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专题 21.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 一元二次方程的相关概念辨析】..............................................................................................................1
【题型2 一元二次方程的解的估算】......................................................................................................................3
【题型3 配方法的应用】..........................................................................................................................................5
【题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况】.............................................................................................8
【题型5 根据一元二次方程根的情况求参数】...................................................................................................12
【题型6 一元二次方程的一般解法】....................................................................................................................14
【题型7 换元法解一元二次方程】........................................................................................................................18
【题型8 根的判别式与根与系数关系的综合】...................................................................................................20
【题型9 一元二次方程中的阅读理解类问题】...................................................................................................24
【题型10 一元二次方程的实际应用】....................................................................................................................31
【题型1 一元二次方程的相关概念辨析】
【例1】（2023春·湖南益阳·九年级校考期中）若方程(k-1)x|k|+1-2x=5是关于x的一元二次方程，则
k= ．
【答案】-1
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得到答案．
【详解】依题意得|k|+1=2且k-1≠0
解得k=-1
故答案是-1．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元
二次方程．一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)．易错点在于a≠0这个条件容易被忽略．
【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
1 1
A．2(x+1) 2=x+1 B． + =0
x2 x
C．xy-x2=2 D．x2+3x=x2-2【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②
二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个
条件者即为正确答案．
【详解】解：A.2(x+1) 2=x+1是关于x的一元二次方程，故该选项满足题意；
1 1
B.
+ =0不是整式方程，故该选项不满足题意；
x2 x
C.xy-x2=2，含有两个未知数，故该选项不满足题意；
D.x2+3x=x2-2，化简后不含有二次项，故该选项不满足题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式1-2】（2023春·河南开封·九年级统考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次项系数为
【答案】-1
【分析】先去括号，移项，合并同类项，再找出一次项系数即可．
【详解】解：x2+2（x-1）=3x，
x2+2x-3x-2=0，
x2-x-2=0，
所以一次项系数是-1，
故选：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、
c为常数，a≠0），②找各项系数带着前面的符号．
【变式1-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0，如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一
个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a=0的根的是（ ）
A．2 B．-2 C．±1 D．1
【答案】B
【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．
【详解】∵a≠0，c≠0，a+c=0，
∴a=-cc
∴ =-1，
a
b c c b
∴x2+ x+ =0， x2+ x+1=0，
a a a a
b b
∴x2+ x-1=0，x2- x-1=0，
a a
∵x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根，
b b 3
∴x=2是方程x2+ x-1=0的一个根，即 =- ，
a a 2
b 3
∴x2- x-1=x2+ x-1=0，
a 2
b
∴x=-2是方程x2- x-1=0的一个根，
a
即x=-2时方程cx2+bx+a=0的一个根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关
键．
【题型2 一元二次方程的解的估算】
【例2】（2023春·福建漳州·九年级校考期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输
－13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21
出
分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7
C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
【答案】C
【详解】试题解析：由表格可知，当x=20.7时，（x+8）2-826=-2.31，
当x=20.8时，（x+8）2-826=3.44，
故（x+8）2-826=0时，20.7＜x＜20.8，
故选C．
【变式2-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x﹣15=0
必有一个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
﹣
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84
26
A．﹣10，则可以判断
方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.10，
∴ 1.10，
∴关于x的方程bx2+x+2023=0的实数根的个数为2个，
当b=0时，方程为x+2023=0，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个，
综上所述，若直线y=-3x+b不经过第一象限，则关于x的方程bx2+x+2023=0的实数根的个数为1或2
个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一元二次方程根的个数与判别式的关系，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方
程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根．
【变式4-1】（2023春·福建宁德·九年级统考期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a-b+c=0，则它有一根为－1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的 ．
【答案】①②④
【分析】利用因式分解法解方程可对①进行判断；根据根的判别式的意义，由方程ax2+c=0有两个不相
等的实根得到Δ=-4ac>0，则可判断Δ=b2-4ac>0，于是可对②进行判断；由c是方程ax2+bx+c=0
的一个根得到ac2+bc+c=0，只有当c≠0时，ac+b+1=0，则可对③进行判断；利用b=2a+3c计算根
的判别式得到Δ=4(a+c) 2+5c2>0，则根据根的判别式的意义可对④进行判断．
【详解】解：若a-b+c=0时，则b=a+c，
∴原方程为ax2+(a+c)x+c=0，∴(ax+c)(x+1)=0，
c
解得x =- ，x =-1，故①正确；
1 a 2
若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则Δ=-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时，ac+b+1=0，故③错误；
若b=2a+3c，
则Δ=b2-4ac=(2a+3c) 2-4ac=4a2+8ac+9c2=4(a+c) 2+5c2>0 ，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有
两个相等的实数根，若Δ=b2-4ac<0，则方程没有实数根．
【变式4-2】（2023春·安徽亳州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根
(2)3+2√2
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到 Δ=4>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，即
可解答；
（2）先利用求根公式解方程得到x =m+1，x =m-1，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即
1 2
可．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0，
∵Δ=(-2m) 2-4(m2-1)=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵Δ=(-2m) 2-4(m2-1)=4>0，
-(-2m)±√4 2m±2
∴x= = =m±1，
2×1 2
∴x =m+1，x =m-1．
1 2
∵该方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的两边，
∵m+1>m-1，
∴(m+1) 2=(m-1) 2+(m-1) 2，
整理得：m2-6m+1=0，
解得m=3+2√2或m=3-2√2（舍去），
∴m的值为3+2√2．
【点睛】本题考查了根的判别式∶一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系∶当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根；
也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质；根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·安徽安庆·九年级统考期中）如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，
a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的
一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；
(2)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12√2，求ab
的值.
【答案】(1)见解析
(2)ab=8
【分析】（1）结合勾股定理证明一元二次方程的根的判别式Δ≥0即可；
（2）把x=-1代入方程可得a+b=√2c，进而可求出c=4，再利用完全平方公式的变形整体求解即可.【详解】（1）证明：根据题意得：Δ=(√2c) 2-4ab=2c2-4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b) 2≥0，
即Δ≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+√2cx+b=0必有实数根；
（2）当x=-1时，有a-√2c+b=0，即a+b=√2c，
∵2a+2b+√2c=12√2，即2(a+b)+√2c=12√2，
∴3√2c=12√2，
∴c=4，
∴a2+b2=c2=16，a+b=4√2，
∵(a+b) 2=a2+b2+2ab，
∴32=16+2ab，
∴ab=8.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、勾股定理以及完全平方公式的变形等知识，正确理解题
意、熟练掌握上述知识是解题的关键.
【题型5 根据一元二次方程根的情况求参数】
【例5】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数
根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k的值；若不
存在，请说明理由．
9
【答案】(1)k< 且k≠0
4
(2)2【分析】（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式，建立关于k的不等式组，求得k的取值范围．
（2）根据（1）中所求k的取值范围，得出使k为非负整数的值，代入Δ=b2-4ac中，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，k≠0且Δ=b2-4ac>0，
∴b2-4ac=(-3) 2-4k>0，
9
解得：k< 且k≠0;
4
9
（2）解：∵k< 且k≠0，
4
∴k=1，2．
当k=1时，Δ=9-4=5，此时方程的两根均为无理数，不符合题意舍去；
当k=2时，Δ=9-8=1，此时方程的两根均为有理数，符合题意；
故满足条件的k的值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数
根；②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；③Δ＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
【变式5-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）.已知关于x的方程(k-3)x2+2kx+k-2=0有解，则k
的取值范围是 .
6
【答案】k≥
5
【分析】根据关于x的方程(k-3)x2+2kx+k-2=0有解得到Δ≥0，即可求出k的取值范围．
【详解】解：∵方程(k-3)x2+2kx+k-2=0有解，
∴Δ=b2-4ac=(2k) 2-4×(k-3)×(k-2)≥0，
即20k-24≥0，
6
得k≥ ，
5
6
故答案为：k≥ ．
5
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，得到Δ≥0是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）定义新运算“*”：对于实数a，b，c，d有
[a,c] * [d,b]=ab+cd，例如[1,2] * [3,4]=1×4+2×3=10，若关于x的方程[x2+1,x] * [5-2k,k]=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．k≤ B．k≥ C．k≤ 且k≠0 D．k< 且k≠0
4 4 4 4
【答案】C
【分析】由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程 再利用根的判别式进行求解即可．
*
【详解】解：∵[x2+1,x] [5-2k,k]=0，
∴(x2+1)k+x(5-2k)=0，
整理得：kx2+(5-2k)x+k=0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(5-2k) 2-4k⋅k≥0,k≠0，
5
解得k≤ 且k≠0，
4
故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式, 解答的关键是正确运用根的判别式．
【变式5-3】（2023春·安徽·九年级统考期末）若实数a，b满足a-2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是
．
【答案】-8≤a<0
【分析】由实数a，b满足a-2ab+2ab2+4=0得到关于b的一元二次方程2ab2-2ab+a+4=0，由根的
判别式Δ=-4a2-32a≥0且2a≠0，得到不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵实数a，b满足a-2ab+2ab2+4=0，
∴关于b的一元二次方程2ab2-2ab+a+4=0中，
Δ=(-2a) 2-4×2a(a+4)=-4a2-32a≥0且2a≠0，
即a(a+8)≤0且a≠0，
∴¿或¿，
解得-8≤a<0，
即a的取值范围是-8≤a<0．
故答案为：-8≤a<0
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式
Δ=-4a2-32a≥0且2a≠0得到不等式组是解题的关键．【题型6 一元二次方程的一般解法】
【例6】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）解下列方程：
(1)2x2-5x-1=0；(公式法)
(2)x2-8x-10=0；(配方法)
(3)2x2-2√2x-5=0；
(4)3 y(y-1)=2(y-1)．
5+√33 5-√33
【答案】(1)x = ,x =
1 4 2 4
(2)x =4+√26,x =4-√26
1 2
√2 √2
(3)x = +√3,x = -√3
1 2 2 2
2
(4)y =1，y =
1 2 3
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据公式法解一元二次方程；
（4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：2x2-5x-1=0，
∵a=2,b=-5,c=-1，Δ=b2-4ac=25-4×2×(-1)=33，
-b±√b2-4ac 5±√33
∴x= = ，
2a 4
5+√33 5-√33
解得：x = ,x = ；
1 4 2 4
（2）解：x2-8x-10=0，
x2-8x+16=26，
∴(x-4) 2=26，
∴x-4=±√26，
解得：x =4+√26,x =4-√26；
1 2
（3）解：2x2-2√2x-5=0，
∵a=2,b=-2√2,c=-5，Δ=b2-4ac=8-2×4×(-5)=48，-b±√b2-4ac 2√2±4√3
∴x= = ，
2a 4
√2 √2
解得：x = +√3,x = -√3；
1 2 2 2
（4）解：3 y(y-1)=2(y-1)，
∴(y-1)(3 y-2)=0，
∴y-1=0或3 y-2=0，
2
解得：y =1，y = ；
1 2 3
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·安徽六安·九年级校考期中）请用两种不同的方法解一元二次方程：x2-4x-1=0．
【答案】x =2+√5，x =2-√5
1 2
【分析】可分别利用公式法和配方法求解．（其他方法也可）
【详解】方法一：
x2-4x-1=0
∵a=1,b=-4,c=-1,Δ=b2-4ac=16+4=20，
-b±√b2-4ac 4±2√5
∴x= = ，
2a 2
解得：x =2+√5，x =2-√5
1 2
方法二：
x2-4x-1=0
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
∴(x-2) 2=5，
∴x-2=±√5，
解得：x =2+√5，x =2-√5
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式灵活运用各种方法．
【变式6-2】（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）解方程
(1)x2-2x-8=0；
(2)2x2+4=7x；(3)2(x-3) 2=x2-9．
【答案】(1)x =-2，x =4
1 2
7+√17 7-√17
(2)x = ，x =
1 4 2 4
(3)x =3，x =9
1 2
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）方程整理后利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解得：(x+2)(x-4)=0，
所以x+2=0或x-4=0，
解得：x =-2，x =4；
1 2
（2）解：移项得：2x2-7x+4=0，
所以a=2，b=-7，c=4，
所以Δ=(-7) 2-4×2×4=17>0，
7±√17
所以x= ，
2×2
7+√17 7-√17
解得：x = ，x = ；
1 4 2 4
（3）解：方程整理得：x2-12x+27=0，
因式分解得：(x-3)(x-9)=0，
所以x-3=0或x-9=0，
解得：x =3，x =9．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
【变式6-3】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程
(1)3x2=54；
(2)(x+1)(3x-1)=1；
(3)4x(2x+1)=3(2x+1)；
(4)x2+6x=10．
【答案】(1)x =3√2，x =-3√2
1 2-1+√7 -1-√7
(2)x = ，x =
1 3 2 3
1 3
(3)x =- ，x =
1 2 2 4
(4)x =-3+√19，x =-3-√19
1 2
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；
（3）方程利用因式分解法求解即可；
（4）方程利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：方程整理得：x2=18，
开方得：x=±3√2，
解得：x =3√2，x =-3√2；
1 2
（2）解：方程整理得：3x2+2x-2=0，
这里a=3，b=2，c=-2，
∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，
-2±2√7 -1±√7
∴x= = ，
6 3
-1+√7 -1-√7
解得：x = ，x = ；
1 3 2 3
（3）解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，
分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，
所以2x+1=0或4x-3=0，
1 3
解得：x =- ，x = ；
1 2 2 4
（4）解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3) 2=19，
开方得：x+3=±√19，
解得：x =-3+√19，x =-3-√19．
1 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．
【题型7 换元法解一元二次方程】
【例7】（2023春·四川乐山·九年级统考期中）材料：为解方程x4-x2-6=0，可将方程变形为
(x2) 2 -x2-6=0，然后设x2= y，则(x2) 2 = y2，原方程化为y2- y-6=0…①，
解得y =-2，y =3．
1 2
当y =-2时，x2=-2无意义，舍去；当y =3时，x2=3，解得x=±√3．
1 2
所以原方程的解为x =-√3，x =+√3．
1 2
问题：利用本题的解题方法，解方程(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0．
【答案】x =3，x =-2
1 2
【分析】根据题意，设(x2-x)= y，则(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0变为y2-4 y-12=0，解这个一元二次方程，
求出y，再把y值代入(x2-x)= y，即可求出x．
【详解】解：设(x2-x)= y
∴(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0变形为：y2-4 y-12=0
∵y2-4 y-12=0变形为：(y-6)(y+2)=0
∴y=6，y=-2
∴当y=6时，(x2-x)=6，方程变形为：(x-3)(x+2)=0，解得：x =3，x =-2
1 2
当y=-2时，(x2-x)=-2，方程变形为：x2-x+2=0
∵△=b2-4ac=(-1) 2-4×1×2=-7<0
∴x2-x+2=0无实数解
∴(x2-x) 2 -4(x2-x)-12=0的解为：x =3，x =-2．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，根的判别式，易错点换元
降次是求解一元高次方程．
【变式7-1】（2023春·浙江温州·九年级校联考期中）已知方程x2-10x+21=0的根为x =3，x =7，则方
1 2程(2x-1) 2-10(2x-1)+21=0的根是 ．
【答案】x =2，x =4
1 2
【分析】设2x-1=t，可得t2-10t+21=0，根据x2-10x+21=0的根为x =3，x =7，可得2x-1=3或
1 2
2x-1=7，即可得到答案；
【详解】解：设2x-1=t，可得t2-10t+21=0，
∵x2-10x+21=0的根为x =3，x =7，
1 2
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x =2，x =4，
1 2
故答案为x =2，x =4；
1 2
【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设2x-1=t，得到t2-10t+21=0，结合方程
x2-10x+21=0的根为x =3，x =7．
1 2
【变式7-2】（2023春·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）若(x2+ y2)(x2+ y2-1)=12，则x2+ y2的值为
（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．3或4
【答案】B
【分析】根据题意，采用换元法，令a=x2+ y2，将(x2+ y2)(x2+ y2-1)=12转化为a(a-1)=12，即
a2-a-12=0，得到(a-4)(a+3)=0，解得a=4或a=-3，再结合x2+ y2=a≥0，即可确定x2+ y2=a=4，
从而确定答案．
【详解】解：令a=x2+ y2，
∴将(x2+ y2)(x2+ y2-1)=12转化为a(a-1)=12，
∴ a2-a-12=0，即(a-4)(a+3)=0，解得a=4或a=-3，
∵ x2+ y2=a≥0，
∴ x2+ y2=a=4，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一
元二次方程是解决问题的关键．
【变式7-3】（2023春·湖北恩施·九年级校考期中）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充
完整，求出x的值．【问题】解方程：x2-6x-2√x2-6x-8=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设√x2-6x=t（t≥0），则有x2-6x=t2，
原方程可化为：t2-2t-8=0，
【续解】
【答案】x =8，x =-2
1 2
【分析】按照题目思路，用因式分解法解t2-2t-8=0，求出t，再代入x2-6x=t2，解出x，即可求解．
【详解】解：(t+2)(t-4)=0，
t+2=0或t﹣4=0，
∴t =-2（依据t≥0，此根舍去），t =4，
1 2
当t=4时，x2-6x=t2=42=16，
则x2-6x-16=0，配方得(x-3) 2=25，
解得x =8，x =-2，
1 2
经检验，原方程的解为x =8，x =-2．
1 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，题中涉及换元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故
所得的解，必须要代入原方程检验．
【题型8 根的判别式与根与系数关系的综合】
【例8】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k-1=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若此方程的两根为x ，x ，且x ，x 为矩形的两对角线长，求k．
1 2 1 2
1
(3)若k为正整数，此方程的两根为x ，x
，求x2+x2+
．
1 2 1 2 x x
1 2
【答案】(1)k≤3
(2)k=3
1
(3)x2+x2+
的值为5或3．
1 2 x x
1 2
【分析】（1）由关于x的一元二次方程2x2-4x+k-1=0有实数根，可得(-4) 2-4×2(k-1)≥0，再解不
等式即可；（2）由矩形的对角线相等，可得原方程有两个相等的正实数根，可得(-4) 2-4×2(k-1)=0，再解方程即
可；
k-1 1 1
（3）由根与系数的关系可得：x +x =2，x x = ，可得x2+x2+ =(x +x ) 2-2x x +
1 2 1 2 2 1 2 x x 1 2 1 2 x x
1 2 1 2
2
=5-k+ ，再分析可得k=2或k=3，再分别代入求解即可．
k-1
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程2x2-4x+k-1=0有实数根．
∴(-4) 2-4×2(k-1)≥0，
解得：k≤3；
（2）∵方程2x2-4x+k-1=0的两根为x ，x ，且x ，x 为矩形的两对角线长，
1 2 1 2
∴x =x >0，
1 2
∴(-4) 2-4×2(k-1)=0，
解得：k=3；经检验符合题意；
（3）∵方程2x2-4x+k-1=0的两根为x ，x ，
1 2
k-1
∴x +x =2，x x = ，
1 2 1 2 2
∵k为正整数，k≤3，
∴k=1或k=2或k=3，
1 1
∴x2+x2+ =(x +x ) 2-2x x +
1 2 x x 1 2 1 2 x x
1 2 1 2
2
=5-k+ ，
k-1
∴k≠1，
1
当k=2时，x2+x2+ =5-2+2=5，
1 2 x x
1 2
1
当k=3时，x2+x2+ =5-3+1=3；
1 2 x x
1 2
1
综上：x2+x2+
的值为5或3．
1 2 x x
1 2
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式的应用，根与系数的关系是灵活应用，矩形的性质，熟
记根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．【变式8-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-6x+m-3=0有两个大
于2的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．74，进行求解即可．
【详解】解：设方程的两个根为x ,x ，则x >2,x >2
1 2 1 2
∴x x =m-3>4，
1 2
∴m>7，
又方程有两个实数根，
∴Δ=(-6) 2-4(m-3)≥0，
∴m≤12，
∴7x ．
1 2 1 2
(1)求m的取值范围；
(2)若m取负整数，求x -3x 的值；
1 2
(3)若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
【答案】(1)m>-3
(2)8或2+4√2
(3)m=2
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得Δ=(-2m) 2-4(m2-m-3)>0，进行计算即
可得到答案；
（2）由（1）可得m>-3且m取负整数，即可得到m=-2或m=-1，分两种情况：当m=-2时，当m=-1
时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x =2m，x ⋅x =m2-m-3，再根据完全平方公式的变
1 2 1 2
形进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：
关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m=3有两个不相等实数根，
∴Δ=(-2m) 2-4(m2-m-3)>0，解得：m>-3；
（2）解：∵m>-3且m取负整数，
∴m=-2或m=-1，
当m=-2时，原方程可化为：x2+4x+3=0且x >x ，
1 2
解得：x =-1，x =-3，
1 2
∴x -3x =-1-3×-3=8，
1 2
当m=-1时，原方程可化为：x2+2x-1=0且x >x ，
1 2
解得：x =-1+√2，x =-1-√2，
1 2
∴x -3x =-1+√2-3×(-1-√2)=2+4√2，
1 2
综上所述：x -3x 的值为8或2+4√2；
1 2
（3）解：由根与系数的关系得：
x +x =2m，x ⋅x =m2-m-3，
1 2 1 2
∵x 2+x 2=18，
1 2
∴(x +x ) 2-2x x =(2m) 2-2(m2-m-3)=18，
1 2 1 2
∴m =2，m =-3，
1 2
由（1）可知：m>-3，
∴m=2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、完
全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的
变形，是解题的关键．
【题型9 一元二次方程中的阅读理解类问题】
【例9】（2023春·湖南永州·九年级统考期末）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据
等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类
似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一
次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必
须检验。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，
把复杂转化为简单。运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2-3x=0，可以通过
因式分解把它转化为：x(x2+2x-3)=0,解方程x=0和x2+2x-3=0，可得方程x3+2x2-3x=0的解为
x =0,x =-3,x =1，
1 2 3
(1)问题：方程2x3+10x2-12x=0的解是：x =0,x = ，x = .
1 2 3
(2)拓展：解方程组¿
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP>PD），小明把
一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好
落在矩形的顶点C处，求DP的长．
【答案】(1)-6，1；
(2)¿，¿；
(3)DP的长为6m．
【分析】（1）首先提出2x，然后因式分解多项式，然后得结论；
（2）运用“转化”的数学思想，将二元方程转化为一元，求解即可；
（3）设AP的长为xm，则PD=(21-x)m，根据勾股定理和BP+CP=27，可列出方程，由于方程含有根
号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解再代入PD=(21-x)m即可．
【详解】（1）解：∵2x3+10x2-12x=0，
2x(x2+5x-6)=0，
2x(x+6)(x-1)=0。
∴2x=0或x+6=0或x-1=0，
∴x =0，x =-6，x =1，
1 2 3
故答案为：-6，1；
（2）¿，
由②得：x=3+ y③，
将③代入①中得：(3+ y) 2+ y2=17，整理得：y2+3 y-4=0，即：(y+4)(y-1)=0，
∴y =-4，y =1，
1 2
将y =-4代入③中，x =3+(-4)=-1，
1 1
将y =1代入③中，x =3+1=4，
2 2
∴原方程组的解为：¿，¿；
（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP>PD），小明把一根
长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在
矩形的顶点C处，求DP的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，
设AP=xm，则PD=(21-x)m，
因为BP+CP=27，
BP=√AP2+AB2，CP=√CD2+PD2，
∴√82+x2+√(21-x) 2+82=27，
∴√(21-x) 2+82=27-√82+x2，
两边平方，得(21-x) 2+82=729-54√82+x2+82+x2
整理，得48+7x=9√82+x2
两边平方并整理，得x2-21x+90=0
解得x=15或6（不合题意，舍去此时AP
