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考点巩固卷 11 解三角形（九大考点）
考点01 解三角形
1．（ 2023·重庆·高二统考学业考试）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C．
2．在 中， 分别是角 所对的边.若 ， 的面积为 ，则 的值为______
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学科网（北京）股份有限公司3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
4．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 ______．
5．在 中，已知 ， ， ，则角 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D．
6．在 中，内角 所对的边分别为 .若 ，则 ______.
考点02 判断三角形解的个数
7．根据下列条件，判断 有没有解？若有解，判断解的个数.
(1) ， ， ；(2) ， ， ；
(3) ， ， ；(4) ， ， ；
(5) ， ， .
8．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ， ， ，若满足条件的三角形有
两个，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 分别为 三个内角 的对边，若 ，则满足此条件的三角形个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
10． 中， ，时，则下列叙述错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的外接圆的直径为4
B．若 ，则满足条件的 有且只有1个
C．若满足条件的 有且只有 个，则
D．若满足条件的 有两个，则
11．（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A． ， ， ； B． ， ， ；
C． ， ， ； D． ， ， .
考点03 三角形面积及其应用
12．在 中， ．
(1)如果 ，且 ，求 的值；
(2)如果锐角 的面积为 ，求 的长度．
13． ABC中， ， ， ABC的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
14．在 中， .
(1)求A；
(2)若点D在BC边上， ， ，求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司15．在 中， ，则 边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
16．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， 的面积为 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
17．在 中， ， ， .
(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积.
考点04 判断三角形的形状
18．在 中，角 对边为 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
19．（多选） 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则如下命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 为锐角三角形，则
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学科网（北京）股份有限公司D．若 是直角三角形，则
20．（多选） 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 是钝角三角形
C．若 ，则符合条件的 有两个
D．若 ，则 为等腰三角形
21．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，且 ，则 一定
是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
22．若 ，且 ，那么 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
23．（多选）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 为钝角三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 的三条高分别为 ， ， ，则 为钝角三角形
D．若 ，则 为直角三角形
考点05 求外接圆半径
24．如图，圆 的内接四边形 的顶点 关于 的对称点恰为 的内心 ， .则圆 的半
径为_______.
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学科网（北京）股份有限公司25．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ，若 ，则 外接圆
的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
26．锐角 的外接圆圆心为О，半径为2， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
27．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的外接圆面积为
（ ）
A． B． C． D．
28．在锐角 中， ， ，若 在 上的投影长等于 的外接圆半径 ，则
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
29．（多选）在 中，角 的对边分别为 ， 为 的外心，则（ ）
A．若 有两个解，则
B． 的取值范围为
C． 的最大值为9
D．若 为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
考点06 边角互化
30． 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 ，
；则 的面积为_________.
31． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
32．在锐角三角形 分别为内角 所对的边长， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .
(1)若 ， ，求边c的长；
(2)若 ，求角B的大小．
34．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求边长c．
35．在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，且 ，求a的值．
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学科网（北京）股份有限公司考点07 正余弦定理在几何中的应用
36．在四边形ABCD中， ，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为
已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
37．如图所示，在 中，已知 ， ，D，E，F分别在边AC，BC，AB上，且 为等
边三角形．若 ，则 的面积为______．
38．如图，在平面四边形 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司.
(1)求 的大小；
(2)求边 的长度.
39．如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ，CD=4，AB=2，则
AC=___________.
40．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫
生部门欲将一块如图所示的圆 的内接四边形区域 ，沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封
闭的隔离区．其中 ， ， ，（单位：米），则 __；四边形 的面
积为 __（平方米）．
41．已知四边形 是由 与 拼接而成，如图所示， ， .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长.
考点08 正余弦定理的实际应用
42．海面上有相距 的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成 的视角，从B岛望C岛和A岛成
的视角，则B，C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
43．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即
前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 ，相距10海里C处的乙船．
(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
(2)设乙船沿直线 方向前往B处救援，其方向与 成 角，求 的值
域．
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学科网（北京）股份有限公司44．位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知
PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像
底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得 米， 米， ，在点A处测得
点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（ ）（参考数据：取 ， ，
）
A．56米 B．69米 C．71米 D．73米
45．洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东
周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的
大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧
分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底 在同一平面内的两个测量
基点 与 ，现测得 ，在 点测得九龙鼎顶端 的仰角为 ，在 点测得九龙
鼎顶端 的仰角为 ，则九龙鼎的高度 （ ）（参考数据：取 ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司46．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落
霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，小明同学为测量膝王阁的高度，在膝王阁的正东方向
找到一座建筑物AB，高为12 ，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，滕王阁顶
部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，由此估算滕王阁的高度为
__________ .（精确到 ）.
47．如图，测量河对岸的塔高 ，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个基点 和 进行测量，现测
得 米， ，在点 和 测得塔顶 的仰角分别为 ，则塔高 ______米．
考点09 最值问题
48．在锐角 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司49．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，其中， ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值．
50．已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，点O为 外接圆的圆心，若
，求当角C取得最大值时 的面积.
51．已知 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值以及周长的最大值.
52．在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ,且 ．
(1)求角 的⼤小；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司53．设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 周长的取值
范围为____
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