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第 1 讲 平面向量
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向
量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算
与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 长度 ( 或模 ).
(2)零向量： 长度为 0 的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任
一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：a＋b
＝ b ＋ a
求两个向量
加法 (2)结合律：
和的运算
(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )
减去一个向
量相当于加
减法 a－b＝a＋(－b)
上这个向量
的相反向量
求实数λ与 (1)|λa|＝ | λ | | a |； λ(μa)＝ λμ a ；
数乘
向量a的积 (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方 (λ＋μ)a＝ λ a ＋向相同；当λ＜0时，λa的方向与 μ a ；
的运算
a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b ＝ λ a .
4.重要结论
（1）一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一
个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋A A ＝A1An，特别地， 一
n－1 n
个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
（2）中点公式的向量形式：若 P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP
＝(OA＋OB).
（3）OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
（4）解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的
是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足
条件.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
1 2
a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋ λ e .
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1 2
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ ( x － x ， y － y )，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝ ( x － x ， y － y )，|AB|＝.
1 1 2 2 2 1 2 1
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b x y － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
⇔5.重要结论
（1）平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
（2）若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
（3）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个
相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
考点三 平面向量的数量积及平面向量的应用
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量
积(或内积)a·b＝ | a | | b |cos __θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 | b |
cos__θ 的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
3.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
5.重要结论
（1）两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹
角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.（2）平面向量数量积运算的常用公式
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
（3）数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，
两边不能约去同一个向量.
高频考点一 平面向量的线性运算
【例1】已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是( )
A.a∥b B.a⊥b
C.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b
【答案】B
【解析】由已知a，b不共线，在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－
b|，知|AC|＝|DB|，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
【例2】 (2022·成都七中诊断)如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的
两个三等分点，则AB＝( )
A.AC－AD B.2AC－2AD
C.AD－AC D.2AD－2AC
【答案】D
【解析】连接CD，∵C，D是半圆弧的三等分点，
∴CD∥AB，且AB＝2CD，
因此AB＝2CD＝2(AD－AC)＝2AD－2AC.
【例 3】(2022·长春调研)在△ABC 中，延长 BC 至点 M使得 BC＝2CM，连接
AM，点N为AM上一点且AN＝AM，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
A. B.
C.－ D.－【答案】A
【解析】由题意，知AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋×BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB
＋AC，又AN＝λAB＋μAC，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.
【方法技巧】
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并
能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、
三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，
把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三
角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.
【变式训练】
1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
【答案】A
【解析】∵E是AD的中点，∴EA＝－AD，
∴EB＝EA＋AB＝－AD＋AB，
又知D是BC的中点，
∴AD＝(AB＋AC)，
因此EB＝－(AB＋AC)＋AB＝AB－AC.
2.(2022·济南质检)在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若AP＝
xAB＋yAF，则x＋y＝( )
A.2 B.
C.3 D.
【答案】B
【解析】如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边
形OBCD为菱形，且P恰为其中心，于是FP＝FO＝AB，
因此AP＝AF＋FP＝AB＋AF，因为AP＝xAB＋yAF，
所以x＝且y＝1，故x＋y＝.高频考点二 共线定理及其应用
【例4】 (1)设e 与e 是两个不共线向量，AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，CD＝
1 2 1 2 1 2
3e －2ke ，若A，B，D三点共线，则k的值为________.
1 2
(2)(2021·合肥模拟)在平行四边形 ABCD中，若DE＝EC，AE交BD于F，则AF
＝( )
A.AB＋AD B.AB－AD
C.AB－AD D.AB＋AD
【答案】(1)－ (2)D
【解析】(1)因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
又AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，CD＝3e －2ke ，
1 2 1 2 1 2
所以BD＝CD－CB＝3e －2ke －(ke ＋e )
1 2 1 2
＝(3－k)e －(2k＋1)e ，
1 2
所以3e ＋2e ＝λ(3－k)e －λ(2k＋1)e ，
1 2 1 2
又e 与e 不共线，所以
1 2
解得k＝－.
(2)如图所示，∵DE＝EC，
∴E为CD中点，
设AF＝λAE
＝λ
＝λ＝AB＋λAD.
又∵点B，F，D共线，
∴＋λ＝1，解得λ＝.故AF＝AB＋AD.
【方法技巧】
1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区
别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ ，λ ，使λ a＋λ b＝0成立.
1 2 1 2
【变式训练】
1.已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C
三点共线的充要条件为( )
A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1
C.λμ＝－1 D.λμ＝1
【答案】D
【解析】因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC，设AB＝mAC(m≠0)，则λa＋b
＝m(a＋μb)，由于a与b不共线，所以所以λμ＝1.
2.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA
＋xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为________.
【答案】{－1}
【解析】因为BC＝OC－OB，所以x2OA＋xOB＋OC－OB＝0，
即OC＝－x2OA－(x－1)OB，因为A，B，C三点共线，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1.
当x＝0时，x2OA＋xOB＋BC＝0，此时B，C两点重合，
不合题意，舍去.故x＝－1.
高频考点三 平面向量基本定理及其应用
【例5】如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的
一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.
(1)用a和b表示向量OC，DC；
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值.【解析】(1)依题意，A是BC的中点，
∴2OA＝OB＋OC，即OC＝2OA－OB＝2a－b.
DC＝OC－OD＝OC－OB
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设OE＝λOA(0<λ<1)，
则CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵CE与DC共线，
∴存在实数k，使CE＝kDC，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
【方法技巧】
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基
底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【变式训练】
1.(2022·银川调研)在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点 O是线段
MN上异于端点的一点，且满足λOA＋3OB＋4OC＝0(λ≠0)，则λ＝________.
【答案】7
【解析】法一 由已知得OA＝－OB－OC，①
由M，O，N三点共线，知∃t∈R，使OM＝tON，
故2OM＝2tON，故OA＋OB＝t(OA＋OC)，
整理得OA＝OB＋OC，②
对比①②两式的系数，得解得
法二 因为M是AB的中点，所以OM＝(OA＋OB)，
于是OB＝2OM－OA，同理OC＝2ON－OA，
将两式代入λOA＋3OB＋4OC＝0，
整理得(λ－7)OA＋6OM＋8ON＝0，因为M，O，N三点共线，故∃p∈R，使得OM＝pON，
于是(λ－7)OA＋(6p＋8)ON＝0，
显然OA，ON不共线，故λ－7＝6p＋8＝0，故λ＝7.
高频考点四 平面向量共线定理的坐标表示
【例6】 已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交
点P的坐标为________.
【答案】(3，3)
【解析】法一 由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－
OA＝(4λ－4，4λ).又AC＝OC－OA＝(－2，6)，
由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以OP＝OB＝(3，3)，
所以点P的坐标为(3，3).
法二 设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4，4)，且OP与OB共线，所以
＝，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP与AC共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
【例7】(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝
________.
(2)(2021·福州八校联考)设向量OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)，
其中O为坐标原点，且a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(
)
A.8 B.9 C.6 D.4
【答案】(1) (2)A
【解析】(1)由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4λ
－2＝0，即λ＝.
(2)由题意知AB＝OB－OA＝(a－1，1)，AC＝OC－OA＝(－b－1，2).
因为A，B，C三点共线，设AB＝λAC，
则(a－1，1)＝λ(－b－1，2).
∴得2a＋b＝1.
又a>0，b>0，则＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝
时，等号成立.∴＋的最小值为8.【方法技巧】
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a∥b的充要条件是x y －x y ＝0；
1 2 2 1
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量
的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【变式训练】
1.(2022·太原联考)已知向量e ＝(1，1)，e ＝(0，1)，若a＝e ＋λe 与b＝－(2e
1 2 1 2 1
－3e )共线，则实数λ＝________.
2
【答案】－
【解析】由题意知a＝e ＋λe ＝(1，1＋λ)，
1 2
b＝－(2e －3e )＝(－2，1).
1 2
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
2.(2022·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，
4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|OC|＝3，则向量OC的坐标为________.
【答案】(－3，9)
【解析】因为点C在∠AOB的平分线上，
所以存在λ∈(0，＋∞)，使得OC＝λ.
∴OC＝λ(0，1)＋λ＝，
又|OC|＝3，所以＋＝(3)2，解得λ＝5.故向量OC＝(－3，9).
高频考点五 平面向量的数量积运算
【例8】已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A.4 B.3
C.2 D.0
【答案】B
【解析】a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
【方法技巧】
1.计算平面向量的数量积主要方法：
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a·b＝x x ＋y y .
1 1 2 2 1 2 1 2(3)活用平面向量数量积的几何意义.
2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算
或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形
中的角的关系是相等还是互补.
【变式训练】
1.（2020 北京卷）已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP＝，则|PD|＝
__________；PB·PD＝__________.
【答案】 －1
【解析】法一 ∵AP＝(AB＋AC)，∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 A(0，0)，B(2，0)，
C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴|PD|＝＝.
易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1).
∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC的中点，
∴|PD|＝＝.
PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD
＝－PB2＋0＝－1.
高频考点六 向量数量积的性质及应用
【例9】已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(
)
A.－ B.－
C. D.
【答案】D【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
【例10】已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最
大值是________.
【答案】＋1
【解析】法一 由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形OACB是边长为1
的正方形，所以|OC|＝.
作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，|OP|取得最大值＋1.故|
1
c|的最大值是＋1.
法二 由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).
设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.
所以|c| ＝＋1.
max
法三 易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|
≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，
所以|c|≤1＋，故|c| ＝＋1.
max【方法技巧】
1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，若 a＝(x ，y )，b＝(x ，
1 1 2
y )，则a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
2 1 2 1 2
2.若题目给出⇔向量的坐⇔标，可直接运用公式 cos θ＝求解.没有坐标时可用公式
cos θ＝.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].
3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借
助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.
【变式训练】
1.(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与b垂直，
则λ＝( )
A.－2 B.2
C.－1 D.1
【答案】C
【解析】a＋λb与b垂直，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.
2.(2022·河南部分重点中学联考)已知单位向量a，b的夹角为θ，且tan θ＝，若
向量m＝a－3b，则|m|＝( )
A. B.
C. D.或
【答案】A
【解析】依题意|a|＝|b|＝1，又θ为a，b的夹角，且tan θ＝，
∴θ为锐角，且cos θ＝2sin θ，
又sin2θ＋cos2θ＝1，从而cos θ＝.由m＝a－3b，
∴m2＝(a－3b)2＝5a2＋9b2－6a·b＝2，因此|m|＝.
