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课时跟踪检测（三十九） 立体几何的综合性问题
1．如图①，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E，F分别是线段CD的两个
三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF，BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图②.
(1)求证：平面PEF⊥平面ABEF；
(2)求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：由已知条件易知四边形ABEF是正方形，
BE⊥EF且BE⊥PE.又PE∩EF＝E，
所以BE⊥平面PEF.
因为BE⊂平面ABEF，
所以平面PEF⊥平面ABEF.
(2)如图，过点P作PO⊥EF于点O，
过点O作BE的平行线交AB于点G，
则PO⊥平面ABEF.
又PO，EF，OG所在直线两两垂直，
所以分别以OG，OE，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角
坐标系，
则A(2，－1,0)，B(2,1,0)，E(0,1,0)，
P(0,0，)．
所以AE＝(－2,2,0)，EP＝(0，－1，)，AB＝(0,2,0)，PA＝(2，－1，－)．
设平面PAE的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 1 1
则所以
令z＝1，得n＝(，，1)．
1 1
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2 2
则所以
令z＝2，得n＝(，0,2)．
2 2
设平面PAE与平面PAB所成锐二面角为θ，
则cos θ＝＝＝.
所以平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值为.
2.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PB＝2，∠DPC＝45°，∠PBD＝30°.
(1)在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，
请说明理由；
(2)当E为PB的中点时，求二面角PAED的余弦值．
解：(1)存在点E，使PC⊥平面ADE.
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建
立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
由题意知PD＝CD＝1，AD＝，
所以D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)．
所以PB＝(，1，－1)，PC＝(0,1，－1)．
设PE＝λPB (0≤λ≤1)，则PE＝λPB＝λ(，1，－1)，
所以E(λ，λ，1－λ)．
由PC·DE＝(0,1，－1)·(λ，λ，1－λ)＝λ－1＋λ＝0，得λ＝，
即当点E为PB的中点时，PC⊥DE.
由矩形ABCD知AD⊥CD，由PD⊥平面ABCD知PD⊥AD，
又PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC.
又AD∩DE＝D，所以PC⊥平面ADE.
所以，当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
(2)由(1)知DA＝(，0,0)，DE＝，PA＝(，0，－1)，PE＝.
由(1)知平面ADE的一个法向量为n＝PC＝(0,1，－1)．
1
设平面PAE的法向量为n＝(x，y，z)，
2
则即
取x＝1，得n＝(1,0，)．
2
设n，n 的夹角为θ，则cos θ＝＝－.
1 2
由图知二面角PAED为锐角，
故所求二面角PAED的余弦值为.
3．如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝
2MA，AN＝2NC.如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．
(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)给出三个条件：①A′M⊥BC；②平面A′MN与平面CMN的夹角为60°；③A′B
＝.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答．
当________时，在线段BC上是否存在一点P，使直线PA′与平面A′BM所成角的正
弦值为？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得AM＝1，AN＝2，∠A＝60°，
MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos 60°，解得MN＝，
故AN2＝AM2＋MN2，
∴MN⊥AB，∴MN⊥A′M，MN⊥MB，
又∵MB∩A′M＝M，∴MN⊥平面A′BM.
又MN⊂平面BCNM，∴平面A′BM⊥平面BCNM.
(2)若选条件①A′M⊥BC，由(1)得A′M⊥MN，BC和MN是两条相交直线，
∴A′M⊥平面BCNM.
以M为原点，MB，MN，MA′分别为x，y，z轴建立如图所示的空
间直角坐标系．
则A′(0,0,1)，设P(2－a，a,0)，其中0，故不存在P满足条件．
若选条件②平面 A′MN 与平面 CMN 的夹角为 60°，由(1)得
∠A′MB即为平面A′MN与平面CMN的夹角，∴∠A′MB＝60°.
过 A′作 A′O⊥BM，垂足为 O，则 A′O⊥平面 BCNM.在平面
BCNM中，连接OC，经计算可知OC⊥OB.
以O为原点，OB，OC，OA′分别为x，y，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系．
则A′，
设P，其中0，故不存在P满足条件．
4.如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形．平面PAD⊥平面
ABCD.
(1)求证：AB⊥PD；
(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问：AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求
此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，故AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，故AB⊥PD.
(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.
则PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.
在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.
设AB＝m，则OP＝＝ ，
故四棱锥PABCD的体积为
V＝··m·＝·.
因为m＝＝ ，
故当m＝，即AB＝时，四棱锥PABCD的体积最大．
此时建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则O(0,0,0)，B，
C，D，
P，
故PC＝，BC＝(0，，0)，
CD＝.
设平面BPC的一个法向量n＝(x，y,1)，
1
则由得解得x＝1，y＝0，n＝(1,0,1)．
1
同理可求出平面DPC的一个法向量n＝.
2
从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为cos θ＝＝＝.
5．(2021·华南师大附中质检)如图，在五面体 ABCDEF 中，
AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，
平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求证：CE⊥平面ADF；
(2)已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角PDFA的大小为60°.
解：(1)证明：∵CD∥EF，CD＝EF＝CF，
∴四边形CDEF是菱形，∴CE⊥DF.
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面
ABCD，
∴AD⊥平面CDEF，
∵CE⊂平面CDEF，∴AD⊥CE.
又∵AD⊂平面ADF，DF⊂平面ADF，AD∩DF＝D，
∴直线CE⊥平面ADF.
(2)由(1)知四边形CDEF为菱形，
又∵∠DCF＝60°，
∴△DEF为正三角形．
取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF.
∵EF∥CD，∴GD⊥CD.
∵平面 CDEF⊥平面 ABCD，GD⊂平面 CDEF，平面 CDEF∩平面 ABCD＝CD，
∴GD⊥平面ABCD.
又∵AD⊥CD，
∴直线DA，DC，DG两两垂直．
以D为原点，分别以DA，DC，DG所在的直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∵CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，
∴D(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，－1，)，F(0,1，)，
∴CE＝(0，－3，)，DF＝(0,1，)，
CB＝(1，－1,0)，DC＝(0,2,0)．
由(1)知CE是平面ADF的一个法向量．
设CP＝aCB＝(a，－a,0)(0≤a≤1)，
则DP＝DC＋CP＝(a,2－a,0)．
设平面PDF的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令y＝a，则x＝(a－2)，z＝－a，
∴n＝((a－2)，a，－a)．
∵二面角PDFA的大小为60°，
∴|cosn，CE〉|＝
＝＝，
解得a＝或a＝－2(不合题意，舍去)．
∴P在靠近点B的CB的三等分点处．
