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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章综合检测卷（拔尖C卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．在平行六面体 中，点M满足 ．若 ，则下列向量中
与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.
【详解】
由点M满足 ，所以M为 中点，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为 中点,
所以 ，
所以 .
故选：C
2．在平行六面体 中， ， ，且 ， ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到 ，再利用空间向量的数量积及运算律
求模长.
【详解】以 为基底向量，可得 ，
则
，
∴ ．
故选：C.
3．已知 、 是空间中两个不同的平面， 、 是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】D
【分析】利用空间中线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用空间向量法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A错；
对于B选项，若 ， ，则 或 、 相交，B错；对于C选项，若 ， ，则 或 或 、 相交（不一定垂直），C错；
对于D选项，设直线 、 的方向向量分别为 、 ，
若 ， ， ，则平面 、 的一个法向量分别为 、 ，且 ，故 ，D对.
故选：D.
4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算得出 ， ，根据正四面体的性质得出
，且 、 、 三向量两两夹角为 ，即可通过向量数量积的运算率得出答案.
【详解】
四面体ABCD是正四面体，
，且 、 、 三向量两两夹角为 ，
点E，F分别是BC，AD的中点，
， ，
则 ，
故选：C.5．在正方体 中，P为线段 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论
正确的有（ ）
①直线 与AC所成角的取值范围是
②存在P点，使得平面 平面
③三棱锥 的体积为
④平面 截正方体所得的截面可能是直角三角形
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】①建立平面直角坐标系，利用异面直线所称角的向量坐标法，即可求解；②当点 为中点时，即
可判断面面平行；③结合等体积转化 ，即可求解；④讨论点 的位置，作出截面，即可判
断.
【详解】①如图，连结 ，以点 为原点，建立空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， ，
则有 ，设 ，
， ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，因为 ， ，设直线 与AC所成角为 ，所以 ，又 ,
故直线 与AC所成角的取值范围是 ，故①错误；
②当点 为 的中点时，有 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理， 平面 ，且 ， 平面 ，
所以平面 ，故②正确；
③三棱锥 的体积 ，故③正确；
④设 的中点为 ，连结 ，当点 在线段 （不包括端点）上时，此时平面 截正方
体所得的截面为梯形 ，如图，当点 在 点时，此时平面 截正方体所得的截面为正三角形 ,如图，
当点 在线段 （不包括端点）时，此时平面 截正方体所得的截面为等腰三角形 ，如图，
， ，所以 ， 为锐角，该等腰三角形不可能为直角三角形，
综上，可得④错误.
故选：D
6．如图，在正方体 中，E为棱 上一点且 ，则直线 与平面 所成角
的正弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】以点D为原点， 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ．
故选：D．7．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，下列四个结论中，
正确的是（ ）
A． 平面
B．存在点 ，使 平面
C．存在点 ，使
D．
【答案】D
【分析】当 与 重合时， 平面 ，即可判断A；设正方体的棱长为1，以点 为坐标原点，
以 ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，可得 坐标，
由 可知 与 不垂直，即可判断B；若 ，则 ，列方程组求解可判
断C；由 可判断D.
【详解】当 与 重合时，又 平面 ，则 平面 ，故A错误；
设正方体的棱长为1，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标
系，则 ，
设 ，又 ，∴ ，
，则 ，∴ ，
∵ ， ，∴ 与 不垂直，而 平面 ，则 与平面 不垂
直，故B错误；
，若 ，则 ，则 ，此方程无解，故不存在点 ，使 ，
故C错误；
∵ ， ， ，∴ ，故D正确．
故选：D．
8．在正四棱锥 中， ， 在棱 上， 在直线 上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以O为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴和 轴轴的正方向建立的空间直角坐标系，设 和 ，求得点A到直线CE的距离 的表达式，
进而求得最小值.
【详解】如图所以，连接AC，BD，记 ，连接OP，
由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、
轴和 轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ， ， ， ，
则 ， ,
设 ，则 ，
从而 ，
故点A到直线CE的距离 ，
即AF的最小值是 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知点 是平行四边形 所在平面外一点， ， ， 下列结论中
正确的是（ ）
A． B．存在实数 ，使
C． 不是平面 的法向量 D．四边形 的面积为
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向
量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】A： ，所以本选项结论正确；
B： ，假设存在存在实数 ，使 ，
，显然方程组无实数解，因此假设不成立，所以不存在实数 ，
使 ，因此本选项说法不正确；
C： 不互相垂直，所以 不是平面 的法向量，因此本选项说
法正确；
D： ，
所以 ，
四边形 的面积为： ，
因此本选项说法正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式，结合三角形面积公式是解题的关键
10．已知四面体 中， ， ， 两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A． ； B．C． ； D．
【答案】ACD
【分析】利用 ， ， 两两垂直，可得 ，对于A选项，两边平方化简后相等可判
断A选项；对于B选项，将 ，代入化简得到 不一定为0，可判断B选项；对于C
选项，左边直接平方利用向量垂直数量积为0化简，可判断C选项；对于D选项，将
，同理 ，可判断D选项.
【详解】由题意可知， ， ， 两两垂直，所以 ，
对于A选项，
，
，故 ，所以A选项正确；
对于B选项， ，
当 时， ，否则不成立，所以选项B不正确；
对于C选项，
，所以选项C正确；
对于D选项， ，同理可得 ， ，
所以 ，选项D正确，
故选：ACD
11．在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，点 是侧面 内一点（包含边界），若 ，则下面哪些值可能是线段 的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线
段 长度取最小值、最大值即可得解．
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
，2， ， ，2， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，设 ，2， ， ， ，则 ，2， ，
平行于平面 ，
，整理得 ，
线段 长度 ，
当且仅当 时，线段 长度取最小值 ，当 时，线段 长度取最大值3．
故选：CD．
12．如图，平面 平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，
， ，则（ ）
A． B． 平面ABCD
C． D．三棱锥 外接球的表面积是
【答案】BCD
【分析】利用已知结合数量积的运算求解可判断选项A，由线面平行的判定定理可判断选项B,由面面垂直
的性质定理可判断选项C,计算可得 为直角三角形，再由 为直角三角形，可知 为三棱锥
的外接球的直径，再由球的表面积公式可判断选项D．
【详解】解： ， ，
，
又 、 、 两两相互垂直，
，A错误，
四边形ABEF是矩形，平面ABCD, 平面ABCD,
平面ABCD, B正确，
平面 平面ABEF，四边形ABCD是正方形， ,平面 平面ABEF ，
平面ABEF, 平面ABEF , ,C正确，
， ，
， 为直角三角形，
又 为直角三角形， 为三棱锥 的外接球的直径，
则三棱锥 的外接球的表面积 ．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满
足 ， ，若点G在线段MN上，且满足 ，若向量 满足
，则 ______．
【答案】
【分析】利用空间向量的运算法则，直接求出 ，再利用空间向量基本定理，即
可求出结果.
【详解】因为
，
所以 ．
故答案： .14．如图所示，在棱长均为 的平行六面体 中， ，点 为
与 的交点，则 的长为_____.
【答案】
【分析】设 ， ， 为基底， ， ，平方计
算得到答案.
【详解】设 ， ， 为基底， ，
则 ，
所以
，故 .
故答案为：
15．三棱柱 中，平面 平面 ，且 ， ，
，则异面直线 与 所成角的正弦值为________．
【答案】
【分析】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求
解即可.
【详解】解：以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设所求的角为 ，
则 ，
则 .
即异面直线 与 所成角的正弦值为 .
故答案为：
16．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达
顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，假设两动点间距离最小时点对应的坐标分别为 ， 结合题意和空间两点间距离公式得到 ，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为 ， ， ，
由空间两点间距离公式可得
，
因为 ，所以当 时， 取最小值 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知 ， ， ， ， ， ， ， ， 为空间的 个点，且 ， ，
， ， ， ， ．(1)求证： ， ， ， 四点共面， ， ， ， 四点共面；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求证： ．
【分析】（1）利用空间向量共面定理即可求证；
（2）由空间向量线性运算可得 ，由空间向量共线定理可证明 ，再由线面平行的判定定
理可得 平面 ，同理可证明 平面 ，由面面平行的判定定理即可求证；
（3）由（2）知 ，再利用空间向量的线性运算即可求证.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ， 共面，即 ， ， ， 四点共面．
因为 ， ，
所以 ， ， 共面，即 ， ， ， 四点共面．
（2）连接 ， ，
，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 与 相交，所以平面 平面 ．
（3）由（2）知 ，所以 ．18．如图，正方体 的棱长为a．
(1)求 和 的夹角；
(2)求证： ．
【分析】（1）选好基底后，根据空间向量数量积即可求解；
（2）利用向量垂直，数量积为0即可得解.
【详解】（1） ， ， ．
由于正方体 的棱长为a，
，且 ， ， ．
， ，
．
又 ， ，
．
又 ，，
与 的夹角为60°．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，
．
19．设全体空间向量组成的集合为 ， 为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，
“因变量”也是向量的“向量函数” ； .
(1)设 ， ，若 ，求向量 ；
(2)对于V中的任意单位向量 ，求 的最大值.
【答案】(1) 或 ；(2)
【分析】（1）设 ，根据题意列方程，解方程即可得到 ；
（2）设 与 的夹角为 ，根据数量积的运算律得到 ，即可得到最大值.
【详解】（1）依题意得： ，设 ，
则 ， 或 ；
（2）设 与 的夹角为 ，则 ，
则 ，故最大值为 .
20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已
知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线性垂直；
（2）利用空间向量证明线面垂直.
【详解】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，
以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.
则 ，
可得 ，
∵
∴ ，即AP⊥BC.（2）由（1）可得 ，
∵M是AP上一点，且AM＝3，
∴ ，
可得 ，
设平面BMC的法向量为 ，则 ，
令b＝1，则 ，即 ，
显然 ，故 ∥ ，
∴AM⊥平面BMC.
21．如图，在三棱柱 中， ， ， ， 是
的中点，E是棱 上一动点．
（1）若E是棱 的中点，证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）是否存在点E，使得 ，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）不存在，理由详见解析．【分析】（1）取 中点为 ，连结 ，证明 ，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；
（2）先证明 两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量
，平面ABC的法向量为 ，再利用向量的夹角公式，即可得答案；
（3）设 ，由 ，解得 与假设矛盾，从而得到结论.
【详解】（1）证明：取 中点为 ，连结 ，
在 中，因为 为 的中点，
所以 且 ．
又因为 是 的中点， ，
所以 且 ，
所以 为平行四边形
所以 ．
又因为 平面 ， ．
平面 ，
所以 平面 ．
（2）连结 ，
因为 是等边三角形， 是 的中点，
所以 ，因为 ， ，
所以 ．
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ，
所以 两两垂直．
如图，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ， 即 ，
令 ，则 ， ，
所以 ．
平面ABC的法向量为 ，．
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3） ， ，
设 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，
假设 ，
则 ，解得 ，
这与已知 矛盾． 不存在点E.
【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直，考查转化
与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
22．如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ，D是 的中点．
(1)求平面 与平面ABC夹角的余弦值；(2)在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出CP的长；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在， 或 ．
【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，求出面ABC、面 的法向量，应用空间向量夹角的坐标
表示求面面角的余弦值；
（2）设 ，得 ，结合面 法向量 ，及线面角正弦值，应用
空间向量夹角坐标表示列方程求参数 ，即可判断存在性并求长度.
【详解】（1）因为 平面ABC， 平面ABC，则 ， ，
以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
所以平面ABC的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，而 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ，故 ，
所以 ，又平面 与平面ABC夹角为锐角，所以平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ；
（2）假设存在点P，
设 ， ，
设BP与平面 所成的角为 ，由（1）知，平面 的法向量为 ，
则 ，
所以 ，解得 或 ，
在线段CD上存在一点P，使BP与面 所成角的正弦值为 ，此时 或 ．
