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考点巩固卷 13 复数（九大考点）
考点01 复数的分类
1．复数 为纯虚数，则实数 的值是______.
【答案】0
【分析】根据纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为复数 为纯虚数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .
故答案为：0
2．若复数 是实数，则实数 ______.
【答案】
【分析】复数 是实数，则虚部为0，可求实数 的值.
【详解】复数 是实数，则有 ，解得 .
故答案为： .
3．复数 是纯虚数的充要条件是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可．
【详解】若复数 是纯虚数，则 ， ；
若 ， ，则 是纯虚数，
所以复数 是纯虚数的充要条件是 且 ．
故选：A．
4．设 ， ，若 为实数，则m的值为______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
因为 为实数，所以 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
5．（多选）下列四个命题中，假命题为（ ）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 满足 ，则
D．若复数 ， 满足 ，则
【答案】CD
【分析】根据复数的相关概念，即可判断A、B项；取特殊值，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，根据共轭复数的概念，实数共轭为自身，可知A项正确；
对于B项，设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 ，故B项正确；
对于C项，取 ，则 ，故C项错误；
对于D项，取 ， ，则 ，故D项错误.
故选：CD.
6．已知 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据复数为纯虚数求出 ，再根据充分必要的概念得答案.
【详解】当 为纯虚数时，有 ，则 ，
故“ ”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件．
故选：A.
考点02 复数相等
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学科网（北京）股份有限公司7．已知复数 （ 是虚数单位）．
(1)求复数 的共轭复数；
(2)若 ，求 、 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的除法化简复数 ，利用共轭复数的定义可得出 ；
（2）利用复数的除法和复数相等可得出关于 、 的方程组，即可解得 、 的值.
【详解】（1）解： ，所以z的共轭复数 ．
（2）因为 ，即 ，
也即 ，所以 ，解得 ．
8．已知 ， ，（ 为虚数单位），则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ， .
故选：B.
9．复数 满足 ，则 ________.
【答案】
【分析】设出 ，利用 得到方程组，解方程组求出 ， 的值，从而可
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学科网（北京）股份有限公司求出 .
【详解】设 ，则 ，
所以 则 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
故 .
故答案为：
10．已知 （a， ，i为虚数单位），则复数 （ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的定义求出 ， ，再由模长公式得出 .
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
所以 ．
故选:B．
11．若纯虚数 满足 ，则实数 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B．-1 C．0 D．±1
【答案】B
【分析】设出纯虚数，利用乘法运算及复数相等列方程，求解即可.
【详解】设 ，由 ，可得 ，所以 ，解得 .
故选：B
12．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的运算和共轭复数的概念求出复数 ，再由复数的几何意义即可.
【详解】设 ，则 ．因为 ，所以 ，所以 ．
所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限．
故选：D
考点03 复数的几何意义
13．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 在复平面上所对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算求复数 ，再结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，则 ，
所以 在复平面上所对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
14．设i为虚数单位，复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先求出复数 ，从而可求出其在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以复数 在复平面内对应的点 在第四象限，
故选：D
15．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先写出复数 ，再得到其共轭复数.
【详解】因为复数 对应的点的坐标是 ，所以 ，
所以 .
故选：A
16．已知复数 ，若 在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的
__________.
【答案】 中的一个均可
【分析】根据复数的运算法则，可得 ，进而的一个满足条件的 的值.
【详解】复数 ，可得 ，
当 时，可得 ，
此时复数 对于点点位于第四象限，
当 时， 符合题意.
故答案为： 中的一个均可 .
17．（多选）在复平面内，点 对应的复数为z，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由题意写出复数 的代数形式，再利用复数模的计算公式，复数的运算法则和共轭复数的意义，
对各个选项逐个判断，即可得出正确选项.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为点 对应的复数为 ，所以 ，所以 ，故选项A错误；
因为 ，所以 ，则 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C正确；
因为 ，故选项D错误.
故选：BC.
18．复数 的共轭复数所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】结合复数的除法运算、共轭复数的概念和复数的几何意义即可得解.
【详解】由题意 ，
所以复数 的共轭复数 ，
所以其共轭复数在复平面内对应的点为 ，在第二象限.
故选：B.
考点04 复数模的计算
19．已知复数z满足 ，则z的模长为______．
【答案】
【分析】利用复数的模长公式计算即可.
【详解】由复数模长公式可得 .
故答案为：
20．已知i是虚数单位，复数 满足 ，则 ______.
【答案】
【分析】根据复数运算的除法法则和模的计算公式，即可化简得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
21． （i为虚数单位），则 ＝（ ）
A．5 B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求出 ，得 ，再可得 .
【详解】由 ，得 ，
， .
故选：D
22．已知 是虚数单位，复数 与 的模相等，则实数 的值为（ ）
A． B． C．±11 D．11
【答案】A
【分析】根据复数的模的定义，结合条件列方程可求 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
由已知 ，
所以 ，
故选：A.
23．已知复数 （ ，i为虚数单位），满足 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．3 C． D．5
【答案】A
【分析】由 求得共轭复数，再代入 中求得 ，再计算 即可.
【详解】因为 所以 ，则 ，解得 ，
.
故选：A.
24．已知复数 是一元二次方程 的一个根，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】设出 ， ，代入方程，化简得到 ，求出 ，并求出模长.
【详解】设 ， ，
，即 ，
故 ，解得 或 ，
故 ，所以 .
故选：C．
考点05 复数的四则运算
25．已知i为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A．25 B．9 C．5 D．3
【答案】C
【分析】直接解方程组求出复数 ，从而可求出复数 的模
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
故选：C
26．复数 的实部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的除法运算求出 ，再根据复数的概念可得答案.
【详解】因为 ，
所以复数 的实部为 .
故选：B
27．复数 ，则 的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的运算和模的计算，即可求解.
【详解】 ，
故 .
故选：C
28． 是虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】直接化简计算即可
【详解】 ，
故选：A
29．（多选）复数 ， （ ， ），下列说法正确的是（ ）
A．若 为实数，则 B．若 为实数，则
C．若 为纯虚数，则 D．若 为纯虚数，则
【答案】BCD
【分析】利用复数的乘除运算结合实数的意义判断AB；由共轭复数的意义、复数的乘除运算及纯虚数的
意义判断CD作答.
【详解】复数 ， （ ， ），
对于A， 是实数，则 ，A错误；
对于B， 是实数，则 ，B正确；
对于C， 是纯虚数，则 ，
此时 ， ，即 ，C正确；
对于D， 是纯虚数，则 ，
此时 ， ，即 ，D正确.
故选：BCD
30．已知 是虚数单位，则在复平面内，复数 对应的点所在位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据复数四则运算可知 ，即可得其对应的点为 ，位于第四象限.
【详解】由 可知， ，
因此其对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D
考点06 的幂运算
31． __________.
【答案】1
【分析】根据复数的运算即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
32．（多选）若复数 满足： 为 的共轭复数，则（ ）
A．
B．
C． 在复平面对应的点位于第二象限
D．
【答案】ABD
【分析】利用复数除法运算法则及幂运算先化简得出复数 ，在写出它的共轭复数 然后逐项分析即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选项A正确；
，
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学科网（北京）股份有限公司故选项B正确；
复数 在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，
故选项C错误；
，
故D正确.
故选：ABD.
33．已知复数 ，其中 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 且 是纯虚数，求 .
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简 ，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
（2）根据复数代数形式的除法运算化简 ，根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出 的值，即可
得到 ，再根据复数的乘方的性质计算可得.
【详解】（1）复数 ，则 ，
又 ，因此 ，解得 ，所以实数 的值是1.
（2）复数 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 是纯虚数，于是 ，解得 ，
因此 ，又 ，
则 ，即有 ，
所以 .
34．设复数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘方以及 的性质、复数的除法运算，化简得出 ，然后根据共轭复数的概念，
即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，
所以， .
故选：D.
35．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘方及除法运算法则计算可得.
【详解】 .
故选：C
36．复数 的虚部为_______.
【答案】1012
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解.
【详解】由题意得 ，
所以 ，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012.
故答案为：1012
考点07 待定系数法求复数
37．已知 为复数， 为 的共轭复数，且 ，则 的虚部是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】利用共轭复数的概念，直接求解.
【详解】因为 与 互为共轭复数，所以 的虚部与 的虚部互为相反数.
因为 的虚部为 ，所以 的虚部为 .
故选：D.
38．已知复数 满足 ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，根据复数的模长公式以及复数相等列式求解 即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据（1）中结果结合复数的模长公式运算求解.
【详解】（1）设 ，
则由 ，得 ，
即 ，则 ，解得 ，
所以 ．
（2）由（1）可知： ，则 ，
所以 .
39．已知复数 满足 ，则 __________.
【答案】
【分析】根据一元二次方程复数根的求解可得复数，即可由模长公式求解.
【详解】将 看作是关于 的一元二次方程 的根，则 ，
所以 ，
故答案为：
40．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一，四象限 D．第二、三象限
【答案】D
【分析】根据复数的计算法则求出复数 ，再由其几何意义选择即可.
【详解】设 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
故选：D.
41．已知复数 满足 ，且复数 为纯虚数．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 ；
(2)若 的实部小于零，且 是关于 的方程 的根，求 的值．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据复数的乘法运算以及纯虚数的定义，结合模长公式，即可列方程求解，
（2）利用复数相等的充要条件即可代入求解.
【详解】（1）设 ，
则 ．
因为 为纯虚数，
所以 且 ．
又 ，所以 ．
联立方程 得 或
故 或 ．
（2）由（1）和 的实部小于零，得 ．
因为 是方程 的根，
所以 ，
即 ．
所以 解得
所以 ．
42．满足 ， 的一个复数 __________．
【答案】 （ 或 中的一个，答案不唯一）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设 ，根据 可得出 或 ，分 、 两种情况讨论，结合复数
的模长公式可求得复数 的值.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，则 ，即 或 .
当 时，即 ，由 ，解得 或 ，此时， 或 ；
当 时，即 ，由 ，解得 ，此时， .
综上所述， 或 .
故答案为： （ 或 中的一个，答案不唯一）
考点08 复数模的几何意义
43．如果复数z满足 ，那么 的最大值是______.
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数模的公式，以及复数的几何意义，即可求解.
【详解】设复数 ，
因为 ，可得 ，表示以原点 为圆心，半径为 的圆，
又由 表示圆上的点到 的距离，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
44．已知复数 满足 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解.
【详解】方法一：因为 ，
所以 在复平面内对应的点是复平面内到点 的距离为4的点的集合，如图所示．
由图象可知，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当 时， ，
所以 的取值范围是 ．
方法二：因为 ，
又 ,
所以 ．
故答案为: .
45．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知等式的几何意义可得 对应的点的轨迹，将问题转化为点 到点 的距离，结合
轨迹可得结果.
【详解】设 ，
则 表示复平面上的点 到点 和点 的距离之和为 ，
对应的点的轨迹为线段 ，
表示点 到点 的距离， .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司46．（多选）已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复数 满足 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 点的坐标为 B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等
式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因为 ，则 ，A对；
对于B选项，由共轭复数的定义可得 ，B对；
对于C选项， ，则 ，
，
当且仅当 时，等号成立，即 的最大值为 ，C对；
对于D选项， ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为 ，D错.
故选：ABC.
47．已知虚数 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据复数表示的几何意义求点 对应的轨迹方程，再利用数形结合求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由复数的几何意义可知， 表示点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，即
， 如图，
表示圆上的点与原点连线的斜率，
如图，当直线与圆相切时，分别取得最大值和最小值，点 为切点，点 为圆心， ，
所以 ，即 ， ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
48．设复数z满足条件|z|＝1，那么 取最大值时的复数z为（ ）
A． + i B． + i C． i D． i
【答案】A
【分析】复数的模转化为距离， 是单位圆上的点， 是单位圆上点与 的距离的最大
值，可求解答案．
【详解】复数 满足条件 ，它是复平面上的单位圆，那么 表示单位圆上的点到 的
距离，
要使此距离取最大值的复数 ，就是 和 连线和单位圆在第一象限的交点 ．
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学科网（北京）股份有限公司点 到原点距离是2．单位圆半径是1，又 ，所以 ．
故对应的复数为 ．
故选：A
考点09 复数的三角表示（选学）
49．欧拉公式 （ 为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士数学家 （欧拉）首先发
现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则
下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果.
【详解】 .
故选：C.
50．若 （ 为虚数单位），则 是 的________条件．
【答案】充分不必要
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据充要条件的知识及复数的运算法则即可得解.
【详解】当 时， ，
所以 ；
当 取 ，
此时 ，且 ， ，
所以 推不出 ，
综上： 是 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
51．已知 （其中i为虚数单位），那么复数 在复平面内所
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，求得 ，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由 ，
可得
，
因为 ， ，
所以复数 在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司52．计算： ______．
【答案】
【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.
【详解】
，
，
故答案为： .
53． （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案.
【详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A.
54．若复数 ，其中 是虚数单位，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果.
【详解】
由题意可得， 对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 对应的点为 ，如上图所示，则
故选:C
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学科网（北京）股份有限公司
