）由 与 的等差中项为 ，
，
①
由①×4，得 ②
①－②得：
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学科网（北京）股份有限公司，
.
34．设 为正项数列 的前 项和，满足 .
(1)求 的通项公式：
(2)若不等式 对任意正整数 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) ，且
【分析】（1）根据 ，利用数列通项和前n项和的关系求解.
（2）由（1）得到不等式 即为不等式 ，由 时，解得t的范围
，且 ，转化为证当 ，且 时，不等式 对任意正整数 都成
立，由 时， ，得到 ，进而转化为证 对任意
正整数 都成立即可.
【详解】（1）解：由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为数列 是正项数列，所以
所以 ，
又 ，解得 (负值舍)，
所以 ；
（2）由（1）知不等式 对任意正整数 都成立，
即不等式 对任意正整数 都成立，
当 时， ，解得 ，且 ，
下面证明当 ，且 时，不等式 对任意正整数 都成立，
当 时， ，则 ，
只需证 对任意正整数 都成立即可，因为
，
，
所以不等式 对任意正整数 都成立，实数 的取值范围 ，且
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学科网（北京）股份有限公司35．已知数列 的前 项和为 ，满足 （ 为常数）.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过已知条件 ，求出参数 ，利用 求解通项公式即可；
（2）根据（1）写出 的通项公式，利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）令 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
可得 ，
所以 ，
又因为 满足上式，
所以 ；
（2）因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
两边乘 得：
,
两式相减得：
,
即： ,
所以 .
36．已知数列 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求证: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意， ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ，
所以
数列 的前n项和为
，
由 得 ，即证 .
考点07 含绝对值的等差数列的前 项和
37．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， ．
(1)求 的通项公式
(2)设 ，求数列 的前 项之和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得 ，解方程计算即可；
（2）根据题意得 ，代入计算即可.
(1)
设等差数列 的公差为 ，
则由已知可得： ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
(2)
因为 ， ，
所以 .
38．（ 2022·四川遂宁·统考一模）已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为d，然后根据题意列出关于 的方程组，解出 ，从而可求出
通项公式；
（2）根据通项公式可判断出当 时， ，当 时， ，然后分情况讨论求解即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，
由题意可得 ，
解得 ，
故 ．
（2）设数列 的前n项和为 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；
当 时， ，则
．
综上， .
39．已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定 ，根据等差数列公式得到 ，得到 ，得到通
项公式.
（2）考虑 和 两种情况，根据 的正负分别计算即可.
【详解】（1）由 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 且 ，解得 ，
又公差 为整数， ， .
（2） ，
当 时， ；当 时， ， ，
当 时， ；
当 时， .
综上，
40．设等差数列 的前n项和为 ， ， ，且 有最大值．
(1)求数列 的通项公式及 的最大值；
(2)求
【答案】(1) ，前n项和最大值108；
(2) ，
【分析】（1）由 有最大值得 ，结合等差中项性质可解出 、 ，即可进一步解出基本量
， ，即可由公式法列出通项公式， 的最大值为前面所有非负项的和；
（2）由数列 的符号，分别求 、 时的 即可，其中当 时 .
【详解】（1）设等差数列 的公差是d，首项是 ，由 有最大值得 ，
则数列 是递减数列，因为 ， ，解得 、 或 、
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学科网（北京）股份有限公司舍去 ，
则 ， ，解得 ， ，所以 ，
令 得 ，则当 时， ；当 时， ，所以
；
（2）由（1）可得 ，
当 时， … ，
当 时， … … ，
综上可得， ，
41．等差数列 前 项的绝对值之和为50，则 _________．
【答案】12
【分析】根据题意求等差数列的通项公式，再分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解.
【详解】因为等差数列 的 ，则公差 ，
所以等差数列 的通项公式 ，
设数列 的前n项和为 ，
当 时， ，不合题意；
当 时，则 ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 或 （舍去）；
综上所述： .
故答案为：12.
42．已知数列 的通项公式为 ，那么满足 的正整数 ________.
【答案】 或
【分析】先求出 的前 项和，然后将问题转化为 ，通过讨论 与 两种情况下
求得方程的根，即可得到 的值．
【详解】因为 ，
所以 （ ），
所以当 且 时， 的前 项和为 ，
当 且 时， 的前 项和为 ；
满足 ，
即 ，
因为 对于任意 恒成立，
所以 ，
①当 且 ，即 且 时，
，
所以 ，
解得： 或 ；
②当 且 ，即： 且 时，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，舍去．
综上所述， 或 ．
故答案为：2或5.
考点08 等差数列的实际应用
43．疫情防控期间，某单位把110个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三
份之和与较小的两份之和的比为9：2，则最小一份的口罩个数为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【分析】利用等差数列前 项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由条件可知，
，①
，②
解得 ，
所以最小一份的口罩个数为6个，
故选：A．
44．甲､乙两个机器人分别从相距70 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 ，以后每分钟比前1分钟多
走1 ，乙每分钟走5 .若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过___________分钟.
【答案】15
【分析】甲每分钟走的路程成等差数列，求出通项，因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共
走了 ，列出方程，求出时间即可.
【详解】由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为 ，则 ，
乙每分钟速度为每分钟走5 ，
因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了 ，时间设为 ，
则 .
（负值舍去）.
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：15.
45．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是
继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，
为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能
被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.
已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（
）
A．102 B．103 C．104 D．105
【答案】C
【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为 ，求出其通项，
结合条件列不等式求出结果.
【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为 ，
由已知 是 的倍数，也是 的倍数，
故 为 的倍数，
所以 首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
令 ，可得 ，又
解得 ，且 ，
故获得精品足球的人数为 .
故选：C.
46．家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大
投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50
万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元
【答案】D
【分析】分析可知该家庭农场的收益依次成等差数列，求出公差，利用等差数列的求和公式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为 ，
可得 ， ，所以公差为 ，
所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为 ，
故选：D
47．为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出
各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设 表示前n
年的纯利润（ 前n年的总收入 前n年的总费用支出 投资额），则 __________（用n表示）；
从第__________年开始盈利．
【答案】 5
【分析】根据题意结合等差数列前 项和公式写出 的表达式即可，再令 即可得解.
【详解】由题意可得第 年的支出费用为 万元，
则前n年的总支出费用为 ，
所以 ，
令 ，解得 ，
又 ，所以从第 年开始盈利．
故答案为： ； .
考点09 等差数列的综合问题
48．已知数列 满足 ，对任意正实数 ，总存在 和相邻的两项
，使得 成立，则 的取值范围为__________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】化简递推关系，证明数列 为等差数列，利用等差数列通项公式求 ，化简方程
可得 ，结合连接列不等式求 的取值范围.
【详解】由 ，
得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 使得 包含于 的取值范围.
当 时， ，不满足题意；
当 时， ，不满足题意；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，不满足题意；
当 时， ，
所以 ，即 ；
当 时， 的取值均大于 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
49．设等差数列 的前 项和为 ，公比是正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，
， ，求 ， 的通项公式．
【答案】 ，
【分析】设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，由等差数列和等比数列通项公式和前 项和定义
化简条件，解方程求 ，结合通项公式求解.
【详解】设 的公差为 ，数列 的公比为 ，由已知 ，
由 得 ①
由 得
故 ②
由①②及 解得 ，
故所求的通项公式为 ， ．
50．已知等差数列 ，则 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 ，然后可得 ，再由三角函数的值域即
可得到其范围，从而得到结果.
【详解】由题意可得，不妨设 ，公差为 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，
其中 ，且 ，则 ，
当 时， 取最大值 ，
当 时，此时 ，其中 ，解得 ，则 取最小
值 ，
即 的取值范围是 .
故选：B
51．在数列 中， ．记 的前 项和为 ，且满足 若对任意
，都有 ，则首项 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意可得 ，分别 用表示出 ，因为对任意 ，都有 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解不等式即可得出答案.
【详解】因为 ①，
所以 时， ②，
①减②可得： ③，
令 等价于 ，所以 ④，
③减④可得： ，
所以 是公差为 的等差数列，
是公差为 的等差数列，
是公差为 的等差数列，
令 ，由①可得： ，所以 ，
令 ，由③可得： ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，
要使对任意 ，都有 ，
则 ，则 ，解得： .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
52．已知数列 的前 项和为 ， （ ），且 ， .若 恒成立，
则实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】由 得 ，两式相减可证明数列 为等差数列，继
而可求出 ，令 ，通过 可知，当 时，数列 单调递减，故可求出
最大值，进而可求 的取值范围.
【详解】由 ，可得 .
两式相减，可得 ，所以数列 为等差数列.
因为 ， ，所以 ，所以 ， ，
则 .令 ，则 .
当 时， ，数列 单调递减，
而 ， ， ，
所以数列 中的最大项为1，故 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为: .
53．已知数列 为等差数列，且 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求出数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列，进而求出 ，即可求出答案.
【详解】因为数列 为等差数列，且 ，
设数列 的公差为 ，首项为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
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