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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章综合检测卷（培优B卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．若 ，E为空间中不在直线CD上的任意一点，则直线AB与平面CDE的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内
【答案】D
【分析】由给定条件可得直线AB与直线CD平行或重合，再分情况讨论作答.
【详解】因 ，则有直线AB与直线CD平行或重合，而点E不在直线CD上，即点E、直线CD
确定平面CDE，
若直线AB与直线CD平行，当点E在直线AB上时，直线AB在平面CDE内，
当点E不在直线AB上时， 平面CDE， 平面CDE，于是得 平面CDE，
若直线AB与直线CD重合，则直线AB在平面CDE内，
所以直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
故选：D
2．边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使平面ACD垂直于底面ABC．则 （ ）．
A．-2 B．2 C．-6 D．6
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，写出 的坐标，利用空间向量的数量积进行运算即可.
【详解】设 中点为 ，易知 ， 是等腰直角三角形，
所以 ， ，
又平面 垂直于底面 ，平面 底面 ， 平面 则 底面 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B．
3．已知平面 的一个法向量 ，点 在 内，则平面外一点 到 的距离为
（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】首先求出 ，再根据点 到 的距离 计算可得.
【详解】解：因为 、 ，
所以 ，
又平面 的一个法向量 ，
所以点 到 的距离 .
故选：C
4．如图， 为正方体，下列错误的是（ ）A． 平面 B．平面 平面 ．
C． 与 共面 D．异面直线 与 所成的角为90度
【答案】C
【分析】由线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的判定定理可判断B，由异面直线的定义可判断C；
以 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，可得 ，可判断D.
【详解】对于A，由正方体的性质知： ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故A正确；
对于B，由正方体的性质知： 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，则平面 平面 ，故B正确；
对于C， 平面 ，因为 平面 ， 平面 ，
平面 ，由异面直线的判定定理知 与 是异面直线，故C不正确；
对于D，以 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
， ， ， ，， ，
所以异面直线 与 所成的角为90度，故D正确.
故选：C.
5．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，且 ， ，
， ， 分别为 ， 上的点，且 ， ， （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件选定基底向量 ，并表示出 ，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥 中，底面 为平行四边形，连接AC，如图， ， ，
则，
又 ， ， ，
则 ， ，
因此，
.
故选：B
6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，
分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一
个法向量分别为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为（0，0，2） B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标 ， ， ， ，分别计算即
可求值.
【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， .
设 ，则 ，
取 ，可得 .
因为 ， ，
所以 平面PAB，
所以平面 平面PAB，
所以 ，
所以 .
综上所述，A，B，C错，D正确.
故选：D
7．如图，在长方体 中，底面ABCD为正方形，E，F分别为 ，CD的中点，直线BE与
平面 所成角为 ，给出下列结论：
① 平面 ； ② ；③异面直线BE与 所成角为 ； ④三棱锥 的体积为长方体体积的 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】取 中点为 ，可证明平面 平面 ，根据面面平行的性质即可判断①；可证明
平面 ，即可判断②；可证明四边形 是平行四边形，即可得到 ，进而可得
即等于所求角，求出该角即可判断③；以 为底，即可求出三棱锥的体积，进而判断④.
【详解】
取 中点为 ，连结 .
对于①，因为 分别是 的中点，所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理， 平面 .
因为， 平面 ， 平面 ， ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ，所以①正确；
对于②，由已知可得四边形 是正方形， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故②正确；对于③，取 中点为 ，连结 .
因为 ， ， ， ，所以 ，所以
且 ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，所以异面直线BE与 所成角即等于直线 与 所
成角 ，
因为直线BE与平面 所成角为 ， 平面 ，所以 ，所以 ，设
，则 ，则 ，
所以 为等边三角形，所以 ，故③正确；
对于④，设长方体体积为 ，则 .
因为 平面 ，则 ，
故④正确.
故①②③④正确.
故选：D.
8．在平行四边形 中，角 ，将三角形 沿 翻折到三角形 ，使平面
平面 .记线段 的中点为 ，那么直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由余弦定理，则 ， ， ，以 为原点建立空间直角坐标系，
利用向量法解决线面角问题.
【详解】 ，由余弦定理，
，
则 ， ， ，
平面 平面 ， ， ，
以 为原点， 所在直线为 轴，平面 内垂直于 的直线为 轴，垂直于平面 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
令 ，有 ， ，即 ，
，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知非零空间向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
ab c a bc
C． D．若 ，则 不共面
【答案】AB
【分析】根据向量共线定理判断A；利用数量积的定义判断B；根据平面向量数量积的定义和运算律判断
C；利用平面向量基本定理判断D
【详解】对于A，因为 ， ， 是非零向量，且满足 ， ，故存在实数 使得 ，故
，所以 ，故正确；
对于B，因为 ， ， 是非零向量，所以 ，故正确；
对于C， ， ， 与 未必共线，故不正确；
对于D，由平面向量基本定理可得若 ，则 共面，故不正确
故选：AB
10．已知空间中三点 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
【答案】ABC【分析】根据向量的模的坐标表示即可判断A；判断 是否成立即可判断B；根据
即可判断C；判断向量 是否共线即可判断D.
【详解】解： ，则 ，故A正确；
，则 ，所以 ，故B正确；
，则 ，故C正确；
因为 ， ， ，所以向量 不共线，则A，B，C三点不共线，故D
错误.
故选：ABC.
11．已知平行六面体 如图所示，其中 ， ， ，
线段AC，BD交于点O，点E是线段 上靠近 的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.
【详解】依题意， ，， ，
，故A正确；
，故B错误；
，
则 ，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
12．在直三棱柱 中， 平面 ， 且 ， 为 中点，则下
列说法正确的是（ ）
A．无论 为何值时，均有 平面 成立
B．当 时， 平面
C．当 时， 与 所成角的余弦值为
D．当 时，点 到平面 的距离为
【答案】ABC
【分析】对于A，连接 ，连接 ，利用中位线的性质可得 ，结合线面平行的判定定理即可判断；对于B、C、D，建立空间直角坐标系，用向量法进行计算判断即可.
【详解】
对于A，连接 ，连接 .
因为四边形 是平行四边形，所以 是 的中点，又 为 中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，A正确；
对于B，如图，建立空间直角坐标系，当 时， ，
则 ,
所以 ， ，即 ，
又EC 、AE交于E点，且 平面 ，所以 平面 ，B正确；
1
对于C，当 时， ,
则 ，所以 ，
故 与 所成角的余弦值为 ，C正确；
对于D，当 时， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取
点 到平面 的距离为 ，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，若 夹角为钝角，则实数 的取值范围是________．
【答案】 且
【分析】根据题意得出 且 与 不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答
案.
【详解】因为 与 的夹角为钝角，所以 且 与 不共线，
因为 ，所以 ，解得 ，
当 与 共线时， ，即 ，则 ，解得 ，
所以 且 .
故答案为： 且 .
14．已知空间四边形 中， ，则 ______．
【答案】0
【分析】根据向量的加法的几何意义，将 化为 ，结合数量积的运算法则和向
量的线性运算，即可求得答案.
【详解】在空间四边形 中, ,
则,
故答案为：0
15．点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则 ______．
【答案】
【分析】以 为基底， ，即可求解.
【详解】解：以 为基底，它们两两之间均为 ，设正四面体ABCD棱长为2，则
,
所以
，
所以 ,
故答案为：16．如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体 ，则下列叙述正确的是
___________.
①平面 的法向量与平面 的法向量垂直；
②异面直线 与 所成的角的余弦值为 ；
③四面体 有外接球且该球的半径等于棱 长；
④直线 与平面 所成的角为 .
【答案】②③④
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量解决①②④，利用向量求出AD⊥AC，取两个直角三角形斜边
中点，可证明此点为球心，进而得到解答.
【详解】如图，以BD为x轴，BC为y轴，垂直于平面BCD为z轴建立空间直角坐标系，设 ，则，
，则 ， ， ， ，平面 的法向量为 ，平面
的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，则 ，因
为 ，则平面 的法向量与平面 的法向量不垂直，①错误；
设异面直线 与 所成角为 ，其中 ， ，则，②正确；
，所以 是直角三角形，取CD中点O，则因为 和
为直角三角形，OA=OB=OC=OD，则O为四面体ABCD的外接球球心，半径为 ，而根据
∠CBD=30°，故 ，故四面体 有外接球且该球的半径等于棱 长，③正确；
平面ABC的法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，故 ，故④正确.
故答案为：②③④
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点 、 、 ， ， ．
(1)若 ，且 ，求 ；
(2)求 ；(3)若 与 垂直，求 ．
【答案】(1) 或 ；(2) ；(3) 或
【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出 ，再利用 列方程，进而求得 ；
（2）先求得 ， ，再利用公式即可求得 的值；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于 的方程，解之即可求得 的值．
【详解】（1） 、 ， ， ，且 ，
设 ，且 ，
解得 ， 或 ；
（2） 、 、 ， ， ，
， ，
；
（3） ， ，
又 与 垂直，
，解得 或 ．
18．已知三棱柱 中，侧棱 底面 ，记 ， ， .（1）用 表示 ；
（2）若 ， ，求证： .
【答案】（1） ， ， ；（2）见解析
【解析】（1）根据空间向量的加法和减法的运算法则，即可求出结果；
（2）由题意可知， ，由 ，可得 ；同理由 可得
即可证明结果.
【详解】（1） ， ，
；
（2）证明：∵ 底面 ，∴ ，
∴ ,
，
，
， ，即
【点睛】本题主要考查了空间向量的加法（减法）运算法则，以及空间向量数量积的应用，属于基础题.19．如图，在边长是2的正方体 中，E，F分别为AB， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)证明：EF与平面 不垂直．
【分析】（1）连结 ，连结 ，先利用平行四边形证得 ，再利用线面平行的判定
定理得到 平面 ；
（2）建立坐标系求出点的坐标，表示出 ，因为 ，所以 不垂直 ，则EF与平
面 不垂直．
【详解】（1）如图，连结 ，连结 ，
因为在正方体 中，面 是正方形，所以 ，
是 的中点，又因为 是 的中点，所以 且 ，
因为 是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ；（2）建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系如图：
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0，
， 分别为 ， 的中点，
，1， ， ，1， ，所以
，而 ，故 不垂直 ，
则EF与平面 不垂直．
20．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形， 为
的中点.(1)证明： .
(2)求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
.
因为 ，所以 ；
（2）设平面 的法向量为 ，
则 取 ，可得 .设平面 的法向量为 ，
则 取 ，可得 .
.
故二面角 的平面角的余弦值为 .
21．如图，在四棱锥 中， 平面 ，正方形 的边长为2， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)若 ，线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）连结 交 于点 ，可知 .然后根据线面平行的判定定理，即可得出 平面
；
（2）先证明 平面 ．以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设 ，
求出点 的坐标，然后得到 .求出平面 的法向量 ，根据 得出 的值，根据数乘向量的模，
即可得出答案.【详解】（1）
如图1，连结 交 于点 .
因为 是正方形，所以 是 的中点，
又 是 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）存在，理由如下：
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 为正方形，所以 ．
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
以点 为坐标原点，过点 作 的平行线为 轴，分别以 为 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图2，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 .
令 ，则 ,
所以 ，所以 .
因为 ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，所以 ，
取 ，则 是平面 的一个法向量.
因为 平面 ，所以 ，
所以有 ，解得 ，所以 .
因为 ，
所以 .
22．如图1，在直角梯形 中， ， ， ， ， ， .如图
2，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 .
(1)证明：平面 平面 ；(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）过点 作 于 ，可证 ，即 为等边三角形，取 的中点 ，结合余
弦定理和勾股定理可推出 ，再由线面垂直的判定定理､面面垂直的判定定理，得证；
（2）取 的中点 ，连接 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量 ，设
直线 与平面 所成角为 ，再由 ，即可得解.
【详解】(1)证明：过点 作 于 ，则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 为等边三角形，即 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
翻折前，在 中， ， ， ，
由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .(2)解：取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，作 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标
系， 与 轴平行，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
