第91讲离散型随机变量的分布列与数字特征_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第91讲 离散型随机变量的分布列与数字特征 知识梳理 知识点一．离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示． 在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变 量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，⋯表示． 注意： (1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所 有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． (2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，X=0表 示反面向上，X=1表示正面向上． (3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： (1)本章研究的离散型随机变量只取有限个值． (2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区 间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都 是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连 续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，⋯，x，⋯，x ，X取每一个值x(i= 1 2 i n i 1，2，⋯，n)的概率P(X=x)=p，以表格的形式表示如下： i i X x x ⋯ x ⋯ x 1 2 i n P p p ⋯ p ⋯ p 1 2 i n 我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见， 也用等式P(X=x)=p，i=1，2，⋯，n表示X的分布列． i i 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： (1)p ≥0，i=1，2，⋯，n；(2)p +p +⋯+p =1． i 1 2 n 注意： ①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参 数． ②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概 第 页 共 页 969 1043率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量X的分布列为 X x x ⋯ x ⋯ x 1 2 i n P p p ⋯ p ⋯ p 1 2 i n 称E(X)=x p +x p +⋯+xp +⋯+x p =1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离 1 1 2 2 i i n n 散型随机变量取值的平均水平． 注意：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征； (2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布 可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而 均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性 质． 2、均值的性质 (1)E(C)=C(C为常数)． (2)若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b． (3)E(X +X )=E(X)+E(X )． 1 2 1 2 (4)如果X ，X 相互独立，则E(X ⋅X )=E(X)⋅E(X )． 1 2 1 2 1 2 3、方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x x ⋯ x ⋯ x 1 2 i n P p p ⋯ p ⋯ p 1 2 i n n 则称D(X)=(x-E(X))2p 为随机变量X的方差，并称其算术平方根 D(X)为随机 i i i=1 变量X的标准差． 注意：(1)(x -E(X))2描述了x(i=1，2，⋯，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X) i i 是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．随机变量 的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机 变量偏离于均值的平均程度越小； (2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 (1)若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且D(aX+b)=a2D(X)． (2)方差公式的变形：D(X)=E(X2)-[E(X)]2． 必考题型全归纳 1 题型一：离散型随机变量 5039 (2024·高二课时练习)下列叙述中，是离散型随机变量的为 ( ) A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 第 页 共 页 970 1043B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 5040 (2024·全国·高三专题练习)袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2 个，则可以作为随机变量的是 ( ) A.至少取到1个白球 B.取到白球的个数 C.至多取到1个白球 D.取到的球的个数 5041 (2024·全国·高三专题练习)下面是离散型随机变量的是 ( ) A.电灯泡的使用寿命X B.小明射击1次，击中目标的环数X C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X 5042 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共 下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3  表示 ( ) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 5043 (2024·全国·高三专题练习)对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产 品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为 ( ) A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 5044 (2024·浙江·高三专题练习)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出 一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 ( ) A.1,2，⋯，6 B.1,2，⋯，7 C.1,2，⋯，11 D.1,2,3⋯ 2 题型二：求离散型随机变量的分布列 5045 (2024·全国·高三对口高考)数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个 位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数ξ的分布列 ． 5046 (2024·全国·高三对口高考)假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台 阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数ξ的分布列是 ． 5047 (2024·全国·高三对口高考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上 标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积ξ的分布列是 ． 5048 (2024·全国·高三对口高考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、 乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮 空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛 第 页 共 页 971 10431 者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数ξ的分布列是 2 ． 5049 (2024·全国·高考真题)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个 红球，则随机变量ξ的概率分布为： ． ξ 0 1 2 P k 5050 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的分布为Pξ= 5  =akk=1,2,3,4,5  ，则 1 7 P <ξ< 10 10  = ． 5051 (2024·全国·高三专题练习)将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最 多个数记为X，则X的分布列是 . 5052 (2024·全国·高三专题练习)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两 条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面 时，ξ=1，则随机变量ξ的分布列为 ． 3 题型三：离散型随机变量的分布列的性质 5053 (2024·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习)已知随机变量X服从两点分布， 且PX=0  =2a，PX=1  =a，那么a= . 5054 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的分布列如下： ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P a a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 给出下列四个结论： ①当a n  1 为等差数列时，a +a = ； 5 6 5 ②当a n  1 为等差数列时，公差00，均有PX≥ε  ≤ EX  ， ε 马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取 值概率与其数学期望间的关系．当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明 如下： 设X的分布列为PX=x i  =p,i=1,2,⋯,n,其中p ∈(0,+∞),x ∈[0,+∞)(i=1,2, i i i n x ⋯,n),p =1，则对任意ε>0，P(X≥ε)=p ≤ ip = i i ε i i=1 xi≥ε xi≥ε 1 1 n E(X) xp≤ xp= ，其中符号A 表示对所有满足x ≥ε的指标i所对应的A ε i i ε i i ε i i i xi≥ε i=1 xi≥ε 求和． 切比雪夫不等式的形式如下： 设随机变量X的期望为EX  ，方差为DX  ，则对任意ε>0，均有P X-EX     ≥ε  ≤ DX  ε2 (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名 患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药 厂的宣传内容是否真实可信． 6 题型六：决策问题 5084 (2024·河北·统考模拟预测)为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新 冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞 赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库 中随机出10道题，编号为A ，A ，A ，A ，⋯，A ，电脑依次出题，参赛选手按规则作答， 1 2 3 4 10 第 页 共 页 977 1043每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数， 且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方 案中任选一种参赛： 方案一：将班级选派的3n名参赛选手每3人一组，分成n组，电脑随机分配给同一组的3 名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利 出线；若这n个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛. 方案二：将班级选派的3n名参赛选手每n人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的n 名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组顺利出线；若 这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛. 4 (1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为 ，每次作答结 5 果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差； (2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数p0