当前位置：首页>文档>第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）
第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

2026-06-23 03:00:54 2026-06-23 03:00:54
文档预览

第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）
文档信息

文档格式
pdf
文档大小
3.506 MB
文档页数
56 页
上传时间
2026-06-23 03:00:54
下载文档
文档内容

                            第92讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
知识梳理
知识点一．两点分布
1、若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X 0 1
P 1-p p
其中00，P(μ-a0，
k
所以 fp  在 p∈0,1  上单调递增 ，
故p越小，fp  越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
ii  记gk  =1-1-p 
1 1
k+ =1-0.9k+
k k
当gk  <1且取最小值时，该方案最合理，
因为g1  =1.1,g2  =0.69，g3  ≈0.604,g4  ≈0.594，g5  ≈0.61
所以k=4时平均检验次数最少，约为1000×0.594=594 次．
5100 (2024·全国·高三专题练习)某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意
外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险
公司把该单位的所有岗位分为A，B，C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图
所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
工种类别 A B C
1 2 1
赔付概率
105 105 104
第 页 共 页
3296 3427对于A，B，C三类工种，职工每人每年保费分别为a元、a元、b元，出险后的赔偿金额分
别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20
万元.
(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的15%，证明：153a+17b≥4200.
(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意
外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工
作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，a=25，b=60，单位负责职
工保费的80%，职工个人负责20%，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.
根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
【解析】(1)设工种A，B，C对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X，
Y，Z(单位：元)，则X，Y，Z的分布列分别为
X a a-100×104
1 1
P 1-
105 105
Y a a-100×104
2 2
P 1-
105 105
Z b b-50×104
1 1
P 1-
104 104
1
E(X)=a×1-
105
 +a-100×104 
1
× =a-10，
105
2
E(Y)=a×1-
105
 +a-100×104 
2
× =a-20，
105
1
E(Z)=b×1-
104
 +b-50×104 
1
× =b-50.
104
所以(a-10)×50000×0.6+(a-20)×50000×0.3+(b-50)×50000×0.1-20×104
≥(a×50000×0.6+a×50000×0.3+b×50000×0.1)×0.15，
整理得153a+17b≥4200.
(2)方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为
第 页 共 页
3297 34271 2 1
30000×100×104× +15000×100×104× +5000×50×104× +35×104=
105 105 104
1.2×106(元).
方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为
(30000×25+15000×25+5000×60)×0.8=1.14×106(元).
因为1.2×106>1.14×106，所以建议单位选择方案二.
5101 (2024·全国·高三专题练习)为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对
各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为
上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专
家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业
论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家(不同于前3位)
进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”，将认
定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为p00，gp 
1
在0,
3
 上单调递增，
1
当p∈ ,1
3
 时，gp  <0，gp 
1
在 ,1
3
 上单调递减，
∴gp 
1
的最大值为g
3

4
= ，∴每篇论文平均评审费用的最大值是130元.
27
2 题型二：n次独立重复试验
5102 (2024·全国·高三专题练习)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教
育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，
三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进
行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如
下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的
队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜
的概率均为p(00，fp 
3
在0,
4
 上单调递增；
3
当p∈ ,1
4
 时，fp  <0，fp 
3
在 ,1
4
 上单调递减.
所以fp 
3
的最大值点p = . 0 4
5103 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满
5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为p(00；当p∈ ,
3 5
 时，f(p)<0，
1
∴f(p)在0,
3

1 2
上单调递增，在 ,
3 5
 上单调递减，
1 1
∴当p= 时，f(p)有最大值，即f(p)的最大值点p = ；
3 0 3
(2)由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ，则ξ的可能值为-300,50,100,150，
p(ξ=-300)=(1-p)3;p(ξ=50)=C1p(1-p)2，
3
p(ξ=100)=C2p2(1-p);p(ξ=150)=p3，
3
所以Eξ  =-300(1-p)3+50C1p(1-p)2+100C2p2(1-p)+150p3= 3 3
7
300p3-3p2+ p-1
2
 ，
7 7 1
令g(p)=p3-3p2+ p-1，则g(p)=3p2-6p+ =3(p-1)2+ >0，
2 2 2
2
所以g(p)在0,
5
 单调递增；
2
∴g(p)0，
2 1
即p3 6p2-15p+10

-p2(3-2p)=p2 6p3-15p2+10p-3+2p

=3p2 2p3-5p2+4p-1

=3p2(p-1)2p2-3p+1

=3p2(p-1)2(2p-1)>0，
1
解得 0，
2 1
即p3 6p2-15p+10

-p2(3-2p)=p2 6p3-15p2+10p-3+2p

=3p2 2p3-5p2+4p-1

=3p2(p-1)2p2-3p+1

=3p2(p-1)2(2p-1)>0，
1
解得 0，函数f(p)单调递增，
3
当p∈ ，1
5
 时，f(p)<0，函数f(p)单调递减，
3 3 所以当p= 时，f(p)取得最大值，最大值为f
5 5
 3 =C3×
5 5
 3 3 ×1-
5
 2 216 = .
625
4n 3
此时p= = ，n≥2，且n∈N*，解得n=3，
n2+3n+2 5
216
∴当n=3时，抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为 .
625
【解题方法总结】
(1)在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概
率．
(2)运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独
立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求n次独立重复试验中事件恰好发
生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
(3)解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均
为独立重复试验．
3 题型三：二项分布
1
5109 (2024·福建莆田·高三校考开学考试)已知随机变量ξ服从二项分布ξ∼B4,
3
 ，则
第 页 共 页
3302 3427Pξ=2  = .
8
【答案】
27
1
【解析】∵ξ∼B4,
3

1
表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 ，
3
∴Pξ=2  1 =C2× 4 3  2 2 × 3  2 8 = ， 27
8
故答案为：
27
5110 (2024·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试)设随机变量X~B(n,p)，记p =Ckpk
k n
(1-p)n-k，k=0,1,2,⋅⋅⋅,n．在研究p 的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结
k
论：若(n+1)p为正整数，当k=(n+1)p时，p =p ，此时这两项概率均为最大值；若(n
k k-1
+1)p不为正整数，则当且仅当k取(n+1)p的整数部分时，p 取最大值．某同学重复投
k
掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时
点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出
现的次数为 的概率最大．
【答案】17
1
【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数X服从二项分布X~B80,
6
 ，
1 81
由k=(n+1)p=81× = =13.5，结合题中结论可知，k=13时概率最大，即后面
6 6
80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的4次，所以出现17次的概率最大.
故答案为：17.
5111 (2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试)设随机变量ξ∼B2,p  ，若Pξ≥1 
5
= ，则p
9
的值为 .
1
【答案】
3
【解析】Pξ≥1  =1-Pξ=0  =1-1-p 
5
2= ⇒1-p
9

4
2= ，由于1>p>0，
9
1
所以p= ，
3
1
故答案为：
3
5112 (2024·全国·高三对口高考)假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率
为1-p00，
1 2
即pp-1  2 3p-2  >0.
第 页 共 页
3303 34272
因为0EY  ，所以甲获胜的可能性大
5116 (2024·浙江·高三校联考阶段练习)艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测
试者在隔开的情况下，通过一些装置(如键盘)向被测试者随意提问．已知在某一轮图灵
测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器(记为A)和一个人(记为B)各
第 页 共 页
3305 3427提出一个问题，并根据机器A和人的作答来判断谁是机器，若机器A能让至少一半的测
试者产生误判，则机器A通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，且甲、
乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有60%的可能性会向A和B问同一个
题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器A被误判的可能性为10%，当同一名
测试者提的两个问题不相同时，机器A被误判的可能性为35%．
(1)当回答一名测试者的问题时，求机器A被误判的概率；
(2)按现有设置程序，求机器A通过本轮图灵测试的概率．
【解析】(1)用M表示事件“测试者提出的两个问题相同”，N表示事件“测试者对机器产
生误判”，则
PN  =PNM 

+PNM  =PM  PNM 

+PM 

PNM  =0.6×0.1+(1-0.6)×
0.35=0.2．
(2)设X为4名测试者中产生误判的人数，由(1)可知，X~B(4,0.2)，
若机器通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，所以机器A通过图
灵测试的概率
P=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C0×0.20×(1-0.2)4-C1×0.2×(1-0.2)3=
4 4
0.1808．
5117 (2024·广西玉林·高三校联考开学考试)某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试
生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第
四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过
1
前三道工序后的次品率为 .第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动
20
淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.
已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检
时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为EX  ，方差为DX  ，则对任意ε>0，
均有P X-EX     ≥ε 
DX
≤

.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为
ε2
80%，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果
相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的
宣传内容是否真实可信.
【解析】(1)设批次I的血液试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
由已知得PA 
98
= ,PAB
100

1 19
=1- = ，
20 20
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率为
PB|A 
PAB
=

PA 
19 100 95
= × = .
20 98 98
(2)设100份血液样本中检测有效的份数为X，假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内
容是客观真实的，那么在此假设下，X∼B100,0.8  ，
第 页 共 页
3306 3427EX  =100×0.8=80,DX  =100×0.8×1-0.8  =16，
由切比雪夫不等式，有PX≤60  ≤P X-80   ≥20 
DX
≤

=0.04，
202
即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率
很小，
据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.
5118 (2024·全国·高三专题练习)袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次
取1个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列、数学期望和方差；
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列、数学期望和方差.
【解析】(1)有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0 , 1 , 2 , 3.又由
1
于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X∼B3,
5
 .
∴PX=0  1 =C0 3 5  0 4 × 5  3 64 = ；PX=1 125  1 =C1 3 5  1 4 × 5  2 48 = ；PX=2 125  =
1 C2
3 5
 2 4 ×
5
 1 12 = ；
125
PX=3  1 =C3 3 5  3 4 × 5  0 1 = . 125
因此，X的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
EX 
3 9
=3× = ,DX
5 5

3 2 18
=3× × = .
5 5 25
(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0 , 1 , 2，且有：
PY=0 
C0C3 7
= 2 8 = ；PY=1
C3 15
10

C1C2 7
= 2 8 = ；PY=2
C3 15
10

C2C1 1
= 2 8 = .
C3 15
10
因此，Y的分布列为
Y 0 1 2
7 7 1
P
15 15 15
EY 
7 7 1 3
=0× +1× +2× = ,DX
15 15 15 5

3
=0-
5

2 7 3
× +1-
15 5

2 7
× +
15
3
2-
5

2 1 28
× = .
15 75
5119 (2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)第四届应急管理普法知识竞赛线
上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知
识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩(满分100分)，
其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分
布直方图.
第 页 共 页
3307 3427(1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；
(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为ξ，用频率估
计概率，请你写出ξ的分布列.
【解析】(1)由频率分布直方图可知，(0.004+0.006+2a+0.028+0.018)×10=1，
解得a=0.022，成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，
则“普法王者”的频率为(0.022+0.018)×10=0.4，
则该校参赛人数达20000人中“普法王者”人数为0.4×20000=8000.
(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为ξ，
则ξ的取值为0，1，2，3，
2 3
由(1)知，从中任取一人是“普法王者”的概率为 ，不是“普法王者”的概率为 ，
5 5
则Pξ=0  3 =C0 3 5  3 27 = ，Pξ=1 125  3 =C1 3 5  2 2  5  54 = ， 125
Pξ=2  3 =C2 3 5  2  5  2 36 = ，Pξ=3 125  2 =C3 3 5  3 8 = ； 125
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
5120 (2024·四川攀枝花·统考三模)某企业从生产的一批产品中抽取100个作为样本，测量这
些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x(同一组数据用该区间的中点值作代表)和
中位数；
(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于
15,25  内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列和数学期望．

【解析】(1)由已知得x=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×
0.020×10=25．
因为0.15+0.4>0.5．设中位数为x，则x∈15,25  ，
则0.015×10+0.04×x-15  =0.5，解得x=23.75．
第 页 共 页
3308 3427(2)因为购买一件产品，其质量指标值位于15,25 
2 2
内的概率为 ，所X∼B3,
5 5
 ，
PX=0  2 =1- 5  3 27 = ，PX=1 125  2 2 =C1× ×1- 3 5 5  2 54 = ， 125
PX=2  2 =C2× 3 5  2 2 ×1- 5  36 = ，PX=3 125  2 = 5  3 8 = ， 125
所以X的分布为
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
所以，EX 
2 6
=3× = ．
5 5
【解题方法总结】
1、二项分布求解随机变量涉及“至少“”至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范
围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的
一般思路是：
(1)根据题意设出随机变量；
(2)分析出随机变量服从二项分布；
(3)找到参数n，p；
(4)写出二项分布的分布列；
(5)将k值代入求解概率．
4 题型四：超几何分布
5121 (2024·全国·高三对口高考)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给
商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产
品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都
进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率
是 ．
27
【答案】
95
【解析】依题意，这20件产品中有20-3=17件合格品，
C2 136 68
所以该商家接收这批产品的概率为P= 17 = = ，
C2 190 95
20
68 27
故商家拒收这批产品的概率为1-P=1- = .
95 95
27
故答案为： .
95
5122 (2024·山东枣庄·统考二模)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个
白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．
当PX=k  最大时，EX  +k= ．
4
【答案】17
5
【解析】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
PX=k 
CkC22-k
= 40 60 ，k=0，1，2...22，
C22
100
第 页 共 页
3309 3427PX=k  最大时，即CkC22-k最大， 40 60
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设a s =PX=s 
CsCm-s
= k n-k Cm
n
a Cs+1Cm-s-1 Cm
则 s+1 = k n-k ⋅ n
a Cm CsCm-s
s n k n-k
k!
s+1
=
 !k-s-1  !
k!
s!k-s 
n-k
⋅
!
 !
m-s-1  !n-k-m+s+1  !
n-k  !
m-s  !n-k-m+s  !
k-s
=
 m-s 
s+1  n-k-m+s+1 
k-s
令
 m-s 
s+1  n-k-m+s+1 
>1
⇒k-s  m-s  >s+1  n-k-m+s+1 
⇒s2-k+m  s+km>s2+2+n-k-m  s+1+n-k-m
⇒km>n+2  s+1+n-m-k 
⇒km+m+k  +1>n+2  s+1+n  +1
k+1
⇒s<
 m+1 
-1
n+2
k+1
故当s≤
 m+1 
时，PX=s
n+2
 严格增加，
k+1
当s≥
 m+1 
-1时，PX=s
n+2
 严格下降，
即k=9时取最大值，
此题中n=100，m=22，k=40，s=k，
根据超几何分布的期望公式可得EX 
k×m 40×22
= = =8.8，
n 100
EX  +k=8.8+9=17.8
故答案为：17.8
5123 (2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是
世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参
观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟
九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫
情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个
进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ．
1
【答案】 /0.5
2
【解析】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最
值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.
C2C2+C3C1 1
所求概率为P= 3 5 3 5 = .
C4 2
8
1
故答案为： .
2
5124 (2024·高三课时练习)袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意
第 页 共 页
3310 34277
摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的
9
个数为X，则E(X)= ．
3
【答案】 /1.5
2
【解析】设袋中有m个黑球，则白球有10-m，
C2 mm-1
由题意可得： m =
C2
10
 7
=1- ，解得m=5或m=-4(舍去)，
90 9
故X的可能取值有0,1,2,3，则有：
PX=0 
C3 1
= 5 = ,PX=1
C3 12
10

C2C1 5
= 5 5 = ,PX=2
C3 12
10

C1C2 5
= 5 5 = ,PX=3
C3 12
10

C3
= 5
C3
10
1
= ，
12
可得X的分布列为：
X 0 1 2 3
1 5 5 1
P
12 12 12 12
故EX 
1 5 5 1 3
=0× +1× +2× +3× = .
12 12 12 12 2
3
故答案为： .
2
5125 (2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测)某乒乓球队训练教官为了检验学员某
项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按60,65  ,
65,70  ,70,75  ,75,80  ,80,85  ,85,90  ,90,95  ,95,100  分成8组，得到如图所示的频
率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1)；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在70,75  和85,90  内的学员中随机抽取12名，
再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在70,75 
内的学员人数为X，求X的分布列与数学期望．
【解析】(1)由直方图可知0.008+0.016+0.020+a+0.044+0.040+0.028+0.008  ×5
=1，
解得a=0.036．
因为0.008+0.016+0.02+0.036  ×5=0.4<0.5，
0.008+0.016+0.02+0.036+0.044  ×5=0.62>0.5，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在80,85  内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为m，则m-80  ×0.044+0.4=0.5，
第 页 共 页
3311 3427解得m≈82.3．
(2)由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在70,75  内的有4名，在
85,90  内的有8名．
由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4．
PX=0 
C5 7
= 8 = ，PX=1
C5 99
12

C4C1 35
= 8 4 = ，
C5 99
12
PX=2 
C3C2 14
= 8 4 = ，PX=3
C5 33
12

C2C3 14
= 8 4 = ，
C5 99
12
PX=4 
C1C4 1
= 8 4 = ，
C5 99
12
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
7 35 14 14 1
P
99 99 33 99 99
EX 
7 35 14 14 1 5
=0× +1× +2× +3× +4× = .
99 99 33 99 99 3
5126 (2024·湖南益阳·高三统考阶段练习)某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之
前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记ξ表示抽到一等品的箱数，求ξ的分布列和期望.
【解析】(1)设从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品的事件为A，
则PA 
C2C1+C3C0 10×4+10×1 25
= 5 4 5 4 = = ，
C3 84 42
9
25
因此从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率为 .
42
(2)由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，由超几何分布概率公式得
Pξ=0 
C3C0 4 1
= 4 5 = = ，Pξ=1
C3 84 21
9

C2C1 30 5
= 4 5 = = ，Pξ=2
C3 84 14
9

C1C2 40
= 4 5 = =
C3 84
9
10
，Pξ=3
21

C0C3 10 5
= 4 5 = = ，
C3 84 42
9
所以ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
Pξ 
1 5 10 5
21 14 21 42
所以Eξ 
1 5 10 5 5
= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= .
21 14 21 42 3
5127 (2024·陕西·高三校联考阶段练习)人工智能(AI)是当今科技领域最热门的话题之一，某
学校组织学生参加以人工智能(AI)为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中
的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450~950分之
间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于850分的
学生称为“最佳选手”．
第 页 共 页
3312 3427(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从分数落在650,750  ，850,950  内的两组学生中抽取7人，
再从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变
量X，求X的分布列及数学期望．
【解析】(1)由题意知100×0.0010×2+0.0035+a+0.0020  =1，
解得a=0.0025，
分数段450,550  对应的频率为0.1，550,650  对应的频率为0.35，650,750  对应的频
率为0.25，
设中位数为x，则x∈650,750  ．
由0.1+0.35+x-650  ×0.0025=0.5，解得x=670．
(2)由题意知从分数段650,750  对应的学生中抽取5人，
从850,950  对应的学生中抽取2人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
则PX=0 
C0C3 2
= 2 5 = ，
C3 7
7
PX=1 
C1C2 4
= 2 5 = ，
C3 7
7
PX=2 
C2C1 1
= 2 5 = ，
C3 7
7
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
2 4 1
P
7 7 7
所以EX 
2 4 1 6
=0× +1× +2× = ．
7 7 7 7
5128 (2024·河北衡水·河北衡水中学校考一模)温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护
结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季
节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性
能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品
卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质
量等级划定如表所示.
环境质 土壤各单项或综合 灌溉水各单项或综合 环境空气各单项或综 等级
量等级 质量指数 质量指数 合质量指数 名称
1 ≤0.7 ≤0.5 ≤0.6 清洁
第 页 共 页
3313 3427尚清
2 0.7∼1.0 0.5∼1.0 0.6∼1.0
洁
3 >1.0 >1.0 >1.0 超标
各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，
若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地
下水、地表水、大气等)有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、
戊、已、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到
的相关数据如下：
(1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概
率；
(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环
境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望.
【解析】(1)由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共4个，
从8个村中随机抽取2个进行调查，基本事件总数有C2=28个；
8
其中抽取的2个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有C2=6个，
4
6 3
∴所求概率p= = .
28 14
(2)由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有5个，则ξ所有可能的取值为0,1,2,
3，
∵Pξ=0 
C3 1
= 3 = ；Pξ=1
C3 56
8

C2C1 15
= 3 5 = ；Pξ=2
C3 56
8

C1C2 30 15
= 3 5 = = ；Pξ=3
C3 56 28
8

C3 10 5
= 5 = = ；
C3 56 28
8
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
1 15 15 5
P
56 56 28 28
∴数学期望Eξ 
1 15 15 5 15
=0× +1× +2× +3× = .
56 56 28 28 8
【解题方法总结】
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)
随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第 页 共 页
3314 3427(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
(3)列出分布列．
5 题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
5129 (2024·全国·高三专题练习)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费
每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方
案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖
盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸
出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方
案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有
放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优
惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件A，则PA 
C2C1 1
= 2 1 = ，
C3 120
10
所以两位顾客均享受到免单的概率为P=PA  ⋅PA 
1
= ；
14400
(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1000.
PX=0 
C2C1 1
= 2 1 = ，PX=500
C3 120
10

C2C1 7
= 2 7 = ，
C3 120
10
PX=700 
C1C2 7
= 1 7 = ，PX=1000
C3 40
10

1 7 7 91
=1- - - = .
120 120 40 120
故X的分布列为，
X 0 500 700 1000
1 7 7 91
P
120 120 40 120
所以EX 
1 7 7 91
=0× +500× +700× +1000× =910(元).
120 120 40 120
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，
3
由已知可得Y~B3,
10
 ，故EY 
3 9
=3× = ，
10 10
所以EZ  =E1000-200Y  =1000-200EY  =820(元).
因为EX  >EZ  ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
5130 (2024·全国·高三专题练习)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了
解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线
调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成0,2  ，
2,4  ，4,6  ，6,8  ，8,10  ，10,12  ，12,14  ，14,16  ，16,18  九组，绘制成如图所示的
频率分布直方图．
第 页 共 页
3315 3427(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在10,12  内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日
平均阅读时间在12,14  ，14,16  ，16,18  三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了
10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在14,16  内的学生人数为X，求
X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用Pk  表示
这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在8,12  内的概率，其中k=0，1，2，⋯，
10．当Pk  最大时，写出k的值．(只需写出结论)
【解析】(1)由频率分布直方图得：
2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1，
解得a=0.10，0.10×2=0.20，所以日平均阅读时间在10,12  内的概率为0.20；
(2)由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别
为：500×0.10=50人，500×0.08=40人，500×0.02=10人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
40
则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取： ×10=4人，
50+40+10
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
C3 20 1
P(X=0)= 6 = = ，
C3 120 6
10
C1C2 60 1
P(X=1)= 4 6 = = ，
C3 120 2
10
C2C1 36 3
P(X=2)= 4 6 = = ，
C3 120 10
10
C3 4 1
P(X=3)= 4 = = ，
C3 120 30
10
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
数学期望EX 
1 3 1 6
=1× +2× +3× = .
2 10 30 5
(3)k=5，理由如下：
第 页 共 页
3316 3427由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在8,12  内的概率为0.50，从该地区所有高一
学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在8,12  内的分布列服从二项
1 分布X∼B(10,0.50)，P(k)=Ck 
10 2
 k 1 1-
2
 10-k =Ck  1
10 2
 10 ，由组合数的性质可得k=5
时Pk  最大.
5131 (2024·全国·镇海中学校联考模拟预测)某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位
女生、12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机
选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期
望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有
kk=1,2,⋯,30  个男生的概率为Pk  ，求使得Pk  取得最大值的k的值.
【解析】(1)X所有可能的取值为0,1,2,3，且X~B3,0.8  .
PX=0  =C0×(1-0.8)3=0.008； 3
PX=1  =C1×0.81×(1-0.8)2=0.096； 3
PX=2  =C2×0.82×(1-0.8)1=0.384； 3
PX=3  =C3×0.83=0.512. 3
故X的分布列为
X 0 1 2 3
0.00 0.09 0.38
P 0.512
8 6 4
所以EX  =3×0.8=2.4.
(2)设事件A为“被选出的人中恰好有k位男生”，
则30个人中剩下30-k  个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为CkC30-k， 30 42
所以Pk 
CkC30-k 30!42! 1
= 30 42 = ⋅
C30 C30 k!30-k
72 72
 !30-k  !k+12 
.
!
Pk+1
所以

Pk 
(30-k)2
=
k+1  k+13 
887
>1，解得k< .
74
所以P12  >P11  >P10  ⋯,P12  >P13  >P14  >⋯，
故当k=12时，Pk  最大.
5132 (2024·福建福州·福州三中校考模拟预测)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该
市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名
学生的竞赛成绩(单位：分)，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.
第 页 共 页
3317 3427(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；(结果保留整数)
(2)从竞赛成绩在40,50  ,50,60  的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现
从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在40,50  的学生人数为X，求X的分布列和数学
期望EX  ；
(3)以样本的频率估计概率，从30,50  随机抽取20名学生，用Pk  表示这20名学生中
恰有k名学生竞赛成绩在30,40  内的概率，其中k=0,1,2,⋯,20．当Pk  最大时，求k.
【解析】(1)由直方图可知成绩在30,40  ，40,50  ，50,60  ，60,70  的频率和为0.06+
0.12+0.18+0.34=0.7>0.5，而成绩在60,70  的频率为0.34，
则抽取的100名学生成绩的中位数在60,70  内，设中位数为x，则0.36+x-60  ×
0.034=0.5，
解得x=64.118≈64，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为64；
(2)由频率分布直方图可得：竞赛成绩在40,50  ，50,60  两组的频率之比为0.12:0.18=
2:3，
则10人中竞赛成绩在40,50 
4
的人数为10× =4人；在50,60
10

6
的人数为10× =
10
6人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
于是PX=0 
C3 20 1
= 6 = = ，PX=1
C3 120 6
10

C2C1 60 1
= 6 4 = = ，
C3 120 2
10
PX=2 
C1C2 36 3
= 6 4 = = ，PX=4
C3 120 10
10

C3 4 1
= 4 = = ，
C3 120 30
10
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
数学期望为EX 
1 1 3 1 6
=0× +1× +2× +3× = ；
6 2 10 30 5
(3)用频率估计概率，竞赛成绩在30,40 
0.06 1
内的概率P= = ，
0.06+0.12 3
则Pk  =Ck 20 Pk 1-P  1 20-k=Ck × 20 3  k 2 × 3  20-k = Ck 20 220-k ， 320
Pk+1 
Pk 
Ck+1219-k 20!
20
320 1 k+1
= = ×
Ck220-k 2
20
320
 !19-k  !
20!
k!20-k 
1 20-k 1 21
= × = -1+
2 k+1 2 k+1
!
 ．
Pk+1
令

Pk 
1 21
= -1+
2 k+1
 ≥1，解得k≤6，
当且仅当k=6时取等号，即P(6)=P(7)，
当k<6,k∈N时，P(k+1)>P(k)，当k>6,k∈N,k≤20时，P(k+1)1  ，则Fx  的图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】Fx  =P X-2x   >1 
Y
=P(X>2x+1或X<2x-1)，因为X=1- ，
2
所以Fx 
Y Y
=P(1- >2x+1或1- <2x-1)，即Fx
2 2
 =P(Y<-4x或Y>4-
4x)，
F1-x  =P[Y<-41-x  或Y>4-41-x  ]=P(Y<-4+4x或Y>4x)
因为Y服从标准正态分布，所以根据对称性可知Fx  =F1-x  ，所以函数Fx  关于x
1
= 对称，故排除AC；
2
1 1
当x= 时，F
2 2
 =P X-1   >1 
Y 1
，X=1- ，所以F
2 2
 =P X-1   >1  =
Y
P 
2
  >1  =P(Y>2或Y<-2),因为Y∼N0,1  ，其中μ=0,σ=1，-2=μ-2σ，2=
1
μ+2σ，根据3σ原则可知，F
2
 =1-0.9545=0.0455，所以排除B；
故选：D
第 页 共 页
3321 34275136 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量X的正态分布密度函数为fx 
1 -x+3
= ⋅e
2 π
 2
4 ，
x∈-∞,+∞  ，则参数μ，σ的值分别是 ( )
A. μ=3，σ=2 B. μ=-3，σ=2 C. μ=3，σ= 2 D. μ=-3，σ= 2
【答案】D
【解析】由正态分布密度函数表达式知μ=-3，σ= 2.
故选：D.
5137 (2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考开学考试)某市期末教学质量检测，
甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是
( )
A.甲学科总体的均值最小 B.乙学科总体的方差及均值都居中
C.丙学科总体的方差最大 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同
【答案】C
【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等由正态密度曲线的性质,可知σ
越大,正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为
甲、乙、丙.
故选:C.
5138 (2024·全国·高三专题练习)已知连续型随机变量X~N(u，σ2)(i=1，2，3)，其正态曲线
i i i
如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A.P(X ≤μ )P(X ≥μ )
2 2 3 3
C.P(X ≤μ )P(X ≤μ)，故A错误；
1 2 2 1
1 1
对于B：P(X ≥μ )= ，P(X ≥μ )= ，则P(X ≥μ )=P(X ≥μ )，故B错误；
2 2 2 3 3 2 2 2 3 3
对于C：与A分析同理，P(X ≤μ )>P(X ≤μ )，故C错误；
1 2 2 3
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi -2σi ≤Xi ≤μi +2σi )(i=1，2)成立，故
+1 +1 +1 +1 +1
D正确.
故选：D.
5139 (2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试)某物理量的测量结果服从正态
分布N10,σ2  ，下列结论中不正确的是 ( )
A.σ越大，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(9.8,10.1)的概率相等
【答案】A
【解析】σ2为数据的方差，所以σ越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在(9.9,
10.1)内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于
9.99的概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(9.8,
10.1)的概率相等，故D正确.
故选：A.
【解题方法总结】
求正态曲线的两个方法
1
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为 ．
2πσ
(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
7 题型七：正态曲线的性质
5140 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)若随机变量X∼N10,22  ，则下列选项错
误的是 ( )
A.PX≥10  =0.5 B.PX≤8  +PX≤12  =1
C.P8≤X≤12  =2P8≤X≤10  D.D2X+1  =8
【答案】D
【解析】根据随机变量X∼N10,22  可知正态分布曲线的对称轴为X=10，均值为2，方
差为4，
所以PX≥10  =0.5，故A正确，PX≤8  +PX≤12  =PX≥12  +PX≤12  =1，
第 页 共 页
3323 3427故B正确，
P8≤X≤12  =2P8≤X≤10  ，C正确，
D2X+1  =4DX  =16，故D错误，
故选：D
5141 (2024·湖北荆州·高三石首市第一中学校考阶段练习)某校高二年级1600名学生参加期
末统考，已知数学成绩X∼N100,σ2  (满分150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分
3
到120分之间的人数约为总人数的 ．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数
4
约为 ( )
A.80 B.100 C.120 D.200
【答案】D
【解析】由题意可知：成绩X∼N100,σ2  ，则其正态曲线关于直线x=100对称，
3
又因为成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的 ，
4
1 3
由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的 ×1-
2 4

1
= ，
8
1
所以此次考试成绩不低于120分的学生约有： ×1600=200人．
8
故选：D．
5142 (2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)随机变量X服从正态分布X∼
N10,σ2  ,P(X>12)=m,P8≤X≤10 
1 1
=n，则 + 的最小值为 ( )
2m n
A.3+4 2 B.6+2 2 C.6+4 2 D.3+2 2
【答案】D
【解析】由随机变量X服从正态分布X∼N10,σ2  ，其正态分布分布曲线的对称轴为直
线x=10，
则PX>12  =PX<8  ，P8≤X≤10  =P10≤X≤12  ，
2×PX>12  +2×P8≤X≤10  =2m+2n=1，且m>0，n>0，
1 1
所以 + =2m+2n
2m n

1 1
 +
2m n

n 2m
= + +3≥2 2+3，
m n
n 2m
当且仅当 = ，即n= 2m时，取等号.
m n
故选：D.
5143 (2024·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习)南沿江高铁即将开通，某小区居民前
往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时
间(单位为分钟)服从正态分布N50,100  ；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路
程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间(单位为分钟)服从正态分布N60,16  .该小区的
甲乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选
择的路线分别为 ( )
A.①、① B.①、② C.②、① D.②、②
【答案】C
【解析】由正态分布的区间概率知Pμ-σ≤X≤μ+σ  ≈0.683，
Pμ-2σ≤X≤μ+2σ  ≈0.954，
令路线①所需时间X 1 ∼Nμ 1 ,σ 1  ，路线②所需时间X 2 ∼Nμ 2 ,σ 2 
第 页 共 页
3324 3427对于甲：有70分钟可走，
走第一条路线：故PX 1 ≤70  =PX 1 ≤μ 1 +2σ 1 
1-0.954
=1- =0.977， 2
走第二条路线：则PX 2 ≤68  =PX 2 ≤μ 2 +2σ 2 
1-0.954
=1- =0.977， 2
所以PX 2 ≤70  >PX 2 ≤68  ，所以应选择路线②；
对于乙：有64分钟可走，
走第二条路线：PX 2 ≤64  =PX 2 ≤μ 2 +σ 2 
1-0.683
=1- =0.8415 2
走第一条路线：则PX 1 ≤60  =PX 1 ≤μ 1 +σ 1 
1-0.683
=1- =0.8415， 2
所以PX 1 ≤60  m+1)>P(Xm+1)=P(XP(XP(m+1P X 2 -μ 2   <1 
C.P X 1 -μ 1 
1
 < 2  P X 2 -μ 2 
1
 < 3 
【答案】A
1
【解析】由题设可知，X 服从均值为μ ，标准差σ = 的正态分布，X 服从均值为μ ，标
1 1 1 2 2 2
1
准差σ = 的正态分布.
2 3
事件“X-μ  1，
x-44
!45!
1104
所以，x< =52.5，所以f53
21
 >f52  .
fx 
fx-1 
x!
C45⋅0.8445⋅0.16x-45 x-45
= x =0.16⋅
C45 ⋅0.8445⋅0.16x-46
x-1
 !45!
x-1  !
x-46 
x
=0.16⋅ <1，
x-45
!45!
375 4
所以，x> =53+ ，所以f53
7 7
 >f54  .
所以，以使得PK=45  最大的N值作为N的估计值，则N为53.
第 页 共 页
3327 3427故选：B.
5152 (2024·全国·高三专题练习)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一
家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是
1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望
为1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包
的质量为X，若X~Nμ,σ2  ，则买一个面包的质量大于900g的概率为 ( )
(附：①随机变量η服从正态分布Nμ,σ2  ，则(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ≤η
≤μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.9973；)
A.0.84135 B.0.97225 C.0.97725 D.0.99865
【答案】C
【解析】由题意得900=1000-50×2，
1-P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)
故面包的质量大于900g的概率为1- =0.97725.
2
故选：C
5153 (2024·全国·高三专题练习)某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分
布N(300,100)，则用电量在320度以上的居民户数估计约为( )(参考数据：若随机变量
ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈
0.9545，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973)
A.17 B.23 C.34 D.46
【答案】B
【解析】若随机变量ξ服从正态分布N300,102  ，
则P300≤ξ≤300+20 
1
≈ P300-20≤ξ≤300+20
2
 ≈0.4773，
Pξ>320  ≈0.5-P300≤ξ≤300+20  =0.0227.
因为这1000户中用电量在320度以上的居民户数估计约为1000×0.0227=22.7，
即在这1000户中，用电量在320度以上的用户数约为23.
故选：B.
5154 (2024·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模)已知函数fx 
log x,x≥1,
=   2 在R上单调
x+ξ,x<1,
1
递增的概率为 ，且随机变量ξ~Nu,1
2
 ．则P0<ξ≤1  等于 ( )
[附：若ξ~Nμ,σ2  ，则Pμ-σ≤x≤μ+σ  =0.6827，
Pμ-2σ≤x≤μ+2σ  =0.9545．]
A.0.1359 B.0.1587 C.0.2718 D.0.3413
【答案】A
【解析】使fx  在R上单调递增的充要条件是ξ+1≤log 1=0，即ξ≤-1，故P(ξ≤-1) 2
1
= .
2
由于随机变量ξ~Nu,1  ，则u=-1，即ξ~N-1,12  ，即μ=-1，σ=1.
故P-2≤ξ≤0  =Pμ-σ≤ξ≤μ+σ  =0.6827，
P-3≤ξ≤1  =Pμ-2σ≤ξ≤μ+2σ  =0.9545，
所以P0<ξ≤1  =P-1<ξ≤1  -P-1<ξ≤0 
1
= ×
2
第 页 共 页
3328 3427P-3≤ξ≤1  -P-2≤ξ≤0   
1
= ×0.9545-0.6827
2
 =0.1359．
故选：A．
5155 (2024·江苏镇江·高三统考开学考试)已知随机变量ξ服从正态分布N0,σ2  ，若
Pξ>2  =0.061，则P-2≤ξ≤0  等于 ( )
A.0.484 B.0.439 C.0.878 D.0.939
【答案】B
【解析】因为P0≤ξ≤2  =Pξ>0  -Pξ>2  =0.5-0.061=0.439，
所以P-2≤ξ≤0  =P0≤ξ≤2  =0.439.
故选：B.
5156 (2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)设随机变量X服从正态分布
N4,σ2  ，若PX>m  =0.2，则PX>8-m  = ( )
A.0.8 B.0.7 C.0.9 D.0.2
【答案】A
m+8-m
【解析】由于 =4，所以PX<8-m
2
 =PX>m  =0.2，
所以PX>8-m  =1-0.2=0.8.
故选：A
1
5157 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知随机变量ξ服从正态分布N1,
4
 ，
3
如果Pξ≤
2

1
=0.8413，则P <ξ≤1
2
 = ( )
A.0.3413 B.0.6826 C.0.1581 D.0.0794
【答案】A
1
【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N1,
4
 ，∴正态曲线关于x=1对称，
1
∴Pξ<
2

3
=Pξ>
2

3
=1-Pξ≤
2
 =1-0.8413=0.1587，
1
P <ξ≤1
2

1
=0.5-Pξ<
2
 =0.5-0.1587=0.3413.
故选：A.
【解题方法总结】
1、正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关
于直线x=μ对称，曲线与x轴之间的面积为1．
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比
联系，确定它们属于(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ，μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)中的哪一个．
2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．
(2)熟记P(μ-σ2a-4  ，则实数a的值为 .
【答案】1
【解析】由随机变量X~N1,4  ，且PX2a-4  ，
所以X=a+3与X=2a-4关于x=1对称，
即a+3+2a-4=2，解得a=1；
故答案为：1
5159 (2024·上海宝山·上海交大附中校考三模)随机变量X∼N105,192  ，Y∼N100,92  ，若
PX≤A  =PY≤A  ，那么实数A的值为 .
【答案】95.5
【解析】∵X∼N105,192  ，Y∼N100,92 
X-105
，∴ ∼N0,1
19

Y-100
， ∼N0,1
9
 ，
∵PX≤A  =PY≤A 
A-105 A-100
，∴ = ，解得：A=95.5.
19 9
故答案为：95.5.
5160 (2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)已知随机变量X∼N2,σ2  ，且PX≤a  =
PX≥b  ，则a2+b2的最小值为 .
【答案】8
【解析】由随机变量X∼N2,σ2  ，且PX≤a  =PX≥b  知a,b关于x=2对称，
a+b
故a+b=4，由不等式a2+b2≥
 2
，得a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时取等号，
2
∴a2+b2的最小值为8.
故答案为：8
5161 (2024·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测)已知随机变量ξ∼N1,σ2  ,Pξ≤0  =
Pξ≥a 
1 4
，则 + (00，
1 4 1 4 1 1 4
则 + = + =  +
x a-x x 2-x 2 x 2-x
 x+2-x 
1 2-x 4x
= 5+ +
2 x 2-x
 ≥
1 2-x 4x
5+2 ⋅
2 x 2-x

9
= ，
2
2-x 4x 2
当且仅当 = ，即x= 时取等号，
x 2-x 3
1 4
所以 + 04  =
．
91
【答案】0.728/
125
【解析】由已知可得，μ=6，
根据正态分布的对称性可得，PX≤4  =PX≥8  =0.272，
第 页 共 页
3330 3427所以，PX>4  =1-PX≤4  =1-0.272=0.728.
故答案为：0.728.
5163 (2024·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测)某工厂生产一批零件(单位：cm)，
其尺寸ξ服从正态分布Nμ,σ2  ，且P(ξ≤14)=0.1，P(ξ<18)=0.9，则μ= ．
【答案】16
【解析】∵ξ~Nμ,σ2  ，P(ξ≤14)+P(ξ<18)=0.1+0.9=1，
14+18
∴P(ξ≤14)=1-P(ξ<18)=P(ξ≥18)，∴μ= =16.
2
故答案为：16
5164 (2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测)若随机变量X服从正态分布
N3,σ2  ，且PX<1  =0.27，则PX≤5  的值是 ．
73
【答案】0.73/
100
【解析】因为随机变量X服从正态分布N3,σ2  ，且PX<1  =0.27，
所以P1≤X≤3  =PX≤3  -PX<1  =0.5-0.27=0.23，
因为P1≤X≤3  =P3≤X≤5  ，PX<3  =0.5，
所以，PX≤5  =PX<3  +P3≤X≤5  =0.5+0.23=0.73
故答案为：0.73
5165 (2024·山东青岛·统考二模)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布
N175,σ2  ，已知P175≤X<180  =0.2，若PX≤a  ∈0.3,0.5  .写出一个符合条件的a
的值为 .
【答案】172(170,175  中的任意一个数均可)
【解析】​​​​​​​因为X~N175,σ2  ，且P175≤X<180  =0.2,
则PX≤170  =PX≥180  =0.5-0.2=0.3,且PX≤175  =0.5，
故若PX≤a  ∈0.3,0.5  ，则a∈170,175  .
故答案为:172(170,175  中的任意一个数均可).
5166 (2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末)在某项测量中，测得变量ξ∼N1,σ2  σ﹥0  ．ξ
在0,2  内取值的概率为0.8，则ξ在1,2  内取值的概率为 ．
2
【答案】0.4/
5
【解析】因为ξ符合正态分布N1,σ2  ，所以曲线的对称轴是x=1，
因为ξ在0,2  内取值的概率为0.8，
所以ξ在1,2  内取值的概率为0.4．
故答案为：0.4.
【解题方法总结】
①P(X0．
2 2
1
所以f(a)在区间0,
2

1
上是减函数，在区间 ,1
2
 上是增函数．
1
所以f(a) =f
min 2

1 1 3 3 3
= + - = ．所以P的最小值为 ．
4 2 8 8 8
第 页 共 页
3332 34275168 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)某地区举行专业技能考试，共有
8000人参加，分为初试和复试，初试通过后方可参加复试．为了解考生的考试情况，随机
抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图所示的样本频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计样本的平均数；
(2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布Nμ,σ2  ，其中μ为样本平均数的估计值，σ
≈9，试估计所有考生中初试成绩不低于80分的人数；
(3)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得
10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试
3 3
中前两题每道题能答对的概率均为 ，后两题每道题能答对的概率均为 ，且每道题回
4 5
答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为X，求PX≥20  .
附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2  ，则：P(μ-σ30)=0.5+ P X-μ
2
  <σ  =0.84135.
所以参赛者年龄在30岁以上的人数约为2000×0.84135≈1683(人).
(2)记x=a%,00，当 μ-σ)≈0.84，即PX>73.14  ≈0.84，
所以学校期望的平均分约为73分；
(3)由频率分布直方图可知，分数在80,90  和90,100  的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在80,90 
0.35
，应抽取10× =7人，
0.35+0.15
分数在90,100 
0.15
应抽取10× =3人，
0.35+0.15
记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间[80，90
)，
则PA 
C3 -C3-C3 7
= 10 7 3 = ，PAB
C3 10
10

C2C1 21
= 7 3 = ，
C3 40
10
第 页 共 页
3336 3427则PB|A 
PAB
=

21
40 3
= = ．
P(A) 7 4
10
3
所以抽测3份试卷有2份来自区间[80，90 ) 的概率为 .
4
5173 (2024·全国·高三专题练习)2022年中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开之际，
结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中继续开展党史学习教
育．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加入员
中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的
分布列及期望．
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布
Nμ,σ2

，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2=192.44．现从所有
参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独
立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少?
参考数据： 192.44≈13.9，Pμ-σ≤X≤μ+σ  =0.6827，Pμ-2σ≤X≤μ+2σ  =
0.9545，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ  =0.9973．
【解析】(1)100人中得分不低于80分的人数为0.014+0.006  ×10×100=20，
随机变量ξ可能的取值为0，1，2．
又Pξ=0 
C2 316
= 80 = ，Pξ=1
C2 495
100

C1 C1 32
= 20 80 = ，Pξ=2
C2 99
100

C2 19
= 20 = ，
C2 495
100
则ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
316 32 19
P
495 99 495
Eξ 
316 32 19 198 2
=0× +1× +2× = = ．
495 99 495 495 5
(2)μ=35×0.04+45×0.06+55×0.11+65×0.36+75×0.25+85×0.14+95×0.06
=68.4．
σ= 192.44=13.9，
∴X~N68.4,192.44 
PX≥82.3  =PX≥μ+σ 
1-0.6827
= =0.15865，
2
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人
数为随机变量η，则η~B500,p  ，其中p=0.15865，
第 页 共 页
3337 3427所以恰好有k个参赛者的分数不低于82.3的概率为Pη=k  =Ck 500 pk 1-p  500-k，k=0,
1,2,⋅⋅⋅,500．
Pη=k 由 
Pη=k-1 
= Ck 500 pk 1-p  500-k
Ck 50 - 0 1pk-1 1-p 
501-k =
501-k
 p
k1-p 
>1，得k<501p=79.4837．
所以当1≤k≤79时，pη=k  >Pη=k-1  ，
当80≤k≤500时，pη=k  0.951  =PY>0.97-2σ 
1 P0.97-2σPX=k-1  ；
当k=n+1  p时，PX=k  =PX=k-1  ；
当k>n+1  p时，PX=k  
PX=977  且PX=979  2  ，
又因为Φ2  =Pη<2  =1-Pη≥2  ，所以Φ-2  +Φ2  =1.
(2)f(p)=C2 3 p3 1-p  =3p3 1-p  ，
f(p)=3 3p2 1-p  +p3 -1    =3p2 3-4p  .
3
令f(p)=0，得p= .
4
3
当p∈0,
4
 时，f(p)>0，fp 
3
在0,
4
 上为增函数；
3
当p∈ ,1
4

3
时，f(p)<0，f(p)在 ,1
4
 上为减函数.
3 3
所以f(p)的最大值点p = ，从而p= .
0 4 4
(ⅰ)X的可能取值为3，2，1，0.
PX=3  =p3+C2 3 p2 1-p 
189
p= ，PX=2 256  =C2 4 p2 1-p 
81
2p= ， 512
PX=1  =C2 4 p2 1-p 
27
3= ，PX=0 512  =1-p  3+C1 3 p1-p 
13
3= ， 256
所以X的分布列为
X 3 2 1 0
P
第 页 共 页
3339 3427189 81 27 13
256 512 512 256
(ⅱ)若X=3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分，29>28，所以，1班如果第10轮积3分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为PX=3 
189
= .
256
5176 (2024·全国·高三专题练习《) 山东省高考改革试点方案》规定：2022年高考总成绩由语
文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，
将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个
等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、
16%、7%、3%，选择科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩X，依
X-μ
照Y= (μ、σ分别为正态分布的均值和标准差)分别转换到91,100
σ
 、81,90  、
71,80  、61,70  、51,60  、41,50  、31,40  、21,30  八个分数区间，得到考生的等级成
绩．如果山东省2022年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩X∼N77.8,256  ，
Y∼N0,1  ．
(1)若规定等级A、B+、B、C+、C、D+为合格，D、E为不合格，需要补考，估计这次学
业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省1000名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的
原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于65分的学生人数，求ξ的数学期望和方
差．
附：当Y∼N0,1  时，PY≤1.3  ≈0.9，PY≤0.8  ≈0.788．
【解析】(1)由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为90%，
由PY≤1.3  ≈0.9且Y~N0,1  ，可得PY≥-1.3  ≈0.9，
X-77.8
由Y= ≥-1.3，可得X≥57，
16
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为57分.
X-77.8
(2)若X≥65，则Y= ≥-0.8，PY≥-0.8
16
 =PY≤0.8  ≈0.788，
由题意可知ξ~B1000,0.788  ，
∴Eξ  =1000×0.788=788，Dξ  =1000×0.788×0.212=167.056.
5177 (2024·全国·高三专题练习)2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万
多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务
活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了
500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．
第 页 共 页
3340 3427
(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数
据用该组数据区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布Nμ,σ2  ，其中μ

近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态
分布的概率进行计算：若X∼Nμ,σ2 
X-μ
，令Y= ，则Y∼N(0,1)，且P(X≤a)=
σ
a-μ
PY≤
σ
 ．
(i)利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)；
(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10
小时的人数，求P(Z≥1)(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．
参考数据： 1.64≈1.28， 16.4≈4.05，0.598720≈0.000035，0.729120≈0.0018，0.782320
≈0.0074.若Y∼N(0,1)，则P(Y≤0.25)≈0.5987，P(Y≤0.61)≈0.7291，P(Y≤0.78)
≈0.7823.

【解析】(1)x=6×0.02+7×0.10+8×0.20+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×
0.04=9，
s2=(-3)2×0.02+(-2)2×0.10+(-1)2×0.20+12×0.18+22×0.08+32×0.04=1.64．
(2)(i)由题意并结合(1)可知，μ=9，σ2=1.64≈1.282，
∴X∼N9,1.282 
10-9
，∴P(X≤10)=PY≤
1.28
 ≈P(Y≤0.78)≈0.7823．
(ii)由(ⅰ)可知，P(X>10)=1-P(X≤10)≈0.2177，
∴Z∼B(20,0.2177)，
∴P(Z≥1)=1-P(Z=0)=1-1-0.2177  20≈1-0.0074≈0.993，EZ  ≈20×0.2177
≈4.35．
5178 (2024·全国·高三专题练习)已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个
座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习
的概率均为0.1．
(1)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；
(2)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当n比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，
如果随机变量Y~Nμ,σ2 
Y-μ
，令Z= ，则Z~N(0,1)．当Z~N(0,1)时，对于任意实数
σ
a，记Φ(a)=P(Z10  =1-PX≤10  =0.2266，可得Z~B20,0.2266  ．
PZ≥1  =1-PZ=0  =1-0.773420≈1-0.0059=0.9941≈0.994．
故Z的数学期望EZ  =20×0.2266=4.532．
5180 (2024·福建·高三统考阶段练习)近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格
普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生
猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大
型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量(kg)在1,139  内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段 幼年期 成长期 成年期
重量(Kg) [1,24) [24, [116,
第 页 共 页
3343 3427116) 139]
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布X~N70,232  .由于我国有关
部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量
保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知
3 4
甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 ， .
4 5
(1)试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格
的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500
元，若为不合格的猪，则亏损200元.
(ⅰ)记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
(ⅱ)假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
(参考数据：若Z~Nμ,σ2  ，P(μ-σx 1 
x -u
=1-ϕ 1 σ 
x -u
表示x>x 的概率，ϕ 1 1 σ  用来将非标准正态分布
化为标准正态分布，即X~N0,1  ，从而利用标准正态分布表ϕx 0  ，求x>x 时的概率 1
Px>x 1 
x -u
，这里x 0 = 1 σ ,相应于x 0 的值ϕx 0  是指总体取值小于x 0 的概率，即ϕx 0 
=Pxx 1 
x -u
=1-ϕ 1 0 σ 
x -103
=1-ϕ 1 19.3  =0.46，
x -103
即ϕ 1
19.3
 =0.54.
由ϕ0.7045 
x -103
=0.54，得 1 =0.7045，
19.3
解得x =116.6≈117，
1
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
②Px>107 
107-103
=1-ϕ
19.3
 =1-ϕ0.2073  ≈1-0.5032=0.4968，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在10000×0.4968=4968名
第 页 共 页
3345 3427                        
本文档来自网络内容，如有侵犯您的权益请联系我们删除，联系邮箱：wyl860211@qq.com。
第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

文档预览

文档信息

文档内容

最新文档

热门文档

随机文档

第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

文档预览

文档信息

文档内容

第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

最新文档

热门文档

随机文档
