第91讲离散型随机变量的分布列与数字特征_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第91讲 离散型随机变量的分布列与数字特征 知识梳理 知识点一．离散型随机变量的分布列 1、随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示． 在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变 量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，⋯表示． 注意： (1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所 有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验． (2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，X=0表 示反面向上，X=1表示正面向上． (3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2、离散型随机变量 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量． 注意： (1)本章研究的离散型随机变量只取有限个值． (2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区 间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都 是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连 续型随机变量的结果不能一一列出． 3、离散型随机变量的分布列的表示 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，⋯，x，⋯，x ，X取每一个值x(i= 1 2 i n i 1，2，⋯，n)的概率P(X=x)=p，以表格的形式表示如下： i i X x x ⋯ x ⋯ x 1 2 i n P p p ⋯ p ⋯ p 1 2 i n 我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见， 也用等式P(X=x)=p，i=1，2，⋯，n表示X的分布列． i i 4、离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： (1)p ≥0，i=1，2，⋯，n；(2)p +p +⋯+p =1． i 1 2 n 注意： ①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参 数． ②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概 第 页 共 页 3257 3427率． 知识点二．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量X的分布列为 X x x ⋯ x ⋯ x 1 2 i n P p p ⋯ p ⋯ p 1 2 i n 称E(X)=x p +x p +⋯+xp +⋯+x p =1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离 1 1 2 2 i i n n 散型随机变量取值的平均水平． 注意：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征； (2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布 可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而 均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性 质． 2、均值的性质 (1)E(C)=C(C为常数)． (2)若Y=aX+b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b． (3)E(X +X )=E(X)+E(X )． 1 2 1 2 (4)如果X ，X 相互独立，则E(X ⋅X )=E(X)⋅E(X )． 1 2 1 2 1 2 3、方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x x ⋯ x ⋯ x 1 2 i n P p p ⋯ p ⋯ p 1 2 i n n 则称D(X)=(x-E(X))2p 为随机变量X的方差，并称其算术平方根 D(X)为随机 i i i=1 变量X的标准差． 注意：(1)(x -E(X))2描述了x(i=1，2，⋯，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X) i i 是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．随机变量 的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机 变量偏离于均值的平均程度越小； (2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 (1)若Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且D(aX+b)=a2D(X)． (2)方差公式的变形：D(X)=E(X2)-[E(X)]2． 必考题型全归纳 1 题型一：离散型随机变量 5039 (2024·高二课时练习)下列叙述中，是离散型随机变量的为 ( ) A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 第 页 共 页 3258 3427B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 【答案】C 【解析】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向 上的次数之和为5，是常量，A错误； 对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误； 对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是 离散型随机变量，C正确； 对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误. 故选：C. 5040 (2024·全国·高三专题练习)袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2 个，则可以作为随机变量的是 ( ) A.至少取到1个白球 B.取到白球的个数 C.至多取到1个白球 D.取到的球的个数 【答案】B 【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项， 其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个，ACD错误； 故选：B. 5041 (2024·全国·高三专题练习)下面是离散型随机变量的是 ( ) A.电灯泡的使用寿命X B.小明射击1次，击中目标的环数X C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X 【答案】B 【解析】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题 意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数X是变量，且其取值为0,1,2,...,10，故X为离散 型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X是变量，但无法一一列 举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X是变量，但无法一一列举出 其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 5042 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共 下三局．用ξ表示甲的得分，则ξ=3  表示 ( ) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以ξ=3  有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 第 页 共 页 3259 3427故选：D． 5043 (2024·全国·高三专题练习)对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产 品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为 ( ) A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 【答案】D 【解析】由题意ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测 到的都是正品，第k+1次检测的是一件次品. 故选D. 5044 (2024·浙江·高三专题练习)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出 一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为 ( ) A.1,2，⋯，6 B.1,2，⋯，7 C.1,2，⋯，11 D.1,2,3⋯ 【答案】B 【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随 机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球. 2 题型二：求离散型随机变量的分布列 5045 (2024·全国·高三对口高考)数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个 位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数ξ的分布列 ． 【答案】 ξ 0 1 2 4 3 1 1 1 P 8 3 4 24 【解析】ξ的可能取值是0、1、2、4， 3×3 3 C1×2 1 P(ξ=0)= = ，P(ξ=1)= 4 = ， A4 8 A4 3 4 4 C2 1 1 1 P(ξ=2)= 4 = ，P(ξ=4)= = . A4 4 A4 24 4 4 ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 4 3 1 1 1 P 8 3 4 24 故答案为： ξ 0 1 2 4 3 1 1 1 P 8 3 4 24 第 页 共 页 3260 34275046 (2024·全国·高三对口高考)假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台 阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数ξ的分布列是 ． 【答案】 ξ 1 3 5 7 9 11 1 35 7 1 5 1 P 24 144 18 4 72 144 【解析】据题意，ξ的可能取值为1，3，5，7，9，11， ξ=1时，还需走5个两阶，共六步走完，所以共有C1=6种不同的走法； 6 同理，ξ=3时，有C3=35种；ξ=5时，有C5=56种；ξ=7时，有C7=36种； 7 8 9 ξ=9时，有C9 =10种；ξ=11时，有1种， 10 所以，走完这段楼梯共有6+35+56+36+10+1=144种不同的走法． Pξ=1  6 1 = = ，Pξ=3 144 24  35 = ，Pξ=5 144  56 7 = = ， 144 18 Pξ=7  36 1 = = ，Pξ=9 144 4  10 5 = = ，Pξ=11 144 72  1 = ， 144 ξ的分布列如下： ξ 1 3 5 7 9 11 1 35 7 1 5 1 P 24 144 18 4 72 144 故答案为： ξ 1 3 5 7 9 11 1 35 7 1 5 1 P 24 144 18 4 72 144 5047 (2024·全国·高三对口高考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上 标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积ξ的分布列是 ． 【答案】 ξ 0 1 2 4 3 1 1 1 P 4 9 9 36 3 1 【解析】将这个小正方体抛掷1次，则向上的数为0的概率为 = ；向上的数为1的概 6 2 2 1 1 率为 = ；向上的数为2的概率为 ． 6 3 6 将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积ξ可能为0,1,2,4， 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 P(ξ=0)= × + × ×2+ × ×2= ，P(ξ=1)= × = ， 2 2 2 3 2 6 4 3 3 9 1 1 1 1 1 1 P(ξ=2)= × ×2= ，P(ξ=4)= × = ， 3 6 9 6 6 36 则ξ的分布列是 ξ 0 1 2 4 3 1 1 1 P 4 9 9 36 第 页 共 页 3261 3427故答案为： ξ 0 1 2 4 3 1 1 1 P 4 9 9 36 5048 (2024·全国·高三对口高考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、 乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮 空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛 1 者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数ξ的分布列是 2 ． 【答案】 ξ 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 P 2 4 8 16 16 【解析】分别记A i ,B i ,C i 为甲、乙、丙在第i局获胜，则PA i  =PB i  =PC i  1 = . 2 由已知，ξ可取2,3,4,5,6. ξ=2表示事件“甲连胜两局”或“乙连胜两局”， 所以Pξ=2  =PA 1 A 2  +PB 1 B 2  1 1 1 1 1 = × + × = . 2 2 2 2 2 ξ=3表示事件“甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜丙胜”， 所以Pξ=3  =PA 1 C 2 C 3  +PB 1 C 2 C 3  1 1 1 1 1 1 1 = × × + × × = . 2 2 2 2 2 2 4 ξ=4表示事件“甲胜丙胜乙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜甲胜”， 所以Pξ=4  =PA 1 C 2 B 3 B 4  +PB 1 C 2 A 3 A 4  1 1 1 1 1 1 1 1 = × × × + × × × = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 8 ξ=5表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜甲胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜乙胜”， 所以Pξ=5  =PA 1 C 2 B 3 A 4 A 5  +PB 1 C 2 A 3 B 4 B 5  1 1 1 1 1 1 1 = × × × × + × × 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 × × = . 2 2 2 16 ξ=6表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜 丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”， 所以Pξ=6  =PA 1 C 2 B 3 A 4 C 5 C 6  +PB 1 C 2 A 3 B 4 C 5 C 6  +PA 1 C 2 B 3 A 4 C 5 B 6  + PB 1 C 2 A 3 B 4 C 5 A 6  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × × × × × + × × × × × + × 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 × × × × + × × × × × = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 所以，ξ的分布列是 ξ 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 P 2 4 8 16 16 . 故答案为： 第 页 共 页 3262 3427ξ 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 P 2 4 8 16 16 . 5049 (2024·全国·高考真题)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个 红球，则随机变量ξ的概率分布为： ． ξ 0 1 2 P 【答案】见解析 【解析】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知： Pξ=0  C2 1 = 2 = ， C2 10 5 Pξ=1  C1⋅C1 3 = 3 2 = C2 5 5 Pξ=2  C2 3 = 3 = C2 10 5 故答案为： ξ 0 1 2 1 3 3 P 10 5 10 k 5050 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的分布为Pξ= 5  =akk=1,2,3,4,5  ，则 1 7 P <ξ< 10 10  = ． 2 【答案】 /0.4/40% 5 1 2 3 4  1 【解析】由题意知，ξ的分布为  5 5 5 5 a 2a 3a 4a 5a  ， 1 所以a+2a+3a+4a+5a=1，解得a= ， 15 1 7 所以P <ξ< 10 10  1 =Pξ= 5  2 +Pξ= 5  3 +Pξ= 5  1 2 3 2 = + + = ， 15 15 15 5 2 故答案为： ． 5 5051 (2024·全国·高三专题练习)将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最 多个数记为X，则X的分布列是 . 【答案】 X 1 2 3 3 9 1 P 8 16 16 【解析】由题意知X的可能取值为1，2，3 PX=1  A3 3 = 4 = ；PX=2 43 8  C2A2 9 = 3 4 = ；PX=3 43 16  A1 1 = 4 = 43 16 第 页 共 页 3263 3427故答案为： X 1 2 3 3 9 1 P 8 16 16 5052 (2024·全国·高三专题练习)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两 条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面 时，ξ=1，则随机变量ξ的分布列为 ． 【答案】 ξ 0 1 2 4 6 1 P 11 11 11 【解析】正方体的12条棱中任取两条共有C2 种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体 12 的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有8C2对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离 3 为1或 2，而距离为 2的共有6对，ξ的可能取值为0，1， 2，分别求出其概率即可.ξ 的可能取值为0，1， 2. 若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以 8C2 4 P(ξ=0)= 3 = ， C2 11 12 若两条棱平行，则它们的距离为1或 2，而距离为 2的共有6对， 6 1 则P(ξ= 2)= = ， C2 11 12 4 1 6 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1- - = ， 11 11 11 所以随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 4 6 1 P 11 11 11 故答案为： ξ 0 1 2 4 6 1 P 11 11 11 【解题方法总结】 求解离散型随机变量分布列的步骤： (1)审题 (2)计算 计算随机变量取每一个值的概率 (3)列表 列出分布列，并检验概率之和是否为1. (4)求解 根据均值、方差公式求解其值. 第 页 共 页 3264 34273 题型三：离散型随机变量的分布列的性质 5053 (2024·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习)已知随机变量X服从两点分布， 且PX=0  =2a，PX=1  =a，那么a= . 1 【答案】 3 【解析】由题意可知PX=0  +PX=1  1 =2a+a=1，解得a= . 3 1 故答案为： . 3 5054 (2024·全国·高三专题练习)设随机变量ξ的分布列如下： ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P a a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 给出下列四个结论： ①当a n  1 为等差数列时，a +a = ； 5 6 5 ②当a n  1 为等差数列时，公差00， 2 当 Dξ >Dξ ， 4 2 1 3 理由：由于Pξ 1 =1  =0.8,Pξ 2 =1  =0.6,Pξ 3 =1  =0.9,Pξ 4 =1  =0.4, 且ξ 服从二点分布，所以Dξ k k  =Pξ k  1-Pξ k    =- Pξ k  1  - 2  2 1 + ， 4 由于Pξ 3 =1  >Pξ 1 =1  =0.8>Pξ 2 =1  1 =0.6> 2 >Pξ 4 =1  =0.4,Dξ k  = - Pξ k  1  - 2  2 1 1 + 在 ,1 4 2  单调递减， 所以Dξ 4  =Dξ 2  >Dξ 1  >Dξ 3  . 5078 (2024·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习)甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知 每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”. (1)求这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛甲所胜局数的数学期望(保留两位有效数字)； (3)根据(2)的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差. 【解析】(1)甲胜利的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜. 甲胜概率为：(0.6)2+C1(0.4)×(0.6)2=1.8×(0.6)2=0.648. 2 则甲胜利的概率为0.648. (2)设甲所胜的局数为X，X=0,1,2. P(X=0)=0.42=0.16，P(X=1)=C1⋅0.6×0.42=1.2×0.16=0.192， 2 P(X=2)=0.62+C1⋅0.4×0.62=1.8×0.36=0.648， 2 则分布列为： X 0 1 2 0.64 P 0.16 0.192 8 所以E(X)=0.16×0+0.192×1+0.648×2=1.488≈1.5. (3)D(X)=0.16×(0-1.5)2+0.192×(1-1.5)2+0.648×(2-1.5)2=0.57. 5079 (2024·浙江·高三专题练习)已知随机变量X的分布列为 第 页 共 页 3276 3427X 0 1 x 1 1 P p 2 3 若EX  2 = ， 3 (1)求DX  的值; (2)若Y=3X-2，求 DY  的值. 1 1 + +p=1 2 3 【解析】(1)由题意可得： EX   p= 1  ，解得 6 ， 1 1 2 =0× +1× +xp= x=2 2 3 3 所以DX  2 =0- 3  2 1 2 × +1- 2 3  2 1 2 × +2- 3 3  2 1 5 × = . 6 9 (2)因为Y=3X-2，则DY  =9DX  =5， 所以 DY  = 5. 5080 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛， 参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10 分，回答不正确得-10分. (1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记 甲的总得分为X，求X的期望和方差； (2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列. 【解析】(1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ∼B4,0.8  ，所以X=10ξ-104-ξ  =20ξ- 40， 所以EX  =20Eξ  -40=20×4×0.8-40=24； DX  =400Dξ  =400×4×0.8×0.2=256. (2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N=10，M=6，n=4的超几何分布， 且Y=10η-104-η  =20η-40， 所以PY=-40  =Pη=0  C4C0 1 = 4 6 = ，PY=-20 C4 210 10  =Pη=1  C3C1 4 = 4 6 = ， C4 35 10 PY=0  =Pη=2  C2C2 3 = 4 6 = ，PY=20 C4 7 10  =Pη=3  C1C3 8 = 4 6 = ， C4 21 10 PY=40  =Pη=4  C0C4 1 = 4 6 = ， C4 14 10 所以Y的概率分布为 -2 Y -40 0 20 40 0 1 4 3 8 1 P 210 35 7 21 14 5081 (2024·河南·襄城高中校联考三模)小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的 最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输 错三次银行卡被锁定为止． (1)求小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差． 【解析】(1)设“小王的该银行卡被锁定”为事件A， 第 页 共 页 3277 3427则PA  9 8 7 7 = × × = ． 10 9 8 10 (2)由题意，X的所有可能取值为1，2，3， 则PX=1  1 = ，PX=2 10  9 1 1 = × = ，PX=3 10 9 10  9 8 4 = × ×1= ， 10 9 5 所以X的分布列为 X 1 2 3 1 1 4 P 10 10 5 所以数学期望EX  1 1 4 27 =1× +2× +3× = ， 10 10 5 10 方差DX  27 =1- 10  2 1 27 × +2- 10 10  2 1 27 × +3- 10 10  2 4 41 × = ． 5 100 5082 (2024·福建宁德·高三福建省宁德第一中学校考阶段练习)甲、乙两个学校进行体育比 赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束 后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， 各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望. (3)设用Y表示甲学校的总得分，比较DX和DY的大小(直接写出结果). 【解析】(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场 比赛获胜的概率如下表： 第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛 甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8 乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2 甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场， ①甲学校3场全胜，概率为：P =0.5×0.4×0.8=0.16， 1 ②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P =0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4 2 ×0.8=0.44， 所以甲学校获得冠军的概率为：P=P +P =0.6； 1 2 (2)乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为： P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16， P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44， P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34， P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06， 则X的分布列为： X 0 10 20 30 P 0.16 0.4 0.3 0.0 4 4 6 X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13； (3)甲学校的总得分Y的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为： P(Y=0)=0.5×0.6×0.2=0.06， 第 页 共 页 3278 3427P(Y=10)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34， P(Y=20)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44， P(Y=30)=0.5×0.4×0.8=0.16， 则Y的分布列为： Y 0 10 20 30 P 0.0 0.3 0.4 0.16 6 4 4 Y的期望EY=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17； 故DY=0-17  2×0.06+10-17  2×0.34+20-17  2×0.44+30-17  2×0.16=65， 由(2)可得DX=0-13  2×0.16+10-13  2×0.44+20-13  2×0.34+30-13  2× 0.06=65， 故DX=DY. 5083 (2024·全国·高三专题练习)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两 位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫 (Chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下： 设X为一个非负随机变量，其数学期望为EX  ，则对任意ε>0，均有PX≥ε  ≤ EX  ， ε 马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取 值概率与其数学期望间的关系．当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明 如下： 设X的分布列为PX=x i  =p,i=1,2,⋯,n,其中p ∈(0,+∞),x ∈[0,+∞)(i=1,2, i i i n x ⋯,n),p =1，则对任意ε>0，P(X≥ε)=p ≤ ip = i i ε i i=1 xi≥ε xi≥ε 1 1 n E(X) xp≤ xp= ，其中符号A 表示对所有满足x ≥ε的指标i所对应的A ε i i ε i i ε i i i xi≥ε i=1 xi≥ε 求和． 切比雪夫不等式的形式如下： 设随机变量X的期望为EX  ，方差为DX  ，则对任意ε>0，均有P X-EX     ≥ε  ≤ DX  ε2 (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名 患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药 厂的宣传内容是否真实可信． 【解析】(1)法一：对非负离散型随机变量 X-EX    2及正数ε2使用马尔科夫不等式， 有P X-EX     ≥ε  =P X-EX     2≥ε2  E X-EX ≤    2 DX = ε2  ． ε2 法二：设X的分布列为 PX=x i  =p,i=1,2,⋯,n, i n 其中p i ,x i ∈(0,+∞)(i=1,2,⋯,n),p i =1，记μ=EX i=1  ，则对任意ε>0， P X-μ   ≥ε  = ∑ xi-μ  P≤ ∑ i ≥ε xi-μ  x i -μ ≥ε  2 1 P= ∑ ε2 i ε2 xi-μ  x i -μ ≥ε  1 n 2P i ≤ ε2 ∑ i=1 x i -μ  2P= i 第 页 共 页 3279 3427DX  . ε2 (2)设在100名患者中治愈的人数为X．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观 真实的， 那么在此假设下，X∼B100,0.8  ,EX  =100×0.8=80,DX  =100×0.8×1-0.8  =16． 由切比雪夫不等式，有PX≤60  ≤P X-80   ≥20  DX ≤  =0.04． 202 即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信． 【解题方法总结】 均值与方差性质的应用若X是随机变量，则η=f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望 和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算． 6 题型六：决策问题 5084 (2024·河北·统考模拟预测)为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新 冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞 赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库 中随机出10道题，编号为A ，A ，A ，A ，⋯，A ，电脑依次出题，参赛选手按规则作答， 1 2 3 4 10 每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数， 且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方 案中任选一种参赛： 方案一：将班级选派的3n名参赛选手每3人一组，分成n组，电脑随机分配给同一组的3 名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利 出线；若这n个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛. 方案二：将班级选派的3n名参赛选手每n人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的n 名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组顺利出线；若 这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛. 4 (1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为 ，每次作答结 5 果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差； (2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数p00,3-2p>1， 故3-2p  n>1,00， 则fn+1  -fn  >0，即fn+1  >fn  ， 故fn  =3-2p  n+2pn-3,n∈N∗为单调增函数， 因为f(1)=3-2p+2p-3=0， 由于各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，即n≥6， 此时fn  ≥f6  >f1  =0⇒P >P 1 2 故A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛. 5085 (2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)从2024年起，云南省高考数学试卷中增加了多 项选择题(第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分).在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率 为p，正确答案是三个选项的概率为1-p(其中0 ，2> . 3 3 ∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩. 若为乙出方案. 则乙可能的选项个数为：1，2，3. 记B 1 表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则EB 1  1 =0×p× 3  +2× 2 p× +1-p 3    ×1   2 =2- p 3 记B 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5， 2 此时EB 2  2 =0×p× 3  +2×1-p  1 p ×1+5×p× =2- . 3 3 记B 3 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时EB 3  =0×p+5×1-p  ×1= 5-5p. 2 p ∵2- p<2- . 3 3 p 2- -5-5p 3  14p-9 = 3 9 ∴当 156，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒． 5087 (2024·江西上饶·校联考模拟预测)甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面 试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目 1 且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为 ；报考乙 2 1 3 公司，每门科目通过的概率依次为 , ，m，其中0E(X)，则 > ， 15 2 17 17 故 3810，所以当n=18时所需费用的期望值小于n=17时所需费用的期望值， 故应选n=18． 第 页 共 页 3284 34275089 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)人工智能是研究用于模拟 和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正 在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率， 然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决 策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子 有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8 个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验. 1 若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 (先 2 验概率). (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案 一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案 第二次试验结束的概率更大. 【解析】(1)设试验一次“，取到甲袋”为事件A“，取到乙袋”为事件A“，试验结果为红球” 1 2 为事件B“，试验结果为白球”为事件B ， 1 2 (1)PB 1  =PA 1  PB 1A 1  +PA 2  PB 1A 2  1 9 1 2 11 = × + × = . 2 10 2 10 20 11 所以试验一次结果为红球的概率为 . 20 (2)①因为B 1 ，B 2 是对立事件，PB 2  =1-PB 1  9 = ， 20 所以PA 1B 2  = PA 1 B 2  PB 2  = PB 2A 1  PA 1  PB 2  1 1 × 10 2 1 = = ， 9 9 20 1 所以选到的袋子为甲袋的概率为 . 9 ②由①得PA 2B 2  =1-PA 1B 2  1 8 =1- = ， 9 9 所以方案一中取到红球的概率为： P 1 =PA 1B 2  PB 1A 1  +PA 2B 2  PB 1A 2  1 9 8 2 5 = × + × = ， 9 10 9 10 18 方案二中取到红球的概率为： P 2 =PA 2B 2  PB 1A 1  +PA 1B 2  PB 1A 2  8 9 1 2 37 = × + × = ， 9 10 9 10 45 37 5 因为 > ，所以方案二中取到红球的概率更大. 45 18 5090 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)强基计划校考由试点高校自主命题，校考 过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试 1 科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为 ； 2 1 2 该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ，m，其中0E(X)，则 +m> ，故 EY>EY 1 2 3 ∴建议选手A选择1号箱. (ii)方案一：A连续5次选择投掷3号箱 3 A最终获胜的概率为P= 10  5 243 = =0.00243. 100000 方案二：A前4次均选择投掷3号箱，第5次投2号箱 3 A最终获胜的概率为P= 10  4 1 81 × = =0.00405 2 20000 5093 (2024·全国·高三专题练习)某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提 出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年 生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生 产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示， 无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销 售利润为15元/件(不含一次性设备改进投资费用).  (1)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数x(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表)； (2)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量 的估计值，并假设每年的销售量相互独立. ①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率； ②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个 方案.(6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用)  【解析】(1)年销量的平均数x=0.05×12+0.35×16+0.3×20+0.2×24+0.1×28= 19.8(万件). 第 页 共 页 3288 3427(2)①该产品的销售利润为15元/件， 由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万， 所以年销售利润不低于270万的概率P=0.3+0.2+0.1=0.6. ②设甲方案的年销售量为X万件，由(1)可知甲方案的年销售量的期望E(X)=19.8， 所以甲方案6年的净利润的期望值为19.8×15×6-1000=782(万元). 设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为 Y 12 16 20 0.0 0.3 0. P 5 5 6 所以乙方案的年销售量期望E(Y)=0.05×12+0.35×16+0.6×20=18.2(万件)， 所以乙方案6年的净利润的期望值为18.2×15×6-700=938(万元)， 因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值， 所以企业应该选择乙方案. 【解题方法总结】 均值与方差在决策中的应用 (1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值 的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依 据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． (2)两种应用策略 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离 散程度或者稳定程度，进而进行决策 第 页 共 页 3289 3427