文档内容
第 02 讲 平面向量的数量积
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第3题,5分 向量垂直的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
数量积的运算律
2024年新Ⅱ卷，第3题,5分 已知数量积求模 模长的相关计算
垂直关系的向量表示
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2023年新Ⅱ卷，第13题,5分 数量积的运算律 向量的模长运算
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 数量积及向量夹角的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
坐标计算向量的模
2021年新I卷，第10题,5分 数量积的坐标表示 逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷，第15题,5分 数量积的运算律 无
2020年新I卷，第7题,5分 用定义求向量的数量积 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分
【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学
和实际问题中的作用
5会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理
解，易得分，需重点复习。知识讲解
1．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
定义
则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
意义
2. 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示数量积 a·b＝x x ＋y y
|a||b|cos 1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x x ＋y y ＝0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x x ＋y y |≤
1 2 1 2
1. 数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．
考点一、 求平面向量的数量积
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 ，若 ，则实数
【答案】
【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.
【详解】 ，
，
解得 .
故答案为：3．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， ．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边 中，点 为中线BD的三等分点（靠近点
B），点F为BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.
【详解】由已知有 ， ， ，
所以 ．
已知 是AC的中点，则 ， ，
所以 ，
则 ．
故选：D．
1．（2023·全国·高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
2．（2024·黑龙江·二模）已知向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标表示求出 和 ，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】 ，即 ， ， ，
， ， .
故答案为： .
3．（2022·全国·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
4．（2024·河北衡水·模拟预测）在 中， ，则
（ ）
A． B． C．9 D．18
【答案】C
【分析】将把 与 用 来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
考点二、 辨析数量积的运算律
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
2．（湖北·高考真题）已知 为非零的平面向量．甲： 乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，结合充分，必要条件的定义，即可判断.
【详解】若 ，则 ，因为 为非零的平面向量，
所以 ，或 ，所以甲不是乙的充分条件，
反过来， ，能推出 ，所以甲是乙的必要条件.
综上可知，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B
3．（上海·高考真题）若 ， ， 均为任意向量， ，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．
【详解】选项A是向量加法的结合律，正确；
选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；
选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；
选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与 共线的向量，右边是与 共线的向量，两者一般不可能相
等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．
故选：D．
4．（2023·全国·模拟预测）设 是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 与 垂直 D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的运算求解.
【详解】选项A：因为 是三个非零的平面向量，且相互不共线，
所以 不会同时与 垂直，所以 与 不会同时为0，
所以 ，故A错误；（注意向量的数量积为一个常数）
选项B： ，由于 ，
（点拨：向量夹角的取值范围是 ）所以 ，故B错误；
选项C：因为 ，
且由A知 与 不相等，所以 与 垂直，
（点拨：若两向量的数量积为0，则两向量垂直）故C正确；
选项D：因为 是非零向量，且不共线，所以设 ，
从而 ，在 中，两边之差小于第三边，所以 ，
（提示： 不共线，所以 中的等号不成立）故D错误．
故选:C.
5．（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量 ，下列说法不正确的是（ ）A．若 ，则
B．
C．若 ，则
D．
【答案】ACD
【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量可判断C，由向量垂直可以判断D.
【详解】对于A，若 ，则不一定有 ，A错误；
对于B，根据分配律即可得到，B正确；
对于C，若 ，则可能 ，那么 ，C错误；
对于D，若 ，则有 ，那么就不一定有 ，D错误.
故选：ACD
考点三、 模长综合计算
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
2．（2024·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
从而 .
故选：B.
3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 是单位向量，且它们的夹角是 .若 ，且
，则 （ ）
A．2 B． C．2或 D．3或
【答案】D
【分析】根据条件将 两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可.
【详解】 ，即 ，
解得 或 .
故选：D.
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量 ，向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】B
【分析】由 ，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.
【详解】由于向量 ，可得 ，
由 ，得 ，
故 ，得 ，得 或 (舍去)．
所以
故选：B
1．（2024·陕西榆林·二模）若向量 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，从而可得 ，从而可求解.
【详解】若 ，则 ，即 ，解得 .故A正确.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 ， ， ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据复数的坐标运算和复数模的坐标表示得到 ，再利用二次函数性质即可
得到答案.
【详解】 ，
所以 .
当 时等号成立.
故答案为： .
3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）．
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据 的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．
【详解】由 得， ，
又 ，则 ．
故选：D.
4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足： ， ， ，且 ， ，
则 .
【答案】 /
【分析】结合数量积的定义和性质求出 、 和 ，利用 即可求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ， ， ，所以 ，
，
因为 ，
，
所以 .
故答案为： .
考点 四 、 夹角综合计算
1．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
3．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角为锐角，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】根据题意，由 且 ， 不共线，再用向量的坐标运算求解即可得答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ；
因为向量 ， 的的夹角为锐角，所以有 ，解得 .
又当向量 ， 共线时， ，解得： ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】本题考查根据向量的夹角范围求参数的范围问题，考查数量积的坐标运算和向量共线的坐标表示，
是中档题.
1．（2024·山东日照·三模）已知 和 是两个单位向量，若 ，则向量 与向量 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解.
【详解】因为 和 是单位向量，所以 又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以向量 与向量 的夹角为 .
故选：B.
2．（2024·广东江门·二模）设向量 ，则 的最小值为 .
【答案】 /【分析】先求得 的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.
【详解】 ，令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ．
故答案为：
3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形 中，点 分别为 的中点， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法法则可得 ，两边同时平方可得 ，由平面向量的夹角公式
求解即可.
【详解】因为平面四边形 中，点 分别为 的中点，
所以 ，
所以 ，
由 可得： ，
两边同时平方可得： ，
所以 ，
解得： ，所以 .
故选：A.
4．（2024·上海·模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则
．
【答案】 /0.8
【分析】根据已知条件依次求出 、 、 ，接着求出 、 和 即可结合向量夹角余弦公式求解.
【详解】由题 ，故 即 ，
， ；
，故 即 ，
， ；
，故 即 ，
， ，
所以 ，
且 ， ，
所以 .
故答案为： .
考点 五 、 垂直综合计算
1．（2024·全国·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.2．（2024·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.
3．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
1．（2024·广西·三模）已知向量 ，那么向量 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A，因为 ，所以 不垂直，故A错误；
对于B，因为 ，所以 不垂直，故B错误；
对于C，因为 ，所以 不垂直，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，故D正确.
故选：D2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
解得 .
故选：D
3．（2023·浙江宁波·一模）若 是夹角为 的两个单位向量， 与 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意先分别算出 的值，然后将“ 与 垂直”等价转换为
，从而即可求解.
【详解】由题意有 ，
又因为 与 垂直，
所以 ，
整理得 ，解得 .
故选：B.
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 ， ，若当 时， ，当 时，
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解.【详解】当 时，由 可知 与 方向相同，得 ，解得 ；
当 时， ，即 ，解得 ．
故选：C
考点 六 、 求投影向量
1．（2024·山东青岛·二模）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.
【详解】依题意， ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：A
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 满足 ，则向量 在向量 方
向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 两边平方求出 ，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为 ， ，
所以 ，得 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .
故选：C
3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量 与 满足： 在 方向上的投影向量为 ， 在 方向
上的投影向量为 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，即可求解.
【详解】 在 方向上的投影向量为 ，即 ，①
在 方向上的投影向量为 ，即 ，②
由①②得 ，又 ，所以 .
故选：D
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定 的形状，再利用投影向量的意义求解作答
【详解】因为 和 分别表示向量 和向量 方向上的单位向量，
由 ，可得 的角平分线与 垂直，
所以 为等腰三角形，且 ，
又 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ,
所以 为等边三角形，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：B.1．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知 是单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则
与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，推理得到 ，再由投影向量求得 ，联立得到 ，利
用两向量的夹角公式计算即得.
【详解】因为 是单位向量，且 ，
两边平方得， ，即 （*），
由 在 上的投影向量为 ，可得 ，
所以 ，即 ，代入（*）可得， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的模长关系可得 ，再由投影向量的定义即可求出结果.
【详解】根据题意 可得 ，
所以 ，则
所以 ，则 在 方向上的投影向量为 .
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ， ，则 在
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得 的值, 得到 和 的坐标，即可利用投影向量的公式进行求解.
【详解】由 得 .由 得 .所以 .
所以 ，所以 在 上的投影向量为
，
故选:D.
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 中， 且 与 交于点 ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 于 ，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.
【详解】在直角梯形 中， 且 ，过 作 于 ，
则 ，故 ，从而 .
因此 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，点 在直线 上，
则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设点 ，根据投影向量的公式求解.
【详解】根据题意，设点 ，则 ，
则 在 上的投影向量为
.
故选：C
考点 七 、 数量积范围的综合问题
1．（湖南·高考真题）设 均是非零向量，且 ，若关于 的方程 有实根，则 与
的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 有实根，可得 ，再结合向量的夹角公式和 可求得
，从而可求出两向量的夹角范围.
【详解】因为关于 的方程 有实根，
所以 ，所以 ，
因为 均是非零向量，且 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；故选：D
3．（2023·全国·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或 然后结合三角函数的性质即可确定 的最大
值.
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由 想到构造矩形 ，运用极
化恒等式推导出结论 ，求得 ,最后用三角形三边关系定理得到 的范围，
转化即得.
【详解】
如图，设 ， ， ，点 在圆 上，
点 在圆 上，则 ， ，由 可得： ，
作矩形 , 则 .
下证： .
设 交于点 ，连接 ,因 则 ，
同理可得： ，两式左右分别相加得：
，
.
即 ，故 .
又 ，因 ，
即 ，故有 ．
故选:C．
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
1．（2024·河北唐山·二模）已知圆 ： ，过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于
， 两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出线段 的中点 ，将 转化为 ，利用垂径定理，由图化简得
，只需求 的范围即可，故又转化成求过点 的弦 长的范围问题.
【详解】
如图，取线段 的中点 ，连接 ，则 ，
由 ，
因直线 经过点 ，考虑临界情况，
当线段 中点 与点 重合时（此时 ），弦长 最小，此时 最长，
为 ，（但此时直线 与 轴平行，点 不存在）；
当线段 中点 与点 重合时，点 与点 重合， 最短为0（此时符合题意）.
故 的范围为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆 的弦 想到取其中点 ，将 转化为 ，利
用垂径定理，将所求式转化成 ，而求 范围即求弦 的长的范围即可.
2．（2024·天津河北·二模） 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一
点，若 （ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
【详解】设 ， （ 且 ），
则 （ 且 ），
则 在线段 上，如图所示，
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最大值，最大值为 ；
当 与 重合时， 在 上的投影向量的长度取得最小值，最大值为 ；
则 在 上的投影向量的长度的取值范围是 ．
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由 ，得 ，可得 ，由
，当等号成立时可得最小值.
【详解】 为单位向量，有 ，得 ，
由 ，得 ，
有 ，所以 ，
，
， ，有 ，
则 ，当且仅当 与 方向相反时“ ”成立，
如取 时，可使“ ”成立.
所以 .
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得 ，这样就能得到 .
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线 的右支上一点P，分别向 和
作切线，切点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线 的左右焦点为 ， ，连接 ， ，
， ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求
值．
【详解】由双曲线方程 可知： ，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为 ， ，
圆 的圆心为 （即 ），半径为 ；
圆 的圆心为 （即 ），半径为 ．
连接 ， ， ， ，则 ，可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即 的最小值为30.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得 ，结合双曲线的定义整理
得 ，结合几何性质分析求解.
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量 即可求得 ，进而得 .
【详解】因为 ，
所以 ， ，故 ，
所以 .
故选：C.
2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量 ， ，则下列结论一定错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数 的值，即可判断A；根据 及数量积的坐标表示求出 ，
即可判断B；表示出 ， ，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D.
【详解】对于A：若 ，则 ，解得 ，故A正确；
对于B：若 ，则 ，解得 ，故B正确；
对于C：因为 ， ，
显然 ，故C正确；
对于D： ，故D错误.
故选：D
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】对 两边平方化简可得 ，再对 平方化简后再开方即可.
【详解】由 两边平方得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设 与 的夹角为 ，
则 在 上的投影向量为 .
故选：B.5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量 为单位向量， 且 ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用转化法求得 ，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.
【详解】因为向量 均为单位向量，即 ，且 ， ，
则 ，两边平方可得 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 与 的夹角为 ．
故选：C．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，将 两边同时平方，即可求解.
【详解】设向量 夹角为 ，
两边平方得则 ，
又 ，
即 ，解得 .
故选：A.
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出 的表达式，利用二次函数的最值即得.【详解】由 可得
，
因 ，故 时， ，即 的最小值为 .
故选：B．
二、填空题
8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，
，则 .
【答案】
【分析】利用向量的加法结合数量积的定义求解.
【详解】
故答案为：
9．（2024·四川内江·模拟预测）已知向量 ， 满足 ，则m的值为 .
【答案】
【分析】根据向量坐标运算得 ，结合 得到 计算得到答案；
【详解】根据题意，向量 ， ，
因为 ，所以 ，则 .
故答案为： .
10．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若 ，则
.
【答案】
【分析】借助平面向量的三角形法则，用 作为基底，分别表示 向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解.
【详解】因为在单位正方形 ，点 是 边上一点，又 ，所以 ，
，
所以 .
故答案为：
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量 ， 满足 ，且 时， 取得最小值，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足 ，即可求得
， 的夹角.
【详解】设 ， ，则 为直线OB上的点C与点A之间的距离，
由 时， 取得最小值，得C为线段OB的中点且 ，
由于 ，所以 .
故选：B
2．（2024·天津北辰·三模）在 中， ， 为 外心，且 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得 在 方向上的投影向量为 ，从而求得
，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】
由O为△ABC外心，可得 在 方向上的投影向量为 ，
则 ，故 ，
又 ，设 ，
则
，
当且仅当 时等号成立，
由 可知， ，
故 的最大值为 ．
故选：A．
3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C的方程为 ，直线l与抛物线C交于A，B两点.设甲：直线l
与过点 ；乙： （O为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用巧设的直线与抛物线联立方程组，用坐标运算来研究向量积，再分析充要关系，即可得解.
【详解】因为直线 的斜率不可能为0，所以可设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立，消去 得： ，
再设 ，则 ，所以 ，
由 ，
当直线 经过点 时， ，则 ，此时甲是乙的充分条件；
当 时，解得 或 ，即直线 经过点 或 ，此时甲不是乙的必要条件；
故选：B.4．（2024·四川成都·模拟预测）设向量 ， 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ，得到 ，化简得 ，代入
即可.
【详解】 向量 满足 ，
,即 ,
,
,
故选：A.
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 中， ，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 得出 ，再借助平行四边形定则画图可解.
【详解】如图，设 的中点为 ，则 ，所以
， ，则 ．
设 ，由于 ，则 ，则 ．
假如 的起点均为 ，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点 如图所示，所以
．
故选：A．6．（2024·四川成都·三模）在矩形 中， ， ，点 满足 ，在平面 中，
动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【详解】以O为坐标原点（ 是 中点），建立如图所示的直角坐标系，
因为在矩形 中， ， ， ， ，
所以动点 在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设 ，
则 ,
，
其中锐角 满足 ，故 的最大值为 ,
故选：A.
二、多选题
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 的方向上的投影向量为【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．
【详解】 ， ，故A正确；
，所以 ，故B正确；
，所以 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
在 上的投影向量为 ，故D错误；
故选：AB．
8．（2024·新疆·三模）已知点 ， ， ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， D． 的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，当 时，计算 即可；对于B，由 ，即存在实数 ，使得
，计算得 即可；对于C，由 得， 两边平方结合二倍角
公式即可；对于D，由向量的模运算得 即可.
【详解】由题意可知， ，
对于A，当 时， ，所以 ,
即 ，故 ，故A正确；
对于B，因为 ，
所以存在实数 ，使得 ，即 ，
解得 ，故 或 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，解得 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以
，其中 ，
所以当 时， ，故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算 ，其中 表示
的夹角，则对于两个非零平面向量 ，下列结论一定成立的有（ ）
A． 在 上的投影向量为
B．
C．
D．若 ，则
【答案】BD
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A， 在 上的投影向量为 ，故选项A错误，
对于选项B， ，故选项B正确，
对于选项C， ，
显然 时， 不成立，故选项C错误，
对于选项D，由 ，所以 ，则 ，即 ，故选项D正确，
故选：BD．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的
运算和向量的平行等进行推理运算即可.
三、填空题
10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形 的边长为 ，正方形 边长为1，则
的值为 .若在线段 上有一个动点 ，则 的最小值为 .【答案】 6
【分析】易知正方形 与正方形 的中心为 ，然后将涉及到的向量用 或 来表
示，结合数量积的运算律即可求解.
【详解】由已知得正方形 与正方形 的中心重合，不妨设为 ，
所以 ， ，
则 ；
，
显然，当 为 的中点时， ，
所以
故答案为：6； ．
1．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
3．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一
空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .4．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
5．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
6．（2022·全国·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
7．（2022·全国·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
8．（2022·全国·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
9．（2022·天津·高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为
，若 ，则 的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹为
以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 与
相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：
，
，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，
，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
10．（2021·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 ．【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
11．（2021·全国·高考真题）若向量 满足 ，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
12．（2021·全国·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 .
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
14．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为 ； 的最小值为
．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式
即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
15．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， ．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可
得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小
值.
17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
18．（2020·全国·高考真题）设向量 ，若 ，则 .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
19．（2020·全国·高考真题）设 为单位向量，且 ，则 .
【答案】
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：
，问题得解.
【详解】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
20．（2020·全国·高考真题）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量
互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
21．（2020·北京·高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
； ．
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求得点 的坐标，
利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的坐标是解答的关键，
考查计算能力，属于基础题.
22．（2020·浙江·高考真题）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得 ，再根据向量夹角公式求 函数关系
式，根据函数单调性求最值.
【详解】 ，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合
分析求解能力，属中档题.
23．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是
，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的
定义式，属于简单题目.
24．（2020·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】 ， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，
考查计算能力，属于中等题.
25．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为 ，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点 为坐标原点， 所在直
线为 轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的
函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
【详解】 ， ， ，，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于
中等题.
