第91讲离散型随机变量的分布列与数字特征_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第91讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
知识梳理
知识点一．离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．
在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变
量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，⋯表示．
注意：
(1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所
有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，
但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
(2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，X=0表
示反面向上，X=1表示正面向上．
(3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
(1)本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
(2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区
间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都
是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连
续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，⋯，x，⋯，x ，X取每一个值x(i=
1 2 i n i
1，2，⋯，n)的概率P(X=x)=p，以表格的形式表示如下：
i i
X x x ⋯ x ⋯ x
1 2 i n
P p p ⋯ p ⋯ p
1 2 i n
我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，
也用等式P(X=x)=p，i=1，2，⋯，n表示X的分布列．
i i
4、离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1)p ≥0，i=1，2，⋯，n；(2)p +p +⋯+p =1．
i 1 2 n
注意：
①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参
数．
②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概
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969 1043率．
知识点二．离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量X的分布列为
X x x ⋯ x ⋯ x
1 2 i n
P p p ⋯ p ⋯ p
1 2 i n
称E(X)=x p +x p +⋯+xp +⋯+x p =1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离
1 1 2 2 i i n n
散型随机变量取值的平均水平．
注意：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征；
(2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布
可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而
均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性
质．
2、均值的性质
(1)E(C)=C(C为常数)．
(2)若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b．
(3)E(X +X )=E(X)+E(X )．
1 2 1 2
(4)如果X ，X 相互独立，则E(X ⋅X )=E(X)⋅E(X )．
1 2 1 2 1 2
3、方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x x ⋯ x ⋯ x
1 2 i n
P p p ⋯ p ⋯ p
1 2 i n
n
则称D(X)=(x-E(X))2p 为随机变量X的方差，并称其算术平方根 D(X)为随机
i i
i=1
变量X的标准差．
注意：(1)(x -E(X))2描述了x(i=1，2，⋯，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)
i i
是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．随机变量
的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机
变量偏离于均值的平均程度越小；
(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
(1)若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且D(aX+b)=a2D(X)．
(2)方差公式的变形：D(X)=E(X2)-[E(X)]2．
必考题型全归纳
1 题型一：离散型随机变量
5039 (2024·高二课时练习)下列叙述中，是离散型随机变量的为 ( )
A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
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970 1043B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
5040 (2024·全国·高三专题练习)袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2
个，则可以作为随机变量的是 ( )
A.至少取到1个白球 B.取到白球的个数
C.至多取到1个白球 D.取到的球的个数
5041 (2024·全国·高三专题练习)下面是离散型随机变量的是 ( )
A.电灯泡的使用寿命X
B.小明射击1次，击中目标的环数X
C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X
D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X
5042 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共
下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3  表示 ( )
A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
5043 (2024·全国·高三专题练习)对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产
品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为 ( )
A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
5044 (2024·浙江·高三专题练习)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出
一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为
( )
A.1,2，⋯，6 B.1,2，⋯，7 C.1,2，⋯，11 D.1,2,3⋯
2 题型二：求离散型随机变量的分布列
5045 (2024·全国·高三对口高考)数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个
位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数ξ的分布列 ．
5046 (2024·全国·高三对口高考)假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台
阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数ξ的分布列是 ．
5047 (2024·全国·高三对口高考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上
标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积ξ的分布列是
．
5048 (2024·全国·高三对口高考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、
乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮
空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛
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971 10431
者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数ξ的分布列是
2
．
5049 (2024·全国·高考真题)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个
红球，则随机变量ξ的概率分布为： ．
ξ 0 1 2
P
k
5050 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的分布为Pξ=
5
 =akk=1,2,3,4,5  ，则
1 7
P <ξ<
10 10
 = ．
5051 (2024·全国·高三专题练习)将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最
多个数记为X，则X的分布列是 .
5052 (2024·全国·高三专题练习)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两
条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面
时，ξ=1，则随机变量ξ的分布列为 ．
3 题型三：离散型随机变量的分布列的性质
5053 (2024·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习)已知随机变量X服从两点分布，
且PX=0  =2a，PX=1  =a，那么a= .
5054 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的分布列如下：
ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P a a a a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
给出下列四个结论：
①当a
n

1
为等差数列时，a +a = ；
5 6 5
②当a
n

1
为等差数列时，公差0<d< ；
45
③当数列a n 
1
满足a n = 2n n=1,2,⋯,9 
1
时，a = ； 10 29
④当数列a n  满足时，Pξ≤k  =k2a k=1,2,⋯10 k 
11
时，a = n 10nn+1  .
其中所有正确结论的序号是 .
5055 (2024·全国·高三对口高考)某一随机变量ξ的概率分布如下表，且Eξ  =1.5，则m-n
的值为 ．
ξ 0 1 2 3
0. 0.
P m n
2 3
5056 (2024·河南·校联考模拟预测)已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
X 1 2 3
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972 1043P P P P
1 2 3
若EX 
5
= ，则P -P = . 3 3 1
5057 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的概率分布列为
ξ 0 1
9a2- 3-
P
a 8a
则常数a= ．
5058 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量X的分布列PX=i 
k
= i=1,2,3
2i
 ，则
PX≥2  = .
5059 (2024·上海·统考模拟预测)随机变量X的分布列如下列表格所示，其中EX  为X的数
学期望，则E X-EX    = .
X 1 2 3 4 5
0. 0.
p 0.1 a 0.1
2 3
5060 (2024·广东汕头·高三统考开学考试)已知等差数列a
n
 的公差为d，随机变量X满足
PX=i  =a i0<a i <1  ,i=1,2,3,4，则d的取值范围为 .
5061 (2024·全国·高三专题练习)已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 2 a
0. 0.
P b
2 4
若EX  <1.6，则正整数a= ．
4 题型四：离散型随机变量的均值
5062 (2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习)2022年10月16日至22日中共二十大在北京召
开，二十大报告指出，必须坚持科技是第一生产力，人才是第一资源，创新是第一动力，这
其实是我党的一贯政策．某材料学博士毕业时恰逢国家大力倡导“开辟发展新领域新赛
道，不断塑造发展新动能新优势”，于是同一帮志同道合的博士同学，在老家创办新材料公
司，专注于二氧化硅、碳纤维增强陶瓷基、树脂基三大类复合材料的研发与生产，预计到今
年年底这三大类复合材料盈利100万元的概率分别为0.8，0.5，0.4，若三大类复合材料到
今年年底是否盈利100万元相互独立，记三大类复合材料有X类到今年年底盈利100万
元，则X的数学期望EX  = ．
5063 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习)一个袋中装有5个球，编号为1，2，
3，4，5，从中任取3个，用X表示取出的3个球中最大编号，则EX  = ．
5064 (2024·全国·高三专题练习)现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000
张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张
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973 1043彩票中奖金额的均值是 元.
5065 (2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测)一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一
个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为X，则EX  = .
5066 (2024·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习)某同学在上学的路上要经过3个十字
路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为
1 1 1
， ， .
2 3 4
(1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率；
(2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记
该同学某天到校打卡时间比规定时间晚X秒，求X的分布列和数学期望.
5067 (2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)小李参加某项专业资格考试，一
共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1
个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否
则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p(0<p<1)，且每个科目每次考
试的结果互不影响．
(1)记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为fp  ，求fp  的最大值点p ． 0
(2)以(1)中确定的p 作为p的值．
0
(ⅰ)求小李这项资格考试过关的概率；
(ⅱ)若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求
EX  ．
5068 (2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)有一种双人游戏，游戏规则如
下：一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个白色小球，2个红色小球，每次
游戏双方从袋中轮流摸出1个小球，摸后不放回，摸到第2个红球的人获胜，同时结束该
次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏，且本次游戏中输掉的人在下一次
游戏中先摸球．小胡和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小胡先摸球．
(1)在第一次游戏中，求在小胡第一轮摸到白球的情况下，小胡获胜的概率；
(2)记3次游戏中小胡获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．
5069 (2024·河北保定·统考二模)某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校
每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大
赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比
赛(赛前已确定好每场的对阵同学)，比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利(即每
两个年级的比赛不一定打满5场)，若两个年级之间打成2:2则第5场比赛定胜负．已知
1
高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为 ，高三每位队员战胜高一相应对手的可
2
2 1
能性均为 ，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 ，且队员、年级之间的胜负
3 2
相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战
胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
5070 (2024·福建龙岩·统考二模)为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动
和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局
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974 1043两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连
续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加
1
赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果没有
3
平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及E(X)；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求P(Y≤5)．
5 题型五：离散型随机变量的方差
5071 (2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)设随机变量X的分布列如下：其
中a、b、c成等差数列，若EX 
1
= ，则方差DX
3
 = .
X -1 0 1
P a b c
5072 (2024·全国·高三专题练习)离散型随机变量X的分布为：
X 0 1 2 4 5
P q 0.3 0.2 0.2 0.1
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的为 ．
①EX  =2；②EY  =4；③DX  =2.8；④DY  =14．
5073 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两种零件某次性能测评的分值ξ，η的分布如下，则性
能更稳定的零件是 ．
ξ 8 9 10
0. 0. 0.
P
3 2 5
η 8 9 10
0. 0. 0.
P
2 4 4
5074 (2024·全国·高三专题练习)已知离散型随机变量ξ的分布如下表：
ξ -2 0 2
1
P a b
2
1
若随机变量ξ的期望值E(ξ)= ，则D(2ξ+1)= ．
2
5075 (2024·全国·高三对口高考)随机变量ξ的分布列如下表：
n+ n+
ξ n
1 2
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)的最大值为 .
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975 10435076 (2024·全国·高三对口高考)随机变量X的分布列如表所示，若EX 
1
= ，则D(3X-
3
2)= .
X -1 0 1
1
P a b
6
5077 (2024·北京西城·高三北京市第三十五中学校考开学考试)为了解某中学高一年级学生
身体素质情况，对高一年级的(1)班∼(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各
抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的
人数散点图如下(x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数)：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该
生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一(2)班和高一(4)班的学生中各抽出1人，设X表示2人中身体素
质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率
相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“ξ =1”表示第k班抽到的这名同学身体素
k
质优秀，“ξ =0”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀(k=1,2,...,8)．写出方差
k
Dξ 1  ,Dξ 2  ,Dξ 3  ,Dξ 4  的大小关系(不必写出证明过程)．
5078 (2024·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习)甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知
每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望(保留两位有效数字)；
(3)根据(2)的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
5079 (2024·浙江·高三专题练习)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
1 1
P p
2 3
若EX 
2
= ，
3
(1)求DX  的值;
(2)若Y=3X-2，求 DY  的值.
5080 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛，
参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10
分，回答不正确得-10分.
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976 1043(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记
甲的总得分为X，求X的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列.
5081 (2024·河南·襄城高中校联考三模)小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的
最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输
错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
5082 (2024·福建宁德·高三福建省宁德第一中学校考阶段练习)甲、乙两个学校进行体育比
赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束
后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，
各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
(3)设用Y表示甲学校的总得分，比较DX和DY的大小(直接写出结果).
5083 (2024·全国·高三专题练习)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两
位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫
(Chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设X为一个非负随机变量，其数学期望为EX  ，则对任意ε>0，均有PX≥ε  ≤
EX 
，
ε
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取
值概率与其数学期望间的关系．当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明
如下：
设X的分布列为PX=x i  =p,i=1,2,⋯,n,其中p ∈(0,+∞),x ∈[0,+∞)(i=1,2, i i i
n x
⋯,n),p =1，则对任意ε>0，P(X≥ε)=p ≤ ip =
i i ε i
i=1 xi≥ε xi≥ε
1 1 n E(X)
xp≤ xp= ，其中符号A 表示对所有满足x ≥ε的指标i所对应的A
ε i i ε i i ε i i i
xi≥ε i=1 xi≥ε
求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量X的期望为EX  ，方差为DX  ，则对任意ε>0，均有P X-EX     ≥ε  ≤
DX 
ε2
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名
患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药
厂的宣传内容是否真实可信．
6 题型六：决策问题
5084 (2024·河北·统考模拟预测)为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新
冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞
赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库
中随机出10道题，编号为A ，A ，A ，A ，⋯，A ，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，
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977 1043每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，
且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方
案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的3n名参赛选手每3人一组，分成n组，电脑随机分配给同一组的3
名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利
出线；若这n个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的3n名参赛选手每n人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的n
名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组顺利出线；若
这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
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(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为 ，每次作答结
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果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数p0<p<1  ，A班
为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
5085 (2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)从2024年起，云南省高考数学试卷中增加了多
项选择题(第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得
2分，有选错的得0分).在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率
为p，正确答案是三个选项的概率为1-p(其中0<p<1).现甲乙两名学生独立解题.
(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正
确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理
想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策(只需选择帮助一人做出决策即可).
5086 (2024·河南·校联考模拟预测)某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为
两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货
量，统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位：十盒)，获得如下数据：
日销售量/十
7 8 9 10
盒
天数 8 12 16 4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位：十盒)，求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案
中应选择哪种？
5087 (2024·江西上饶·校联考模拟预测)甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面
试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目
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且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为 ；报考乙
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公司，每门科目通过的概率依次为 , ，m，其中0<m<1．
3 5
2
(1)若m= ，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
5
(2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据
作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求m的取值范围．
5088 (2024·广西·校联考模拟预测)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘
汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在
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978 1043机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买
几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得
到其频数分布图(如图所示)．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为
1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的
易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布；
(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=17与n=18之中选其一，应选
用哪个？并说明理由．
5089 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)人工智能是研究用于模拟
和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正
在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，
然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决
策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子
有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8
个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.
1
若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 (先
2
验概率).
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案
一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案
第二次试验结束的概率更大.
5090 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)强基计划校考由试点高校自主命题，校考
过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试
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科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ；
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该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ，m，其中0<m<1．
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(1)若m= ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概
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率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期
望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
5091 (2024·全国·高三专题练习)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，
机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器
使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个
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979 1043易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其
频数分布图(如图所示).若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台
机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损
零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.求X的期望；
5092 (2024·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习)为贯彻落实党的二十大精神，
促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比
赛规则是：选手站在如图(示意图)所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子
中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同、编号不同的沙包.规定：每次沙包投进
1号、2号、3号箱分别可得3分、4分、5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最
终成绩.
(1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数；
(2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手A每次投中1号、2号、3号箱的概率依次为
0.7,0.5,0.3.已知选手A每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目
标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况.
(i)若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手A选择几号箱？
(ii)假设选手B得了23分，请你帮A设计一种可能赢B的投掷方案，并计算该方案A获
胜的概率.
5093 (2024·全国·高三专题练习)某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提
出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年
生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生
产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，
无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销
售利润为15元/件(不含一次性设备改进投资费用).
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(1)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x(同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表)；
(2)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量
的估计值，并假设每年的销售量相互独立.
①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率；
②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个
方案.(6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用)
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