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考点巩固卷 09 三角函数的运算（十大考点）
考点01：任意角和弧度制
1．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若 是锐角，则 是第一象限角
B．
C．若 ，则 为第一或第二象限角
D．若 为第二象限角，则 为第一或第三象限角
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.
【详解】A选项， 是锐角，即 ，所以 是第一象限角，A选项正确.
B选项，根据弧度制的定义可知 ，B选项正确.
C选项，当 时， ，但 不是象限角，C选项错误.
D选项， 为第二象限角，即 ，
所以 为第一或第三象限角，D选项正确.
故选：ABD
2．下列说法正确的有几个（ ）
（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于 小于 的角；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据角的定义及象限角的确定方法来解答.
【详解】第一象限角的集合为 ，
锐角是大于 小于 的角，锐角的集合为 ，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，
故选：C.
3．若三角形三内角之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是____________．
【答案】 ， ，
【分析】设三角形的三个内角的弧度数分别为 ，根据内角和为 ，列出方程，解出即可.
【详解】设三角形的三个内角的弧度数分别为 ，
则有 ，解得 ，
所以三内角的弧度数分别为 ， ， ．
故答案为： ； ； .
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学科网（北京）股份有限公司4．若 与 的终边互为反向延长线，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可得 ， ，进而求解.
【详解】因为 与 的终边互为反向延长线，
所以 ， ，
即 ， .
故选：D.
考点02：扇形的弧长及面积公式
5．已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则该扇形的弧长为______ ，面积为______
【答案】
【分析】设扇形的半径为 ，弧长为 ，然后根据弧长公式以及扇形周长建立方程即可求出 ， ，再根据
扇形面积公式即可求解．
【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ，
则由已知可得 ，解得 ， ，
所以扇形面积为 ，
故答案为： ； ．
6．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C． D．1：8
【答案】C
【分析】设扇形的圆心角的弧度数为 ，两圆的半径分别为 和 ，由面积比结合面积公式可得
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学科网（北京）股份有限公司，利用周长公式可得周长比.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为 ，两圆的半径分别为 和 ，
则 ， .
两个扇形周长的比为: .
故选：C
7．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径 ，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由扇形的面积公式，求得 ，且 的面积 ，即可求得图中阴影部分的面积，得
到答案.
【详解】由扇形 的圆心角为120°，即 ，半径 ，
可得扇形的面积为 ， 的面积 ，
所以图中阴影部分的面积为 .
故选：A.
8．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【分析】设扇形圆心角为 ，扇形半径为r，由题可得 间关系，后用r表示S，即可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设扇形圆心角为 ， ，扇形半径为 ， ，
由题有 ，
则 ，当 时取等号.
故选：D
9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
如图，设扇形的面积为 ，其圆心角为 ，圆面中剩余部分的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇
面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（ ）（参考数据： ）
A．
B．若 ，扇形的半径 ，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径 ，则此时的扇形面积为
【答案】D
【分析】求得 判断选项A；求得满足条件的 的值判断选项B；求得满足条件的 的值判断选项C；求
得满足条件的扇形面积的值判断选项D.
【详解】扇形的面积为 ，其圆心角为 ，半径为R，圆面中剩余部分的面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司选项A： .故A正确；
选项B：由 ，可得 ，解得 ，又扇形的半径 ，
则 .故B正确；
选项C：若扇面为“美观扇面”，则 ，
解得 .故C正确；
选项D：若扇面为“美观扇面”，则 ，又扇形的半径 ，
则此时的扇形面积为 .故D错误.
故选：D
考点03：三角函数的定义及其应用
10．设 ，角α的终边与单位圆的交点为 ，那么 的值等于____.
【答案】 /0.4
【分析】根据三角函数的定义计算即可.
【详解】因为点P在单位圆上，则|OP|=1，即 ，解得 .
因为 ，所以 ，所以P点的坐标为 ，
所以 ， .
所以 .
故答案为：
11．已知角 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P ，若点 位于
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学科网（北京）股份有限公司轴上方且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ， ， 三个直接的关系，可得 .
（2）由 可得.
【详解】（1）由三角函数的定义， ， ，
两边平方，得
则 ， ， ，
所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
.
12．如果角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为角 的终边在直线 上，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B.
13．已知角 的顶点为原点，始边为 轴的非负半轴，若其终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】由题意知 ，
则原式 .
故选：B.
14．已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的定义即可求解.
【详解】解：由题意， ， ，
又 ，显然 ，
，
，
故选：A
考点04：同角三角函数基本关系与诱导公式
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学科网（北京）股份有限公司15．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴的合，终边经过点 ，且 .
(1)求 的值：
(2)求 的值.
【答案】(1) .
(2) 或 .
【分析】（1）根据三角函数定义可列式计算求得 ，即可求得答案.
（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简 ，将 代入，即可求得答
案.
【详解】（1）由题意知角 的终边经过点 ，且 ，
故 ，解得 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
即 .
（2） ,
故 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司时， .
16．已知 ， ，
(1)化简 ；
(2)若 为第三象限角，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据诱导公式进行化简;
(2)首先化简 ，根据第三象限角，同角基本关系式 求 ,确定 的值.
【详解】（1）
∴
（2）∵
∴
∵ 为第三象限角，
∴
∴ 的值为 .
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学科网（北京）股份有限公司17．（多选）以下各式化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.
【详解】 ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误；
故选：ABC
18．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角关系平方可得 ，由二倍角公式以及诱导公式化简即
可代入求值.
【详解】由 平方得 ，
，
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司19．已知 ，且 为第三象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式先求出 ，再根据角所在的象限，利用同角三角函数的基本关系即可求
解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 为第三象限角，所以 ，
则 ，
故选：D.
20．已知 为第二象限角，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出 的值，利用同角三角函数的基本关系可求得 的值，再利用诱导公
式化简所求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 为第二象限角，则 ，
因此，
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：A.
考点05：齐次式化简求值
21．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的商数关系，将 分子分母同时除以 ，求解关于 的
方程即可；
（2）由同角三角函数的平方关系和商数关系化简，结合（1）中 代入即可．
【详解】（1）由 ，
得 ，解得 ．
（2）由已知得， ，
由（1）得 代入， ，
所以 ．
22．已知 ，则 __________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【分析】将已知式中分子 ，再分子分母同时除以 ，解方程即可得出答案.
【详解】由题意 ，
即 ，则 .
故答案为：3.
23．已知 ，则 等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用弦化切即可求得所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，
原式 .
故选：A.
24．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据已知化简可求得 .进而根据诱导公式，化简所求式子可得 ，根据同角
三角函数的关系可得 ，代入 ，即可求出答案.
【详解】因为 ，
所以 ，则 .
因为
.
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学科网（北京）股份有限公司25．已知 .
(1)求 及 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；
【详解】（1）由题意得 ，
则 ，
所以 .
（2）
.
.
26．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
.
故选：D
考点06：和、差、倍角的简单化简与求值
27．求值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；
【详解】（1）
.
（2）
.
28．（多选）若 ，则 的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．－2
【答案】CD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】对已知条件 进行化简运算可得 ，从而求得 ，即可得出结论.
【详解】
，
∵ ，∴ ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， .
故选：CD.
29．（多选）下列四个选项中，计算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABC
【分析】根据三角恒等变换公式以及诱导公式一一求解即可.
【详解】对A， ，A正确；
对B，
，B正确；
对C， ，C正确；
对D， ，D错误；
故选:ABC.
30．在 中，已知 是 的一元二次方程 的两个实根，则 ______．
【答案】 /
【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得 的值，可得 的值，从而求得 的值．
【详解】因为 是 的一元二次方程 的两个实根，
由题有 ，而 ，
，
∴
又 ， .
∴
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司31．若锐角 满足 ，则 ______．
【答案】
【分析】用二倍角公式可先求出 和 的值，进而可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
又 为锐角，所以 ，所以 ，
则 .
故答案为：
32．已知 且 都是第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的平方关系求得 ，再利用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为 且 都是第二象限角，
所以 ， ，
所以 .
故选：C.
考点07：辅助角公式的应用
33．用辅助角公式化简下列式子：
(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司(3)
【答案】(1)
(2)
(3) ，其中
【分析】直接利用辅助角公式化简即可.
【详解】（1） .
（2） .
（3） ，
其中 ，即 .
33．化简一下式子：
（1） ；（2） ；
（3）
【答案】答案见解析
【详解】（1）
，
（2） ，
（3）
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学科网（北京）股份有限公司35．已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.
【详解】 .
故选：A
36． （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据和差化积结合辅助角公式运算求解.
【详解】原式
.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司37．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接使用辅助角公式化简求值即可.
【详解】∵ ，
∴ .
故选：D.
考点08：给角求值型
38．计算下列各式：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把 化成 展开后即可求解；
（2）切化弦后再用辅助角公式化简可求解.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
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39． __________．
【答案】1
【分析】方法一：先得到 ， ， ，代入
，三式相乘得到答案；
方法二：先计算出 ，再利用积化和差得到 ，和
差化积结合半角公式化简得到 ，从而求出答案.
【详解】方法一： ，
，同理得 ，
，
令 ，以上三式相乘有：
．
方法二：令 ．
令 ，
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，
令
，
．
故答案为：1
40． __________.
【答案】2
【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.
【详解】因为 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司所以
故答案为：2.
41．（多选）下列选项中，与 的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据诱导公式和三角恒等变换一一计算即可.
【详解】 ，
对于A， ，故A符合题意；
对于B， ，故B符合题意；
对于C，
，故C符合题意：
对于D， ，故D不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABC．
42．计算 的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】化切为弦，结合辅助角公式，诱导公式求出答案.
【详解】
.
故选：D
43．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、配方法结合平方关系化简，再利用二倍角的正弦公式求解作答.
【详解】
.
故选：C
考点09：给值求值型
44．若 ， ， ， ，则 ______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 和两角差的余弦公式可求出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以
.
故答案为：
45．已知 ，则 _____.
【答案】 /
【分析】由于 ，然后利用余弦的二倍角公式可求得结果.
【详解】因为 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为：
46．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，根据二倍角公式求出 ，再根据诱导公式及二倍角公式求解.
【详解】令 ，则 ， ，得 ，
所以 .
故选:D.
47．已知 ，则 ______， ______.
【答案】 2 /
【分析】利用两角和的正切公式可得 ，再根据两角和的正弦公式以及二倍角的公式展开，根据齐
次式即可求解.
【详解】由 ，
得 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2， ．
48．已知 ，则 ________．
【答案】
【分析】由 可得 ，后由诱导公式结合二倍角公式可得答
案.
【详解】 .
则 .
则 .
故答案为：
49．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先根据二倍角公式化简条件得： ，再根据角的范围及诱导公式得
，利用正弦函数的单调性可得 ，化简求值即可.
【详解】由 ，
得 ，①
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学科网（北京）股份有限公司化简①式，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
且 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，则 ，所以 .
故选：B．
考点10：给值求角型
50．已知 是方程 的两根，且 ，则 的值为__________.
【答案】 /
【分析】首先利用韦达定理，得到两角正切的关系式，再根据两角和的正切公式，求角.
【详解】由条件可知， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
51．设 ， 均为钝角，且 ， ，则 的值为______.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先求出 和 ，再运用两角和公式求解.
【详解】∵ ， ，且 ， ， ，
∴ .
∵ ，∴ ；
故答案为： .
52．已知 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角的变换 ，结合两角差的正弦公式求得 ，检验各选项即可.
【详解】由 ，得 ，
而 ，
从而 或 ，
当 时，只有B符合；当 时，四个选项均不符合.
故答案为：B．
53．已知 ， ，且 ，则 _________； _______.
【答案】
【分析】由 ， 利用两角和差正切公式可求得 ，
，结合 的范围可确定 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ， ， ；
，
， ， ， ， ，
， .
故答案为： ； .
54．已知 ， 为锐角， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）由同角三角函数的基本关系得出 ，再由 求解.
【详解】（1）
（2）因为 为锐角，且 ，所以 .
所以 ， .
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学科网（北京）股份有限公司，所以 .
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