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考点 34 平面向量的概念与线性运算
【命题解读】
平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线
性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题
【基础知识回顾】
1. 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝ b ＋ a ，结合律(a＋b)＋c＝ a ＋ (b ＋ c) ．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝ ( λμ )a ；
②(λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
③λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b ．
3. 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那
么有且只有一个实数λ，使b＝ λ a ．
1、已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋CO；④AB－AC＋BD－
CD，其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、设a，b是非零向量，则a＝2b是＝成立的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件3、已知MP＝4e＋2e，PQ＝2e＋te，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
1 2 1 2
A. 1 B. 2 C. 4 D. －1
4、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形 中， ， ， ， 分别是 ，
的中点， 与 交于 ，设 ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
6、在△ABC中，＝＝，则∠BAC＝_____．
考向一 平面向量的有关概念
例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
变式1、．(多选)给出下列命题，不正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
变式2、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )A．0 B．1
C．2 D．3
变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D．3
变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
A F
（1）与 相等的向量有 ；
a
B E
O
（2）与 相等的向量有
；
b
与 共线的向量有 C D
（3） ．
答案：（1） ， ， ；（2） ；
（3） ．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考向二 向量的线性运算
例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA－12OB－3OC＝0，则(
)A.OA＝12AB＋3AC B．OA＝12AB－3AC
C.OA＝－12AB＋3AC D.OA＝－12AB－3AC
变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于(
)
A.b＋c B.c－b
C.b－c D．b＋c
变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF＝(
)
A. －AB＋AD B .AB＋AD
B. AB－AD D .AB－AD
变式3、1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于( )
A.AB－AC B.AB＋AC
C.AB－AC D.AB＋AC
变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形 中，下列计算错误的 是
A． B．
C． D．
变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形 为梯形，其中 ， ， ， 分别为
， 的中点，则下列结论正确的是A． B． C． D．
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平
行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考向三 共线定理的应用
例3、如图，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表
示OM.
变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则
使等式x2OA＋xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0} B.∅
C.{－1} D.{0，－1}
变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形 中， ， ， 与 交于 ，则下列结
论正确的是
B．
A．
C． D．变式3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量
⇔
共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1、在△ABC中，点G满足GA＋GB＋GC＝0.若存在点O，使得OG＝BC，且OA＝mOB＋nOC，则m－n等
于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
2、A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋
μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
AD
3、【2018年高考全国I卷理数】在 中， 为 边上的中线， 为
的中点，则
A． B．
C． D．4、.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.AB－AC＝BC
B.AB＋BC＋CA＝0
C.若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若AC·AB＞0，则△ABC为锐角三角形
5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为
BC边上一点，且 ，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6、【江苏卷】在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若
（m为常数），则CD的长度是________．
7、在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，·BA＋·BC＝·BD，则四边形ABCD的面积为________.
8、已知向量a＝2e －3e ，b＝2e ＋3e ，其中e ，e 不共线，向量c＝2e －9e ，问是否存在这样的实数λ，
1 2 1 2 1 2 1 2μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
