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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章综合检测卷（基础A卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）.
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由 ，可得存在实数 使得 ，利用向量相等即可得出．
【详解】 ，4， ，
，3， ，
，
存在实数 使得 ，
，解得 ， ．
．
故选： ．
【点睛】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．
2．如图，在平行六面体 中，E是 的中点，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】 ．
故选：A.
3．如图，在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 ， ， 为 的中点，
则 等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】以 为基底向量，利用向量的三角形法则将 用基底向量表示，根据向量数量积
的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．
【详解】以 为基底向量，则 ，
∵ ，则
，
又∵ ，即 ，
∴ ．
故选：D．
4．若直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（ ）
A． B．
C． D．l与 斜交
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，进而可得 .
【详解】∵ ， ，可得 ，
∴ ，可得
故选：B.
5．在正四棱锥P—ABCD中， ，则该四棱锥的体积为（ ）
A．21 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】根据正四棱锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，设顶点 在底面的射影为 ，
为正方形 对角线的交点，
，
所以 ，
，所以该四棱锥的体积为 ，
故选：B
6．已知在平行六面体 中，向量 ， ， 两两的夹角均为 ，且 ， ，
，则 （ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】如图，平行六面体 中，
向量 、 、 两两的夹角均为 ，
且 ， ， ，
.
，
故选：A.7．设 ， 是不重合的两个平面， ， 的法向量分别为 ， ， 和 是不重合的两条直线， ， 的
方向向量分别为 ， ，那么 的一个充分条件是（ ）
A． ， ，且 ， B． ， ，且
C． ， ，且 D． ， ，且
【答案】C
【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断．
【详解】对于A， ， ，且 ， ，则 与 相交或平行，故A错误；
对于B， ， ，且 ，则 与 相交或平行，故B错误；
对于C， ， ，且 ，得 ，则 ，故C正确；
对于D， ， ，且 ，则 与 相交或平行，故D错误．
故选：C．
8．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， ，D为棱 的中点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ,
∵ ，则 ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知向量 ， ， ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． 或8 D．向量 ， ， 共面
【答案】BC
【分析】A选项代入向量模长公式，即可求得；B选项，根据两向量垂直，数量积为0，即可求得；C选项，根据 ，可得 的值，再用数量积的坐标运算法则计算即可；D选项，求出 的值，若三个向量共
线，则 ，代入坐标计算即可.
【详解】∵ ，∴ ，解 ，∴A错误；
∵ ，∴ ，解得 ，故B正确；
或 ， ，
当 时， ；
当 时， ；故C正确；
当 时，令 ，则 ，得 ，无解；
当 时，令 ，则 ，得 ，无解；
∴向量 ， ， 不共面．故D错误．
故选：BC．
10．若 是空间任意三个向量， ，下列关系中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项．
【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有 ，即 时，都有 ，A不成立；由数量积的运算律有 ， ， 与 不一定相等，B不成立；
向量数乘法则，C一定成立；
只有 共线且 时，才存在 ，使得 ，D这成立．
故选：ABD．
11．如图，在三棱柱 中， 分别是 上的点，且 .设
，若 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 故A错误；
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，故B正确；
因为 ，
所以 ，故C错误；
因为 ， ，
所以
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD.
12．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，M为PD的中点，则（ ）
A．直线CM与AD所成角的余弦值为 B．
C． D．点M到直线BC的距离为
【答案】ABD【分析】过A作 ，垂足为E，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐一判
断各个选项即可.
【详解】过A作 ，垂足为E，则 ，
以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ，
因为 ，
所以直线CM与AD所成角的余弦值为 ，故A正确；
因为 ，所以B正确；
因为 ，
所以BM与PC不垂直，故C不正确；
设点M到直线BC的距离为d，则 ，
即点M到直线BC的距离为 ，故D正确．
故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知空间向量 ， ，（其中 、 ），如果存在实数 ，使得
成立，则 _____________.
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算得出关于 、 、 的方程组，解出即可得出 的值.
【详解】 ， ，且 ，所以 ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14．若 ，若 与 的夹角是锐角，则 的值的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据空间向量 与 的夹角是锐角可得 且 与 不同向共线，结合数量积的坐标表示计算
即可求解.
【详解】因为 与 的夹角是锐角，所以 ，
即 ，解得 ，
若 与 的夹角为 ，则存在 ，使 ，
即 ，所以 ，解得 .
故t的取值范围是 .故答案为： .
15．如图：正三棱锥 中， 分别在棱 上， ，且 ，则
的余弦值为___________.
【答案】
【分析】设 ,由 可得 ，又 ，得
，利用数量积的运算律可得 .
【详解】正三棱锥 中，设 , 且侧棱长相等，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，即 的余弦值为 .
故答案为：
16．如图，在棱长为1的正方体 中，E为线段 的中点，则点C到平面 的距离等于_____.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，设平面 的一个法向量为 ，
，即 ，取 ，又 ，
所以点 到面 的距离 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝AA＝2，AD＝4，E为侧面AB 的中心，F为AD 的中点，试
1 1 1 1 1 1 1 1
计算：(1)
(2)
【答案】(1)16；(2)0
【分析】建立空间直角坐标系，得出点的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计
算可得所求向量的数量积．
【详解】（1）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
（2） .
18．如图所示，已知斜三棱柱 ，点 、 分别在 和 上，且满足 ，
.(1)用向量 和 表示向量 ；
(2)向量 是否与向量 ， 共面？
【答案】(1) ；(2)是.
【分析】（1）利用向量的线性运算得出 和 ，进而由
，得到向量 与向量 和 的关系；
（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ .
（2）解：由（1）可知， ，
∴向量 与向量 ， 共面.
19．已知空间向量 与 夹角的余弦值为 ，且 ， ，令mab ， ．
(1)求 ， 为邻边的平行四边形的面积S；
(2)求 ， 夹角的余弦值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用 算出答案即可；（2）分别求出 、 、 的值即可.
【详解】（1）根据条件， ，∴ ；
∴ ；
（2）
；
，
；
∴ .
20．如图，在多面体 中，四边形 是梯形，四边形 为矩形， 面 ，
， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)点 为线段 的中点，求证 面 ．
【分析】（1）建立空间坐标系 ，由线面垂直的判定定理可证 面 ，可知 为面 的
法向量，又 ，根据线面平行的判定定理即可证明结果；
（2）由（1）可知 ， ，可证 ， ，再根据线面垂直的判定定理即可证明结果.
【详解】（1）证明：如图，建立空间坐标系 ，则 ， ， ， ，
，
面 ， ，且 ，
又 ，
面 ， 为面 的法向量，
， ，
又 平面 ，
平面 ．
（2）证明：由（1）可知 ， ， ， ，
， ，
，
又 ，
面 ．
21．如图，四棱锥 中，底面 是菱形， 底面 ， ，M为 的中点，且
平面 平面 .(1)证明： ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）过 做 ，由面面垂直性质定理可得 平面 ，即 ，由 底面
，可得 ，再根据线面垂直判定定理可得 平面 ，进而得 ；
（2）由（1）结论建立合适的空间直角坐标系，假设 ，根据长度角度关系，找出各个点的坐标，分
别求得平面 和平面 的法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角大小的余弦值的绝
对值，进而求出其正弦值即可.
【详解】（1）解：因为 底面 ，所以 ，
在平面 内过 做 ，垂足为 ，如图所示：
因为平面 平面 ，交线为 ，
且有 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，从而 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，于是 ；
（2）以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向，在平面 中，过 做平行于 的直线为 轴，记 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为底面 是菱形，且M为 的中点，所以 ，
由（1）知 ，所以 ，所以 ，
又有 ，故可得 ， ， ，
，于是 ， ， ，
设 为平面 的法向量，则 ，
即 ，取 ，可得 ；
设 为平面 的法向量，则 ，
即 ，取 ，可得 ，
因为
，所以二面角 的正弦值为 .
22．如图，在四棱锥 中，△PAD为等边三角形， ，平面 平面ABCD．
(1)证明： 平面PAD；
(2)若 ， ， ，求直线BD与平面PAB所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1） 的中点为 ，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定推理作答.
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.
【详解】（1）在四棱锥 中，设 的中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形，则
，
又平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
于是 平面 ，而 平面 ，则 ，又 平面 ，
所以 平面 .
（2）连接 ，由（1）知, 平面 ， 平面 ，
则 ，又 ，即有 ，因此四边形 为矩形，
即 ，则有 ，
设 ，设 的中点为 平面 ，则 ，
在等边三角形 中， 为 的中点，有 , 平面 ，因此 平面
，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
，点 ，
，设直线 与平面 所成角为 ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
