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考点巩固卷 06 函数的图象与方程（十大考点）
考点01：函数图象的识别
1．（ 2023·天津滨海新·统考三模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】取特值排除即可.
【详解】因为 ，故A、C错误；
又因为 ，故B错误；
故选：D.
2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过函数的奇偶性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案．
【详解】记 ，其定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D，
，故C错误，A正确．
故选：A．
3．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.
【详解】设 ，
对任意 ， ，
所以 ，
所以 的定义域为 ，
，
所以函数 为奇函数.
令 ，
可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
由 可得 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，
又 ，
所以函数 为奇函数，排除BD选项，
当 时， 是减函数，
则 ， ，
所以 ，排除A选项.
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
4．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过分析 的奇偶性，在 上的单调性，结合 上函数值的正负性可
排除不符合题意的选项，即可得答案.
【详解】当 时， ，即 在 上单调
递增，故排除A；
注意到 ，则 为奇函数，故可排除B；
又注意到 时， ，故可排除D.
故选：C
5．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断BC错误，再由函数自变量趋向正无穷大时，函数值的变
化趋势判断AD.
【详解】因为 定义域为 ，
且 ，
所以函数为奇函数，故图象关于原点成中心对称，故BC错误；
当 趋向正无穷时，显然 的分子增长快于分母增长， 趋向正无穷，
故A正确B错误.
故选：A
考点02：函数图象的变换
6．把函数 的图象向右平移 个单位，再把横坐标缩小为原来的 ，所得图象
的函数解析式是__________．
【答案】
【分析】根据函数图象变换规律可得答案.
【详解】把函数 的图象向右平移 个单位，得函数
，再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的
图象.
故答案为：
7．（ 2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数 ，则函数
的图象大致是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 可知 图像与 的图像关于 轴对称，由 的图像即
可得出结果.
【详解】因为 ，所以 图像与 的图像关于 轴对称，
由 解析式，作出 的图像如图
从而可得 图像为B选项.
故选：B.
8．利用函数 的图象，作出下列各函数的图象．
(1) ；
(2)
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)图象见详解
(2)图象见详解
(3)图象见详解
(4)图象见详解
(5)图象见详解
(6)图象见详解
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先作出函数 的图象，
（1）把 的图象关于 轴对称即可得到 的图象；
（2）保留 图象在 轴右边部分，去掉 轴左侧的，并把 轴右侧部分关于 轴对称即
可得到 的图象；
（3）把 图象向下平移一个单位即可得到 的图象；
（4）结合（3），保留 上方部分，然后把 下方部分关于 轴翻折即可得到
的图象；
（5）把 图象关于 轴对称即可得到 的图象；
（6）把 的图象向右平移一个单位得到 的图象．
【详解】（1）把 的图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（2）保留 图象在 轴右边部分，去掉 轴左侧的，并把 轴右侧部分关于 轴对称得
到 的图象，如图，
（3）把 图象向下平移一个单位得到 的图象，如图，
（4）结合（3），保留 上方部分，然后把 下方部分关于 轴翻折得到 的图
象，如图，
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学科网（北京）股份有限公司（5）把 图象关于 轴对称得到 的图象，如图，
（6）把 的图象向右平移一个单位得到 的图象，如图，
9．要得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.
【详解】由 向右平移 个单位，则 .
故选：D
10．已知函数 的图象如下图所示，则 的大致图象是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由函数 的图象变换得到偶函数 的图象，再根据平移变换得到
的图象.
【详解】在 轴左侧作函数 关于 轴对称的图象，得到偶函数 的图象，
向左平移一个单位得到 的图象.
故选：A.
11．已知函数 ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数 有且仅有一个对称中心 ，结合图象变换分析
判断.
【详解】由题意可得： ，
因为
，
若 为定值，
则 ，解得 ，此时 ，
所以函数 有且仅有一个对称中心 .
对于选项A： 有且仅有一个对称中心为 ，不合题意，故A错误；
对于选项B： 有且仅有一个对称中心为 ，符合题意，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项C： 有且仅有一个对称中心为 ，不合题意，故C错误；
对于选项D： 有且仅有一个对称中心为 ，不合题意，故D错误；
故选：B.
考点03：根据实际问题作函数图象
12．直角梯形 如图，直线 左边截得面积 的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】根据图形的面积求得 的表达式，进而确定正确答案.
【详解】直线 的方程为 ，
当 ， .
当 时， .
所以 ，
对应的图象为C选项.
故选：C
13．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了
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学科网（北京）股份有限公司一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达
了终点.用s，s 分别表示乌龟和兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（
1 2
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】关键是根据题意判断关于 的函数 的性质以及其图象.
【详解】由题意可得 始终是匀速增长,开始时, 的增长比较快,但中间有一段时间 停止
增长，
在最后一段时间里, 的增长又较快,但 的值没有超过 的值,结合所给的图象可知，B选
项正确;
故选：B.
14．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度
赶到了学校.下列各选项中，符合这一过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断这位同学与学校的距离的变化趋势，即可判断出答案.
【详解】因为开始时是匀速行驶，所以这位同学离学校的距离匀速减少，
途中停留一段时间，故此段时间内这位同学与学校的距离不变，
然后加快速度赶到了学校，所以这位同学与学校的距离减少的幅度越来越快，
故符合这一过程的是B中图象.
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
15．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度 （单位：
米/分钟）与飞行时间 （单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数” （单位：
米/分钟）为无人机在 这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则 的图像为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图像分析，即可得到答案
【详解】由题图知,当 时, 无人机做匀加速运动, ,“速度差函数”
;
当 时, 无人机做匀减速运动,速度 从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”
;
当 时, 无人机做匀减速运动, 从80开始下降, ,“速度差函
数” ;
当 时无人机做匀加速运动,“速度差函数” .
所以函数 在 和 两个区间上都是常数.
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
16．如图，点 在边长为1的正方形 上运动，设点 为 的中点，当点 沿
运动时，点 经过的路程设为 ， 面积设为 ，则函数 的
图象只可能是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分点 在 上时，点 在 上时，点 在 上时求得函数，再利用函数的
性质来判断.
【详解】当点 在 上时： ；
当点 在 上时：
；
当点 在 上时： ，
所以 ，
由函数解析式可知，有三段线段，又当点 在 上时是减函数，故符合题意的为A.
故选：A
17．如图，在直角梯形OABC中，已知 ，且 ，梯
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学科网（北京）股份有限公司形被直线 截得位于直线l左方图形的面积为S．
(1)求函数 的解析式；
(2)画出函数 的图象．
【答案】(1) ；
(2)图像见解析
【分析】（1）对 分情况讨论，即可求解面积，
（2）由分段函数的解析式，结合基本函数的图形性质，即可画出图象.
【详解】（1）由题意可知：线段 的方程为 ，
当 时，直线 与梯形没有围成面积，此时
当 时，此时直线 与线段 相截，所以 ,
当 时，此时直线 与线段 相截,所以 ，
当 时， ,
综上：
（2）由 可得：
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学科网（北京）股份有限公司考点04：确定零点所在区间
18．函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点存在性定理和单调性判断其零点所在区间.
【详解】因为 ， ， 单调递增，
故 的零点所在区间为 ，其他选项均不合题意.
故选：A
19．已知函数 ，则 的零点存在于下列哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性即可求解.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 与 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
∴函数 的零点所在的一个区间为 ．
故选：B.
20．函数 的零点所在区间（取整数）是_________．
【答案】
【分析】先根据题意得出函数的定义域与单调性，再利用零点存在定理，即可得出答案.
【详解】由题意，得 的定义域为 ，易知函数 和 在 均
为增函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 单调递增，因为 ，
，
所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为 .
故答案为： .
21．若 是方程 的解，则 在区间________内(填序号).
① ；② ；③ ；④ .
【答案】③
【分析】构造函数 ，利用零点存在定理即可判断函数零点所在区间，即方
程的根所在区间.
【详解】构造函数 ，则 ， ，
显然函数f(x)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点，
， ，则函数 的零点在区间 上，
所以 的解在区间 上．
故答案为： ③．
考点05：函数的零点及零点个数
22．已知 ，方程 的实根个数为__________．
【答案】2
【分析】分别作出 和 的图象，结合图象即可得到答案．
【详解】由 ，则 ，
则令 ， ，
分别作出它们的图象如下图所示，
由图可知，有两个交点，所以方程 的实根个数为2．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2．
23．已知函数 ，则关于 的方程 实数解的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由 解得 或2，再画出 ， ， 的图象数
交点个数即可.
【详解】因为 ，解之得 或2，
当 时， ；
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ， 的图象如图：
由图可知使得 或 的点有4个.
故选：A.
24．已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令 ，可知 ；结合函数图像
及解析式可求得 的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.
【详解】函数 ，
对 ，令 ，令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司且 趋向负无穷时， ， 时， ，
故结合对数函数图象，可画出函数 图像如下图所示：
函数 的零点，即 ，令 ，代入可得 ，
由图像可知 ，即 ，
结合函数图像可知， 有1个解，
综合可知，函数 的零点有1个，
故选：A.
25．方程 的解的个数是________．
【答案】7
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出 和 的图象，找出两函数
图象交点个数即可.
【详解】由正弦函数值域可得 ，
又因为当 时， ；
所以，分别画出 和 在 上的图象如下图所示：
根据图像并根据其对称性可知，在 上两函数图象共有7个交点；
由函数与方程可知，方程 有7个解.
故答案为：7
26．已知函数 满足 .当 时， ，则
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学科网（北京）股份有限公司在 上的零点个数为___________.
【答案】160
【分析】由条件先得出函数的最小正周期为3，解方程 得
上的零点个数，由周期即可确定在 上的零点个数.
【详解】因为函数 满足 ，
所以 ，所以 的最小正周期为3，
当 时，令 ，
解得 或 ，所以当 时， 有两个零点，
所以 在 上的零点个数为 个.
故答案为：160.
考点06：二分法的应用
27．（多选）关于函数 的零点，下列说法正确的是：（ ）
（参考数据： ， ， ， ，
， ）
A．函数 的零点个数为1
B．函数 的零点个数为2
C．用二分法求函数 的一个零点的近似解可取为 （精确到 ）
D．用二分法求函数 的一个零点的近似解可取为 （精确到 ）
【答案】AC
【分析】函数 在 上单调递增，确定函数仅有1个零点，根据二分法
即可求出零点所在区间.
【详解】解：易知函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以函数 在 上有1个零点，
取区间中点 ，则 ，
所以函数 在 上有零点，
取区间中点 ，则 ，
所以函数 在区间 上有零点，
取区间中点 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在区间 上有零点，
又 精确到 的近似值都是 ，
所以函数 的一个零点的近似解为 ，
故选：AC.
28．用“二分法”研究函数 的零点时，第一次计算 ，可
知必存在零点 ，则第二次应计算__________，这时可以判断零点
__________．
【答案】
【分析】根据二分法的原理，第二次应计算 ，再由零点存在性定理可得 所在区间.
【详解】因为第一次计算 ，可知必存在零点 ，
又 ， ，
由零点存在性定理可知 .
故答案为： ；
29．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出
了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采
用．例如求方程 的近似解，先用函数零点存在定理，令
， ， ，得 上存在零点，取
，牛顿用公式 反复迭代，以 作为 的近似解，迭代两次
后计算得到的近似解为______；以 为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个
区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为______．
【答案】
【分析】第一空，理解消楚“迭代”的含义，实际上是一个递推数列，反复代入给定的表
达式，计算即可；第二空，根据二分法依次取区间中点值计算即可.
【详解】已知 ，则 ．
迭代1次后， ；
选代2次后， ；
用二分法计算第1次，区间 的中点为 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以近似解在区间 上；
用二分法计算第2次，区间 的中点为 ， ， ，
所以近似解在区间 上，取其中点值 ，
故所求近似解为 ．
故答案为： ，
30．若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数
可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断 的零点区间，即可求解
【详解】对A， 的零点为 ；
对B， 的零点为 ；
对C， 的零点为 ；
对D， 的零点为 ；
， ， ，
故 零点在 之间，再用二分法，取 ，
， ，故 的零点 ，
由题 的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有 的零点符合；
故选：B
考点07：根据函数零点所在区间求参数的取值范围
31．函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】D
【分析】分析可知 ，函数 在区间 上单调，利用零点存在定理可得出关于实
数 的不等式，解之即可.
【详解】当 时， ，不合乎题意.
当 时，由于函数 、 在 上均为增函数，
此时函数 在 上为增函数.
当 时，由于函数 、 在 上均为减函数，
此时函数 在 上为减函数.
因为函数 在区间 上有零点，则 ，
即 ，解得 .
故选：D.
32．函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理即可得 ，解出实数 的取值范围为 .
【详解】由零点存在定理可知，若函数 在区间 上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足 ，即 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
33．方程 在区间 上有解，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 在区间 端点的正负列式求解即可.
【详解】考查 ，因为 ，且 开口向上，
故 在区间 上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程 在
区间 上有解，
则 ，即 ，解得 .
故答案为：
34．设常数 ，函数 ，若函数 在 时有零点，则实
数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由函数 在 时有零点，则 ，根据指数函数的
性质结合二次函数的性质求出 即可得解.
【详解】解：令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
35．若函数 在 上有3个零点，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义转化为求方程根的问题，再分类讨论求解作
答.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 的零点，即方程 的根，
当 时，方程化为： ，当 时，方程化为： ，
依题意，方程 有3个不等的负根，而方程 两根之积为负，必有
一正根一负根，
于是得 在 上有一个负根， 在 上有两个相异负根，
因此 ，即 ，
由 在 上有两个相异负根得， ，解得 ，
在 中， ，即方程 在 上有且只有一个
负根，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
36．已知函数 的两个零点都在 内，则实数 的取值范围为
________________．
【答案】
【分析】把函数两点零点都在 转化为函数值正负,列不等式求解即可.
【详解】因为函数 的两个零点都在 内，
所以 即
解得 ，所以 的取值范围为
故答案为:
考点08：根据函数零点个数求参数的取值范围
37．若函数 在区间 上无零点，则m取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程的根即可求解 和 时的根，由不等式即可求解.
【详解】当 时，则 ，此时 无零点，符合题意，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，令 ，则 ，故 或 ,解得 或 ，
综上可知 在区间 上无零点，则 ，
故选：D
38．已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，
若在区间 内，函数 有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据函数的周期性和奇偶性得到函数解析式，变换得到 ，考虑
和 两种情况，画出函数图像，根据图像得到 ，解得答案.
【详解】当 时， ， ；
故 时， ，
当 时， ，即 .
，即 ， ，
画出函数图像，如图所示：
当 时， 最多有一个交点，不满足；
当 时， 有两个交点，则 ，即 ， .
综上所述： .
故答案为： .
39．已知函数 ，若关于x的方程 有两个不同的实根，则实数k
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】分析函数 的性质，作出图象，数形结合即可求解作答.
【详解】当 时，函数 是增函数，函数值集合是 ，
当 时， 是减函数，函数值集合是 ，
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学科网（北京）股份有限公司关于 的方程 有两个不同的实根，
即函数 的图象与直线 有两个交点，
在坐标系内作出直线 和函数 的图象，如图，
观察图象知，当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，
即方程 有两个不同的实根，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
40．（多选）设函数 有4个零点，分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的取值与 无关 D． 的最小值为10
【答案】AD
【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线 与函数
交点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.
【详解】令 ，可得：
当 时，即 ，可得 ；
当 时，即 ，可得 ， ；
当 时，即 ，可得 ， .
原函数的4个零点可表示为直线 与函数 交点的横坐标，
对于选项A、C：如图所示， 是方程 的两个解，
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学科网（北京）股份有限公司根据韦达定理可得： ，即可知选项A成立，选项C不成立；
对于选项B：因为 ，结合图象可得 ，即可知选项B不成立；
对于选项D：其中 ，
则有 ，当且仅当 时， 成立，
综上所述： 的最小值为10，选项D成立.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
41．已知函数 ，则 的最小值是________，若关于 的方程
有且仅有四个不同的实数解，则整数 的一个取值为________.
【答案】 1（答案不唯一， 即可）
【分析】分段函数分别计算两段的最小值，得到函数的最小值；方程 有且仅有
四个不同的实数解,即函数 的图像与函数 的图像有四个不同的交点，作出函数
图像，数形结合解决.
【详解】当 时， ，
易知当 时， 有最小值 ；
当 时， ，
由 ，得 ，则 ，此时 最小值为 ；
综上：函数 的最小值为 .
因为方程 有且仅有四个不同的实数解,即函数 的图像与函数 的图
像有四个不同的交点，
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学科网（北京）股份有限公司作出函数 的图像，由于a为整数，如图所示，只有函数 和 的图像与函数
的图像有四个不同的交点，
所以整数a的取值可以为 中的一个.
故答案为： ；1（答案不唯一， 即可）
42．已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数 有四个不同的零点，转化为函数 与 图象由四
个交点，再数形结合即可解答.
【详解】
依题意，函数 有四个不同的零点，即 有四个解，
转化为函数 与 图象由四个交点，
由函数函数 可知，
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
当 时，函数为单调递减函数， ；
当 时，函数为单调递增函数， ；
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学科网（北京）股份有限公司结合图象，可知实数 的取值范围为 .
故选：A
考点09：求零点的和
43．若函数 是奇函数，其零点分别为 ，且
，则关于x的方程 的根所在区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性可求得m的值，再根据零点存在定理即可判断方程
的根所在区间.
【详解】因为函数 是奇函数，不妨设 为从左往右依次排列，
所以 与 , 与 , ， 与 关于原点对称，且 ，
所以 ，则关于x的方程 即为 ，
令 ，
则 在R上连续且递增，
因为 ， ，
所以关于x的方程 的根所在区间是 ，
故选：A.
44．已知函数 ，若方程 有四个不同的解
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意作函数 与 的图象，从而可得 ，
，从而得到结果.
【详解】由题意作函数 与 的图象，
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学科网（北京）股份有限公司∵方程 有四个不同的解 且 ，
∴ 关于 对称，即 ，
当 得 或 ，则 ，
由题知， ，故 ，
所以 ，
故 ，
因为 ，
设 ，则由对勾函数的性质可知，
在 单调递增，所以 ，
的取值范围是
故选：B.
45．已知 是定义在区间 的函数，则函数 的零点是
___________；若方程 有四个不相等的实数根 ， ， ， ，则
___________.
【答案】 2，8 20
【分析】解方程 ，即可求得函数 的零点；将方程
四个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结
论；
【详解】由题意可知，令 ，即 ，解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司故函数在 内的零点为 和 ；
方程 有四个不相等的实数根 ， ，
即为 与 的四个交点的横坐标，
方程 即 ， ，即 ，
当 即 时，方程可转化为 即 ；
当 时，方程可转化为 即 ；
故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，
不妨设 为 的两根，则 ，
则 为 的两根，则 ，
则 ；
故答案为: 2，8; 20.
46．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， 为偶函数，
若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则
___________.
【答案】24
【分析】由题设可得 的周期为8，且关于 对称的奇函数，结合区间单调性判断
上单调情况，根据 与 有4个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由 为偶函数，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故 ，即有 ，
综上， 的周期为8，且关于 对称的奇函数，
由 在 上单调递减，结合上述分析知：在 上递增， 上递减， 上递
增，
所以 在 的大致草图如下：
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学科网（北京）股份有限公司要使 在 上恰好有4个不同的实数根，即 与 有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于 对称，则 .
故答案为：24
47．已知函数 ，若满足 （ 、 、 互不
相等），则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 的图象，根据 ，利用
数形结合法求解.
【详解】解：作出函数 的图象，如图所示：
不妨设 ，
因为 ，
由函数的性质得 ， ，即 ，
所以 ，
故选：D
考点10：镶嵌函数的零点问题
48．已知函数 ， ，若方程 的所有实
根之和为4，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 .根据选项分 ， 和 进行讨论即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，则 .
当 时，方程 即 ，则有 ，由函数图
象可得方程有一个根为 ，另一个根为 ，
即 或 ，结合函数 的图象可得所有根的和为5，不合题意，
故排除选项 ；
当 时，方程 即 ，则有 ，
由函数图象可得方程有一个根 ，
即 ，结合函数 的图象可得所有根的和为4，满足题意，故选
项 错误，
同理，当 时，方程的所有根的和为2.
故选： .
49．已知函数 ，则函数 零点的个数是
__________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】由题知 或 ，进而作出函数 的图象，数形结合求解即可.
【详解】解：令 ，即 ，解得 或 ，
作出函数 的图象如图，
由图可知，方程 有 个实数解， 有 个实数解，且均互不相同，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
50．已知 则函数 的零点个数是______．
【答案】7
【分析】作出函数 的图像，然后分解因式得到 或 ，数形结合分
析零点个数
【详解】函数 的零点即为方程 的根，解方
程 得 或 ．
作出函数 的图像，如图所示．
由图像知直线 与 的图像有4个交点，直线 与 的图像有3个交
点．
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学科网（北京）股份有限公司因此函数 的零点有7个．
故答案为：7
51．已知函数 ，则函数 零点个数最多是
（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】画出 的图像，设 ，首先讨论 的根的情况，再分析
根的情况即可分析出 根的情况，即可得出答案．
【详解】画出 的图像，如图所示，
由 ，令 ，得 ，
设 ，由图像可知 ，则 ，
得 的图像，如图所示，
由图像可知， ，
①当 时，即 ，没有根；
②当 时，即 ，此时有3个根 ， ， ，
当 时，即 ，有3个根，
当 时，即 ，有4个根，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，即 ，有4个根，
故 时， 有11个根；
③当 时， ，此时有三个根， ，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
故 时， 有12个根；
综上所述， 最多有12个根，
故选：B．
52．已知函数 ，若函数 有两个零点，则函数
的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 的图象，根据题意利用图象分析可得 ，令 并将问
题转化为 与 交点横坐标t对应x值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.
【详解】当 时，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时，则 在 上单调递增.
作出函数 的图象如图所示，
令 ，则 ，
若函数 有两个零点，则函数 的图象与直线 有两个交点，
所以 ，解得 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，即 ，
令 ，则 或 ，
解得 或 ，
即 或 ，则 或 ，
由图象可得 有 个实数根， 有 个实数根，
故 的零点个数为 ，
故选：B．
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