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解密09讲： 三角函数图像与性质
【考点解密】
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
2．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相
(A>0，ω>0)，x≥0 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径【方法技巧】
1．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时
相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或
cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)
的有界性．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最
值)．
2．求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数， ．
形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝.
(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．
3．三角函数周期性与奇偶性、对称性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公
式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asin
ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
(3)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋
kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx
＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(4)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可．4．求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，
先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
5．(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平
移”．
(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．
(3)横向伸缩变换，只变ω，而φ不发生变化.
6．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间
上还是在下降区间上)，或把图象的最高点或最低点代入．
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【核心题型】
题型一：整体代入法求三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
1．（2023春·河北·高二统考学业考试）函数 的单调递增区间为（ ）A． B．
C． D．
2．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）函数 的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数 且 ，则函数 的图
象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
题型二：代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
4．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）将函数 的图象向左平移 个单位长
度，得到函数 的图象，下列说法正确的是（ ）．
A． 为奇函数 B． 在 上单调递减
C． 在 上的值域为 D．点 是 图象的一个对称中心
5．（2022秋·天津河西·高三天津市海河中学校考期末）已知函数 ，给出以下四个命题：
① 的最小正周期为 ；② 在 上的值域为 ；
③ 的图像关于点 中心对称；
④ 的图像关于直线 对称．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（多选）（2022秋·山西晋中·高三校联考阶段练习）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 的图像关于 中心对称
C．函数 的对称轴方程为 ，
D．将 的图像向右平移 个单位长度后，可以得到 的图像
题型三：图像法求三角函数最值或值域
7．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知函数 ，则 的最
小值是_________.
8．（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算 例如， ，则函数
的值域为（ ）A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
题型四：换元法求三角函数最值或值域
10．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________．
12．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________
题型五：利用三角函数单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数的值
13．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知函数 的两个相邻的对称中心的间距为 ，现
的图象向左平移 个单位后得到一个奇函数，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（多选）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数
的最小正周期为 ，函数 图象关于直线 对称，且满足函数 在区间 上单调递减，
则（ ）
A． B． C． D．
题型六：五点法求三角函数解析式
16．（2020·全国·统考高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·山西运城·校联考模拟预测）设函数 （ ， ）的部分图象如图所示.若，则 （ ）
A． B．
C． D．
18．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，
则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 为偶函数
C． 在区间 内的最小值为1
D． 的图象关于直线 对称题型七：三角函数图像的伸缩变换问题
19．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
20．（2021·全国·统考高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所
得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 处有最小值，为了得到
的图象，则只要将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【高考必刷】一、单选题
1．（2023春·安徽安庆·高一安徽省宿松中学校考开学考试）设函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C． 是偶函数
D． 在区间 上单调递增
2．（2022·高一课时练习）函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数 的图像关于 对称，则
函数 的图像的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·河南郑州·高三统考期末）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，则函数 图象的对称轴可能是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
5．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）函数 的最大值为2，且对任意的
， 恒成立， 在区间 上单调递增，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数 ，若 ， ，
的最小正周期 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·甘肃·模拟预测）设函数 的部分图象如图所示，若
，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
8．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，
将 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿 轴向左平移 个单位长
度，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020秋·北京·高三北京八中校考期中）已知 , ，直线 ＝ 和 ＝ 是函数
图象的两条相邻的对称轴，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）设函数 ，其中 ， ，
若 ， ，则 在 上的单调减区间是（ ）A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，点 和点 分别是函数 ( ，
， )图像上的最低点和最高点，若 、 两点间的距离为 ，则关于函数 的说法
正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递减 D．在区间 上单调递增
12．（2022秋·湖南怀化·高三校考开学考试）已知函数 的部分图象如图所示，
点 ， ，则下列说法中错误的是（ ）A．直线 是图象的一条对称轴
B． 的图象可由 向左平移 个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间 上单调递增
13．（2021春·广东东莞·高三东莞市光明中学校考开学考试）函数 的图象如图所
示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度
B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度
D．向左平移 个单位长度
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其部分图象如图所示，则
下列关于 的结论错误的是（ ）．A． 在区间 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于点 对称
D． 的图象可由函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍得到
15．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横
坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上没有零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）若将函数 的图象向右平移 个单位长度后为奇函数，则
的值可以为（ ）
A． B． C． D．17．（2022·全国·高三专题练习）已知把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横
坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，若 ， ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·全国·高三专题练习）把函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图
象，若函数 是偶函数，则下列数中可能是 的值的为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022春·河南郑州·高三校联考阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若对任意的 均有
成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）函数 （ 且 ）在一个周期内
的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 （ ）A． B．1 C．－1 D．
21．（2023·高三课时练习）已知函数 （ ）在区间 上有且仅有一个最大值和
一个最小值，则实数 的取值不可能是（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题
22．（2021·高一单元测试）已知函数 满足 ，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线 是 图象的一条对称轴
D．点 是 图象的一个对称中心
23．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）A． 的最小正周期为
B． 图象的一个对称中心为
C． 的单调递减区间为
D． 的图象与函数 的图象重合
24．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）设函数 ，若函数
为偶函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·全国·高三校联考开学考试）记函数 的最小正周期为 ，且
，函数 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B．
C． D．当 取得最小值时，
26．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）若函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A．B． 的图象与函数 的图象重合
C．
D．存在唯一的 ，使得
27．（2022秋·河北唐山·高三校考开学考试）已知函数 的最小正周期为 ，将 的
图象向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 单调递增
C． 的图象关于 对称 D． 在 上的最大值是1
三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，则函数
的最大值为________．29．（2021·浙江·高三专题练习）已知函数 图象的一条对称轴为 ，则 ___________，
函数 在区间 上的值域为___________．
30．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数 ，
为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若 ，则 的解析式为________．
31．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数 ，
若 ， ，则 _________．
32．（2022秋·山东东营·高三胜利一中校考期末）设函数 ，直线 为 图像
的对称轴， 为 的零点，且 的最小正周期大于 ，则 _________．
33．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数 ，将 的图像
向右平移 个单位长度后的函数 的图像，若 为偶函数，则函数 在 上的值域为___________.34．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数 在 上单调递增，且在
上有最大值．则 的取值范围为__________．
35．（2023·高三课时练习）如图所示，函数 的部分图像与坐标轴分别交于点 、 、 ，则
的面积为______.
四、解答题
36．（2022秋·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知 ．
（1）求函数 的最小正周期及单凋递减区间；
（2）求函数 在区间 的值域．
37．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数 的最小正周期及对称轴方程
(2)求 在 上的值域.
38．（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 时，求函数 的最大值和最小值．
39．（2022春·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考期末）已知函数 的一部分图象如图所示，
如果 ， ， ．(1)求函数 的解析式；
(2)记 ， 求函数 的定义域；
(3)若对任意的 ， 不等式 恒成立， 求实数 的取值范围．
40．（2023·高三课时练习）函数 （ ， ）的部分图像如图所示，该图像与 轴交
于点 ，与 轴交于点 、 ， 为最高点，且 的面积为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
