当前位置：首页>文档>第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

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第92讲两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）
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第92讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 知识梳理 知识点一．两点分布 1、若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1-p p 其中00，P(μ-a0， 均有P X-EX     ≥ε  DX ≤  .药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为 ε2 80%，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果 相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的 宣传内容是否真实可信. 5118 (2024·全国·高三专题练习)袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次 取1个球.求： (1)有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列、数学期望和方差； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列、数学期望和方差. 5119 (2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)第四届应急管理普法知识竞赛线 上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知 识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩(满分100分)， 其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分 第 页 共 页 990 1043布直方图. (1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”； (2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为ξ，用频率估 计概率，请你写出ξ的分布列. 5120 (2024·四川攀枝花·统考三模)某企业从生产的一批产品中抽取100个作为样本，测量这 些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．  (1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x(同一组数据用该区间的中点值作代表)和 中位数； (2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于 15,25  内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列和数学期望． 4 题型四：超几何分布 5121 (2024·全国·高三对口高考)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给 商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产 品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都 进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率 是 ． 5122 (2024·山东枣庄·统考二模)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个 白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数． 当PX=k  最大时，EX  +k= ． 5123 (2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习)莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是 世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参 观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟 九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫 情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个 进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ． 5124 (2024·高三课时练习)袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意 第 页 共 页 991 10437 摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的 9 个数为X，则E(X)= ． 5125 (2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测)某乒乓球队训练教官为了检验学员某 项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按60,65  , 65,70  ,70,75  ,75,80  ,80,85  ,85,90  ,90,95  ,95,100  分成8组，得到如图所示的频 率分布直方图． (1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1)； (2)若采用分层抽样的方法从评价指标在70,75  和85,90  内的学员中随机抽取12名， 再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在70,75  内的学员人数为X，求X的分布列与数学期望． 5126 (2024·湖南益阳·高三统考阶段练习)某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之 前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品. (1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率； (2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记ξ表示抽到一等品的箱数，求ξ的分布列和期望. 5127 (2024·陕西·高三校联考阶段练习)人工智能(AI)是当今科技领域最热门的话题之一，某 学校组织学生参加以人工智能(AI)为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中 的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450~950分之 间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于850分的 学生称为“最佳选手”． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数； (2)现采用分层抽样的方法从分数落在650,750  ，850,950  内的两组学生中抽取7人， 再从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变 量X，求X的分布列及数学期望． 第 页 共 页 992 10435128 (2024·河北衡水·河北衡水中学校考一模)温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护 结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季 节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性 能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品 卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质 量等级划定如表所示. 环境质 土壤各单项或综合 灌溉水各单项或综合 环境空气各单项或综 等级 量等级 质量指数 质量指数 合质量指数 名称 1 ≤0.7 ≤0.5 ≤0.6 清洁 尚清 2 0.7∼1.0 0.5∼1.0 0.6∼1.0 洁 3 >1.0 >1.0 >1.0 超标 各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研， 若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地 下水、地表水、大气等)有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、 戊、已、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到 的相关数据如下： (1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概 率； (2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环 境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望. 5 题型五：二项分布与超几何分布的综合应用 5129 (2024·全国·高三专题练习)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费 每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方 案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖 盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸 出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方 案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有 放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优 惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 第 页 共 页 993 10435130 (2024·全国·高三专题练习)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了 解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线 调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成0,2  ， 2,4  ，4,6  ，6,8  ，8,10  ，10,12  ，12,14  ，14,16  ，16,18  九组，绘制成如图所示的 频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在10,12  内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日 平均阅读时间在12,14  ，14,16  ，16,18  三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在14,16  内的学生人数为X，求 X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用Pk  表示 这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在8,12  内的概率，其中k=0，1，2，⋯， 10．当Pk  最大时，写出k的值．(只需写出结论) 5131 (2024·全国·镇海中学校联考模拟预测)某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位 女生、12位教师一起参加社会实践活动. (1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机 选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期 望； (2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有 kk=1,2,⋯,30  个男生的概率为Pk  ，求使得Pk  取得最大值的k的值. 5132 (2024·福建福州·福州三中校考模拟预测)某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该 市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名 学生的竞赛成绩(单位：分)，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图. 第 页 共 页 994 1043(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；(结果保留整数) (2)从竞赛成绩在40,50  ,50,60  的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现 从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在40,50  的学生人数为X，求X的分布列和数学 期望EX  ； (3)以样本的频率估计概率，从30,50  随机抽取20名学生，用Pk  表示这20名学生中 恰有k名学生竞赛成绩在30,40  内的概率，其中k=0,1,2,⋯,20．当Pk  最大时，求k. 5133 (2024·甘肃·统考一模)“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的 力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都 终将在你生命里出现”⋯⋯当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力 量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了 这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所 示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在12,14  ， 14,16  ，16,18  三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机 抽取3人，记周平均阅读时间在14,16  内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用Pk  表示这20名 学生中恰有k名学生周平均阅读时间在8,12  内的概率，其中k=0,1,2,⋅⋅⋅,20．当Pk  最大时，写出k的值． 5134 (2024·内蒙古·高三校考期末)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的 收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看 该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称 为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率． (1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被 第 页 共 页 995 1043抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布 列及数学期望． (2)用分层抽样的方法从这100名“体育迷”中抽取8名观众，再从抽取的抽取8名观众中 随机抽取3名，Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布列． 6 题型六：正态密度函数 5135 (2024·全国·高三竞赛)已知两个连续型随机变量X，Y满足条件2X+Y=2，且Y服从 标准正态分布．设函数Fx  =P X-2x   >1  ，则Fx  的图像大致为 ( ) A. B. C. D. 5136 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量X的正态分布密度函数为fx  1 -x+3 = ⋅e 2 π  2 4 ， x∈-∞,+∞  ，则参数μ，σ的值分别是 ( ) A. μ=3，σ=2 B. μ=-3，σ=2 C. μ=3，σ= 2 D. μ=-3，σ= 2 5137 (2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考开学考试)某市期末教学质量检测， 甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是 ( ) A.甲学科总体的均值最小 B.乙学科总体的方差及均值都居中 C.丙学科总体的方差最大 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 5138 (2024·全国·高三专题练习)已知连续型随机变量X~N(u，σ2)(i=1，2，3)，其正态曲线 i i i 如图所示，则下列结论正确的是 ( ) 第 页 共 页 996 1043A.P(X ≤μ )P(X ≥μ ) 2 2 3 3 C.P(X ≤μ )12)=m,P8≤X≤10  1 1 =n，则 + 的最小值为 ( ) 2m n A.3+4 2 B.6+2 2 C.6+4 2 D.3+2 2 5143 (2024·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习)南沿江高铁即将开通，某小区居民前 往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测算所需时 第 页 共 页 997 1043间(单位为分钟)服从正态分布N50,100  ；路线②骑共享单车到地铁站，乘地铁前往，路 程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间(单位为分钟)服从正态分布N60,16  .该小区的 甲乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选 择的路线分别为 ( ) A.①、① B.①、② C.②、① D.②、② 5144 (2024·全国·高三专题练习)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，下列四个命题： 甲：P(X>m+1)>P(XP X 2 -μ 2   <1  C.P X 1 -μ 1  1  < 2 

P X 2 -μ 2  1  < 3  8 题型八：正态曲线概率的计算 5146 (2024·全国·高三对口高考)设ξ~N0,1  ，且Pξ<1.623  =p，那么P-1.623≤ξ<0  的 值是 ( ) A. p B.-p C. p-0.5 D.0.5-p 5147 (2024·重庆·高三校联考开学考试)已知随机变量X∼B2,p  ，随机变量Y∼N2,σ2  ， 若PX≤1  =0.36，PY<4  =p，则P02  =0.061，则P-2≤ξ≤0  等于 ( ) A.0.484 B.0.439 C.0.878 D.0.939 5156 (2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)设随机变量X服从正态分布 N4,σ2  ，若PX>m  =0.2，则PX>8-m  = ( ) A.0.8 B.0.7 C.0.9 D.0.2 1 5157 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知随机变量ξ服从正态分布N1, 4  ， 第 页 共 页 999 10433 如果Pξ≤ 2  1 =0.8413，则P <ξ≤1 2  = ( ) A.0.3413 B.0.6826 C.0.1581 D.0.0794 9 题型九：根据正态曲线的对称性求参数 5158 (2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试)已知随机变量X~N1,4  ，若 PX2a-4  ，则实数a的值为 . 5159 (2024·上海宝山·上海交大附中校考三模)随机变量X∼N105,192  ，Y∼N100,92  ，若 PX≤A  =PY≤A  ，那么实数A的值为 . 5160 (2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)已知随机变量X∼N2,σ2  ，且PX≤a  = PX≥b  ，则a2+b2的最小值为 . 5161 (2024·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测)已知随机变量ξ∼N1,σ2  ,Pξ≤0  = Pξ≥a  1 4 ，则 + (04  = ． 5163 (2024·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测)某工厂生产一批零件(单位：cm)， 其尺寸ξ服从正态分布Nμ,σ2  ，且P(ξ≤14)=0.1，P(ξ<18)=0.9，则μ= ． 5164 (2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测)若随机变量X服从正态分布 N3,σ2  ，且PX<1  =0.27，则PX≤5  的值是 ． 5165 (2024·山东青岛·统考二模)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布 N175,σ2  ，已知P175≤X<180  =0.2，若PX≤a  ∈0.3,0.5  .写出一个符合条件的a 的值为 . 5166 (2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末)在某项测量中，测得变量ξ∼N1,σ2  σ﹥0  ．ξ 在0,2  内取值的概率为0.8，则ξ在1,2  内取值的概率为 ． 10 题型十：正态分布的实际应用 5167 (2024·全国·高三专题练习)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水 平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名 学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数; (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2  ，其中μ为样本平均数的估计 第 页 共 页 1000 1043值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数; (3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得 三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均 1 为a，第三道题答对的概率为b．若他获得一等奖的概率为 ，设他获得二等奖的概率为 8 P，求P的最小值． 附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2  ，则P(μ-σx 1  x -u =1-ϕ 1 σ  x -u 表示x>x 的概率，ϕ 1 1 σ  用来将非标准正态分布 化为标准正态分布，即X~N0,1  ，从而利用标准正态分布表ϕx 0  ，求x>x 时的概率 1 Px>x 1  x -u ，这里x 0 = 1 σ ,相应于x 0 的值ϕx 0  是指总体取值小于x 0 的概率，即ϕx 0  =Px

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