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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章综合检测卷（拔尖C卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．在平行六面体 中，点M满足 ．若 ，则下列向量中
与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平行六面体 中， ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 、 是空间中两个不同的平面， 、 是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则4．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体 中，P为线段 上的动点（不包含端点），若正方体棱长为1，则下列结论
正确的有（ ）
①直线 与AC所成角的取值范围是
②存在P点，使得平面 平面
③三棱锥 的体积为
④平面 截正方体所得的截面可能是直角三角形
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
6．如图，在正方体 中，E为棱 上一点且 ，则直线 与平面 所成角
的正弦值为（ ）
A． B． C． D．7．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，下列四个结论中，
正确的是（ ）
A． 平面
B．存在点 ，使 平面
C．存在点 ，使
D．
8．在正四棱锥 中， ， 在棱 上， 在直线 上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知点 是平行四边形 所在平面外一点， ， ， 下列结论中
正确的是（ ）
A．
B．存在实数 ，使
C． 不是平面 的法向量
D．四边形 的面积为
10．已知四面体 中， ， ， 两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ）
A． ；B．
C． ；
D．
11．在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，点 是侧面 内一
点（包含边界），若 ，则下面哪些值可能是线段 的长度（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，平面 平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，
， ，则（ ）
A． B． 平面ABCD
C． D．三棱锥 外接球的表面积是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足 ， ，若点G在线段MN上，且满足 ，若向量 满足
，则 ______．
14．如图所示，在棱长均为 的平行六面体 中， ，点 为
与 的交点，则 的长为_____.
15．三棱柱 中，平面 平面 ，且 ， ，
，则异面直线 与 所成角的正弦值为________．
16．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达
顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知 ， ， ， ， ， ， ， ， 为空间的 个点，且 ， ，， ， ， ， ．
(1)求证： ， ， ， 四点共面， ， ， ， 四点共面；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求证： ．
18．如图，正方体 的棱长为a．
(1)求 和 的夹角；
(2)求证： ．
19．设全体空间向量组成的集合为 ， 为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，
“因变量”也是向量的“向量函数” ； .
(1)设 ， ，若 ，求向量 ；
(2)对于V中的任意单位向量 ，求 的最大值.20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已
知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
21．如图，在三棱柱 中， ， ， ， 是
的中点，E是棱 上一动点．（1）若E是棱 的中点，证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）是否存在点E，使得 ，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．
22．如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ，D是 的中点．(1)求平面 与平面ABC夹角的余弦值；
(2)在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出CP的长；若
不存在，请说明理由．
