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第93讲 概率与统计的综合应用
必考题型全归纳
1 题型一：决策问题
5182 (2024·甘肃兰州·高三兰化一中校考期中)据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校
考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门
考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀
1 1 2
的概率均为 ，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为 ， ，n，其中0
3 6 5
2且m∈N* 人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入
住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ.记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p.
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1014 1043(i)试用含m的代数式表示p;
(ii)若一共询问了5组，用gp 表示恰有3组被标为的概率，试求gp 的最大值及此时
m的值.
5200 (2024·全国·高三专题练习)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教
育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，
三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进
行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如
下：比赛中以3:0或3:1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3:2取胜的
队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜
的概率均为p(00，
均有P X-EX ≥ε
DX
≤
.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为
ε2
80%，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果
相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的
宣传内容是否真实可信.
5228 (2024·江苏镇江·高三统考开学考试)卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“混采检
测”或“逐一检测”的形式进行，某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知6只动物中有1
只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动
物，下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止.
方案乙：先取4只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只动物的血液再逐个化
验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的2只动物再逐个化验，直到查出患病动
物.
(1)用X表示依方案甲所需化验次数，求变量X的期望；
(2)求依方案甲所需化验次数少于依方案乙所需化验次数的概率.
5229 (2024·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试)某单位有12000名职工，通过抽验筛查
一种疾病的患者．假设患疾病的人在当地人群中的比例为p01且为12000的正因数)人一组分组，然后将各组k个人的血样混合再化验.如果
混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的
血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.设该种方法需要化验的总次数为X.
(1)当EX ≥12000时，求p的取值范围并解释其实际意义；
(2)现对混管血样逐一化验，至化验出阳性样本时停止，最多化验R次.记W为混管的化
验次数，当R足够大时，证明：EW
1
<
1-1-p
；
k
(3)根据经验预测本次检测时个人患病的概率p ，当k=6时，按照p 计算得混管数量Y
0 0
的期望EY =400；某次检验中Y=440，试判断个人患病的概率为p 是否合理.(如果 0 0
2PY≥Y 0 <0.05，则说明假设不合理)．
附：若X~Nμ,σ2 ，则P X-μ <σ ≈0.6827，P X-μ <2σ ≈0.9545，P X-μ <3σ
≈0.9973.
5230 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)某研究小组经过研究发现某种疾病的
患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，已知该疾病的患病率为5%，经过大量调
查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
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1025 1043利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于
或等于c的人判定为阴性.将患病者判定为阴性或将未患病者判定为阳性均为误诊.假设
数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当临界值c=97.5时，已知某人是患病者，求该人被误诊的概率；
(2)当c∈95,105 时，求利用该指标作为检测标准的误诊率fc 的解析式，并求使
fc c∈95,105 最小的临界值c.
5231 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)某研究小组经过研究发现某种疾
病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和
未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于
或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以
事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率pc =0.5％时，求临界值c和误诊率qc ；
(2)设函数fc =pc +qc ，当c∈95,105 时，求fc 的解析式，并求fc 在区间
95,105 的最小值．
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1026 10435232 (2024·全国·高三专题练习)概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两
位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫
(Chebyshev)不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设X为一个非负随机变量，其数学期望为EX ，则对任意ε>0，均有PX≥ε ≤
EX
，
ε
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取
值概率与其数学期望间的关系．当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明
如下：
设X的分布列为PX=x i =p,i=1,2,⋯,n,其中p ∈(0,+∞),x ∈[0,+∞)(i=1,2, i i i
n x
⋯,n),p =1，则对任意ε>0，P(X≥ε)=p ≤ ip =
i i ε i
i=1 xi≥ε xi≥ε
1 1 n E(X)
xp≤ xp= ，其中符号A 表示对所有满足x ≥ε的指标i所对应的A
ε i i ε i i ε i i i
xi≥ε i=1 xi≥ε
求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量X的期望为EX ，方差为DX ，则对任意ε>0，均有P X-EX ≥ε ≤
DX
ε2
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名
患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药
厂的宣传内容是否真实可信．
11 题型十一：建议问题
5233 (2024·全国·高三专题练习)H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分
布直方图(如图1)，考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1
(该预测价格与亩产量互不影响).
明年冬小麦统一收购价格(单位：元/kg) 2.4 3
概率 0.4 0.6
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
(1)试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；
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1027 1043(2)设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；
(3)H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬
小麦产量平均增加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该
项技术改良？并说明理由.
5234 (2024·北京·高三北京市第一六一中学校考期中)某校为了鼓励学生热心公益，服务社
会，成立了“慈善义工社”.本学期该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机
会，学生可通过网络平台报名并参加该活动.活动结束后，为了解学生实际参加这4次活
动的情况，从全校4000名学生中随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中
“√表示参加，“×”表示未参加.
公益活动
第1次 第2次 第3次 第4次
学生人数
30 × × √ √
20 × √ × √
15 √ √ √ √
12 √ √ √ ×
10 × √ × ×
a √ × × ×
b × × × ×
根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加.
(1)求a,b的值；
(2)若学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生在本学期
活动中获得的公益积分为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
(3)如果你是该校“慈善义工社”的负责人之一，那么根据表格中的数据，在安排下学期的
公益活动时你会提出什么改进建议？并说明理由.
5235 (2024·北京东城·高三景山学校校考开学考试)汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的
出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租
天数，统计数据如下表：
A型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
B型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好
是A型车的概率；
(2)根据这个星期的统计数据(用频率估计概率)，求该公司一辆A型车，一辆B型车一周
内合计出租天数恰好为4天的概率；
(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买
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1028 1043一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
5236 (2024·湖北武汉·统考三模)某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种
核酸检测方案：
方案一：4人一组，采样混合后进行检测；
方案二：2人一组，采样混合后进行检测；
若混合样本检测结果呈阳性，则对该组所有样本全部进行单个检测；若混合样本检测结果
呈阴性，则不再检测.
(1)某家庭有6人，在采取方案一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下4人
组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；
(2)假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01，每个人核酸检测结果相互独立，分别求
该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望.以较少检测次数为依据，你建议选
择哪种方案？
(附：0.992≈0.98，0.994≈0.96)
5237 (2024·全国·高三专题练习)机动车辆保险即汽车保险(简称车险)，是指对机动车辆由于
自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车
辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分．经验表明新车商
业险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：
购车价格x(万元) 5 10 15 20 25 30 35
商业险保费y(元) 1737 2077 2417 2757 3097 3622 3962
(1)根据表中数据，求y关于x的线性回归方程(精确到0.01)；
(2)某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上一年没有出险，则下
一年保费倍率为85%，上一年出险一次，则下一年保费倍率为100%，上一年出险两次，则
下一年保费倍率为125%．太原王女士2022年1月购买了一辆价值32万元的新车．若该
车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，王女士到汽车维修店询价，预计修车费用
为800元，理赔人员建议王女士自费维修(即不出险)，你认为王女士是否应该接受该建
议？请说明理由．(假设车辆2022年与2024年都购买相同的商业险产品)
7 7
参考数据：xy =445605,y=2809.86,x2=3500．
i i i
i=1 i=1
n
x-x
i
参考公式：b= i=1
y-y
i
n
x-x
i
i=1
n
xy-nxy
i i
= i=1 ．
n
2 x2-nx2
i
i=1
5238 (2024·全国·高三专题练习)为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身、处世、治国、理政等
方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校
举行传统文化知识竞赛活动.竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题.其中每答对1题
“儒”题得10分，答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错扣5分.每位参加竞赛的同学
从这两类题中共抽出4题回答(每个题抽后不放回)，要求“道”题中至少抽2题作答.已知
2
小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为 .
5
(1)若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率；
(2)若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题
中抽取几道题作答？
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1029 104312 题型十二：概率与数列递推问题
5239 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模
型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态
的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1，n-2，n-3，⋯次状态无关，即
P X n+1 ⋯,X ,X ,X n-2 n-1 n =PX n+1X n .已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子
中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n次
这样的操作.记甲盒子中黑球个数为X ，恰有2个黑球的概率为a ，恰有1个黑球的概率
n n
为b .
n
(1)求a ，b 和a ，b ；
1 1 2 2
6
(2)证明：2a +b -
n n 5
为等比数列(n≥2且n∈N*)；
(3)求X 的期望(用n表示，n≥2且n∈N*).
n
5240 (2024·全国·高三专题练习)甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，
上一局的负者下一局先掷．问：
(1)第一局甲胜的概率；
(2)第n局甲胜的概率．
5241 (2024·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模)在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相
约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②
第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中
对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．
1 3
已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、乙胜丁的概率均为 ，甲胜丁的概率
2 5
2
为 ．
3
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
5242 (2024·湖北武汉·高三统考开学考试)有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第
一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出
一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后
从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记p 为从第i个箱子中取出黄球的概率.
i
(1)求p ,p ；
2 3
(2)求p .
20
5243 (2024·江西·校联考二模)文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红
笔.某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支
笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红
笔全部抽出.
(1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；
(2)抽取3次后，记取出红笔的数量为X，求随机变量X的分布列；
(3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n次抽取中抽出第2支红笔
的概率为P，求P 的通项公式.
n n
5244 (2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测)2022年12月18日，第二十二届男足世
界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后
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1030 1043两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球(比分3∶
3)再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36
年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结
1
果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为 ，求预测正确的人数X的分布列和期望；
2
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队
友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1
人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传
出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为P，求P．
n n
5245 (2024·全国·高三专题练习)某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗
词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2
个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在
10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个
回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的
机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为P，若P =1．
n 1
①求P，P；
2 3
1
②证明：数列P -
n 4
为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能
性的大小．
13 题型十三：硬币问题
5246 (2024·河北张家口·高三统考开学考试)同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关
卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可
以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通
2
过关卡的概率均为 ，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．
3
(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；
(2)同学甲成功通过关卡的个数为ξ，求ξ的分布列．
5247 (2024·江西·高三统考阶段练习)草莓具有较高的营养价值、医疗价值和生态价值.草莓
浆果芳香多汁，营养丰富，素有“水果皇后”的美称.某草莓园统计了最近100天的草莓日
销售量(单位：千克)，数据如下所示.
销售量区间 天数
150,200 20
200,250 25
250,300 10
300,350 40
350,400 5
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1031 1043(1)求a的值及这100天草莓日销售量的平
均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(2)该草莓的售价为60元每千克，为了增加草莓销售量，该草莓园推出“玩游戏，送优惠”
活动，有以下两种游戏方案供顾客二选一.
游戏一：不透明盒子里装有2个红球，4个黑球，顾客从中不放回摸出3个球，每摸出一个
红球每千克草莓优惠3元，摸出黑球不优惠.
游戏二：一张纸板共画了11个同心圆，圆心处标记数字0，从内到外的圆环内依次标记数
字1到10，在圆心处有一颗骰子，顾客抛掷硬币决定骰子从圆心向外环移动，若掷出的硬
币正面向上，则骰子向外移动一环(如：从圆心移动到标上数字1的环内)；若掷出的硬币
反面向上，则骰子向外移动两环(如：从标上数字1的环内移动到标上数字3的环内).顾
客重复掷硬币直到骰子移到标上数字9的环就可以获得“九折优惠券”，或移到标上数字
10的环就游戏结束无优惠.有两个孩子对于选择哪个游戏可以获得更大优惠出现了分
歧，你能帮助他们判断吗？
5248 (2024·全国·长郡中学校联考二模)某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意
度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意.
(1)试估计公司中对薪酬不满意的人数；
(2)从15名调查对象中抽取2人，用ξ表示其中对薪酬不满意的人数，试求ξ的数学期望
Eξ ；
(3)实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导
致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题：
问题A：你对公司薪酬是否不满意？
问题B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？
在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白
色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答
问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中
对薪酬不满意的人数.
5249 (2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模)中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平
面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比
1
赛，若甲每场比赛获胜概率均为 ，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比
2
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1032 10431
赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为 ．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷
2
一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；
(2)若甲抛掷n+1 次，乙抛掷n次，n∈N*，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面
朝上次数的概率．
5250 (2024·河北·校联考模拟预测)小明和小红进行抛掷硬币比赛，规定小明和小红每人抛6
次.小明得分规则为每连续抛掷n(2≤n≤6)次结果相同则得2n-1分(规定连续抛掷结果
不同不得分，如正反正反正反不得分，正正反正反反得4分)，小红每抛掷一次正面结果则
得2分，得分高者获胜.
(1)求小红得8分的概率；
(2)求小明得分的分布列和期望，并比较两人谁获胜的概率大？
14 题型十四：自主选科问题
5251 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)新高考取消文理分科，采用选科模
式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选
考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩(满分100分)按照
0,20 ，20,40 ，40,60 ，60,80 ，80,100 分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．
(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分
的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在0,20 ，80,100 的学
生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的
概率．
5252 (2024·山西临汾·高三统考期中)山西省高考综合改革从2022年秋季入学的高一年级学
生开始实施，新高考将实行“3+1+2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示
从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物学、思想政治、地理四科中选择两科.相
应的，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.现从某中学2022年高一年
级所有学生中随机抽取20人进行选科情况调查，得到如下统计表：
序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况 序号 选科情况
1 史化生 6 物化政 11 史地政 16 物化地
2 物化地 7 物化生 12 物化地 17 物化政
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1033 10433 物化地 8 史生地 13 物生地 18 物化地
4 史生地 9 史化地 14 物化地 19 史化地
5 史地政 10 史化政 15 物地政 20 史地政
(1)请创建列联表，依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为学生“选择化学科目”与
“选择物理科目”有关联.
(2)某高校在其人工智能方向专业甲的招生简章中明确要求，考生必须选择物理，且在化
学和生物学2门中至少选修1门，方可报名.现从该中学高一新生中随机抽取4人，设具备
这所高校专业甲报名资格的人数为X，用样本的频率估计概率，求X的分布列与期望.
nad-bc
附：χ2=
2
a+b c+d a+c b+d
P
χ2≥k
0.05
0.100 0.010 0.001
0
2.70 6.63
k 3.841 10.828
6 5
5253 (2024·全国·高三专题练习)2014年9月教育部发布关于深化考试招生制度改革的实施
意见，部分省份先行改革实践，目前，全国多数省份进入新高考改革．改革后，考生的高考
总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．
方案一：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任
选3门参加选择性考试．
方案二：3门选择性科目由学生先从物理、历史2门科目中任选1门，再从思想政治、地理、
化学、生物4门科目中任选2门参加选择性考试．
(1)某省执行方案一，甲同学对选择性科目的选择是随机的，求甲同学在选择物理科目的
条件下，选择化学科目的概率；
(2)某省执行方案二，为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有
6名首选物理，4名首选历史，现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查，将其中首
选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．
5254 (2024·湖北黄石·大冶市第一中学校考模拟预测)目前，全国多数省份已经开始了新高考
改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门
选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的．
(1)A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目
中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；
(2)B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政
治、地理、化学、生物4门科目中任选2门．
①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；
②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名
首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记
作X，求随机变量X的分布列和数学期望．
5255 (2024·河南·校联考模拟预测)新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为全国统考科
目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；
“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生
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1034 1043的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名(包含考生甲和考生乙)进行调
查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
(1)求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．
(2)已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取
到的女生人数，求X的分布列与数学期望．
5256 (2024·全国·模拟预测)在新的高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福
建、重庆八个省市在2021年首次实施“3+1+2”模式新高考．为了适应新高考模式，在
2021年1月23日至1月25日进行了“八省联考”，考完后，网上流传很多种对各地考生考
试成绩的评价，对12种组合的选择也产生不同的质疑．为此，某校随机抽一名考生小明
(语文、数学、英语、物理、政治、生物的组合)在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，
借此成绩进行相应的推断．表1是小明同学高一选科前两次测试成绩(满分100分)：
表1
语文 数学 英语 物理 政治 生物
第一次 87 92 91 92 85 93
第二次 82 94 95 88 94 87
(1)从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
(2)从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中
成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E(X)；
(3)现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如表2所示：
表2
语文 数学 英语 物理 政治 生物 6科成绩均值 6科成绩方差
第一次 a a a a a a x D
1 2 3 4 5 6 1 1
第二次 b b b b b b x D
1 2 3 4 5 6 2 2
将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为D ．有一种
3
观点认为：若x =x ，D 1,k∈N∗
局，谁便赢得全部赌注a元.每局甲赢的概率为p01,k∈N*
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1042 1043局，谁便赢得全部赌注a元.每局甲赢的概率为p(0
