文档内容
1997年数学（三）真题解析
一、填空题
(1)【答案】 ----f (In x ) + ff (x )/(ln x )e/(x) dx.
/(x)
【解】 由 3/ =------厂(In 无)+ /'‘(•z l/Xln z ,得
x
re/<-r) n
dy = ------/z (In x ) + )/(ln x )e'°) dr.
7T
（2）【答案】
4 — 7T
【解】 令 A = f f{jc )djr ,则于(无)=-- ---- + A J\_ f ,
Jo 1 + JC
两边从0到1对工积分得
抄+町;
1 "戸也=于+于A,
1 +工
解得A = .
4 — tt
（3）【答案】 兀=C +（t — 2）2'（C为任意常数）.
【解】yt+i — yt = 0的通解为yt = C,
令 yl+] — yt = t2'的特解为 y（）（t） = （at+ 6）2',代入原方程得 a = 1 ,b = —2,
故方程yt+i-yt = t2'的通解为兀=C + （t —2）2'（C为任意常数）.
（4）【答案】—麗•< r < V2.
2 1 o'
严i
t
【解】A = 1 1 ~2 ,X = \jc2
t 工3
0 1
T
2 1
则二次型f - X AX为正定二次型的充分必要条件是2 > 0, ] ] = 1 > 0, | A | > 0,
因为 | A | = 1----—，所以一^2 V t V .
(5)【答案】z,9.
【解】 由 X】H------- X9 〜N(0,92)得*(Xi +-+X9) - N(0,l),
由 Y,〜N(0,32)得〜N(0,l)(J = 1,2,-,9),
于是+（并H-------比）〜X2（9）,
x. + - + x9
故u= ■ 〜t(9).
…+M)/9二、选择题
（1）【答案】（B）.
【解】方法一 由 lim — (无6 ) = lim sin x • sin( 1 5 — cos x )2 = lim jc • (1 — COS X )
T-*0 .X -r-*0 6无 HfO 6jc 5
z・(2sin肯)i
=Hm 5 = %，
lo 24
得〜右広‘
因为g(w )—;
川，所以 /（x）是gQ）的高阶无穷小，应选（B）.
0
方法二 当t Ta 0 时，sin 厂〜厂，
fl—COS X ]
1 6
则 /(jc ) = sin/2 d Z ^ — (1 — cos 工)‘ ~
J 0 3
5 6 -I
而g(z) = ? + ?-----/，故f O 为g(z)的高阶无穷小，应选(B).
5 6 5
(2) 【答案】(C).
【解】 因为/(^)为偶函数，所以仆工)为奇函数，厂(工)为偶函数，
故在(O, + *)内有 fO < o,/〃(H)< o,应选(C)・
(3) 【答案】(C).
【解】 方法一 令A = (a 1 ,a2 ),则厂(A) = 3,
/I 0 1
(a 1 + 2ot 2，2a 2 + 3 + 22a 3,3a , + 5a 2 — 5a . -3 5 ,
—5/
s
22
z1 2 3 \
由 r(A)= 3得，厂（B）= r 1 -3 5
-5/
h
22
1 2 3
因为1 —3 5 =0,所以r（B） <3,即5 +业+血，2a】一3血+ 22血，3® + 5心一 5业 线性相关，排除
1 22 -5
（D）,应选（C）.(4)【答案】(D).
【解】 由A,B同阶可逆得r(A) = r(B)="，故存在可逆矩阵P ,Q ,使得PAQ = B,应选(D).
事实上，矩阵乘法没有交换律，两矩阵秩相等，两矩阵不一定相似及合同，故(A),(B),(C)不对.
⑸【答案】(A).
【解】P{X=Y}=P{X = —1,Y=—1} + P{X = 1,Y=1}
= P{X = —1}P{Y=—1} + P{X = 1}P{Y=1} = *,
应选(A).
事实上，P{X+Y = 0} = P{X = —1}P{Y=1}+P{X = 1}P{Y=—1} = *,
P{XY = 1} = P{X = Y} = y,所以(B),(C),(D)都不对.
三、【证明】 limQ(x) = AlimWx + (1 — 讥一叮丁
J--»0 T-*0
才 +(1—5门~~工 一1
=Alim + (1-S)L~X
I
+(】一讥一工
Ae
v 8K~X +(1 —- 1
由 lim----------------------------------- = lim[— SK~x\nK — (1 —ClnL]
•rf 0 X x-*0
=-\nKs — lnL-' = -lnKaL1_a ,
得 limQ(_r) = A^kSl1~S = AK'L1-6 = Q.
du f\ +f'z •譽+ f dz
四、【解】
d7 d7
exy — y = 0两边对h求导9得尹(y +工等)—警=0 9解得
dy = = 夕2
dx \ — re y 1 —工歹
ez — xz = 0两边对 jc 求导9得ez d 血 7 一 N — 3C 学 arc =o,解得
dz _ z
dr xz — x
故 d“ =f\ +fz 匕 2 +门 N
d7 XZ 一 X
五、【解】 设政府征税总额为T,则T = tx,
(1)利润函数为
L = R 一 C — T = px 一 (3z + 1) — tx = (4 一 t)戈—0. 2x2 1,
由学=(4 — z) — 0. 4j: = 0,得无=¥(4 — t),
dx 乙
因为器 5
-0.4 < 0,所以当销售量工 =—(4 — I)时，该商家利润最大.
5
(2) T = tx = — (4r — t2),
AT 5
由—r~ = —(4 — 2t) = 0 得 t = 2,
At 2
因为= -5 <.0,所以当t = 2时，政府收税总额最大.
At六、【证明】 因为 limF（jr） = lim --------------- = lim J7n/（jr ） = 0 = F （0）,
x -*0^- 才-*（）+ " 工->。+
所以FQ）在工=0处连续，从而FQ）在［0,+oo）上连续；
乂"+1/（工）一「广于（刀曲
当工 > 0 时， F'（z ） = ---------------------------------,
因为八乂）在［0,十处）上单调不减且/（0） $0,所以当広$0时，/（^） $0,
[tn f (t)dt x" f (x )dz = j;n+1 /(j;),
从而
J 0 J 0
于是当z >0时，F'Q） Mo,即FQ）在［0, + oo）上单调不减.
1
七、【解】（1）如图所示，抛物线y =工？在点Q, 1,1）处的切线为
卜 尸” U
y — 1 = 2（乂 一 1）,即 y = 2jc — 1.
qJ
i\
/1
令y — 0得卩2（*，0）'点Q的坐标为Q2 （■y»）， / / 1 i
抛物线y =工2在点Q处的切线为
y —右=2.*（工—*）,即 y=z_*,
令y = °得P3 （右‘0），点Qs的坐标为Q：』（*‘*■）， P\ Pl
七题图
1
由归纳法得P,, 1,2,-),则万可 =
--------- ------- 1
⑵由Q,P” =(OP„)2 =尹(” =1,2,-)得
______ ______ ______ / 1 \ 2n~2 1 4_
q1p1 + q2p2 + - + q„pzi + - =
I I
1
4
八、【解】由 jj /(+ ) dzdy =[ dojo 厂/(*广)dr = 2兀[〃(+厂)dr•，得
/(t) = e" + 2』厂/(存)dr,
两边对t求导得
/z(z) — 8^tf(t) = 87r^e4nz ,
解得 ./'(?)=("奴占‘ •eE"dt + 0)「片""=(4兀厂 +C)e°
2
由 /(0) = 1 得 C = 1,故 f(t) = (47t(2 + l)e4n,.
九、（1）【解】PQ =（ 丘 a
a 1 A —aT A* a + | A 16
A a
0 | A | (6-aTA_1a)(2)【证明】|PQ|= |P| • | = | A |2 • (b-arA-'a),
由 |P|= |A|HO,得 |Q|= I A I • (b-arA-'a),
故Q可逆的充分必要条件是丨Q丨H 0,即« rA «工b.
十、【解】(1)设矩阵A的属于特征值3的特征向量为a3 =(厂，工2，乂3)丁，
a3 = 0, (— j?! — x2 十広3 = 0,
因为At = A,所以 即
lala3 = 0, " i — 2_r 2 —工3 = 0.
该方程组的基础解系为(l,0,l)T,故属于特征值3的全部特征向量为03 =&(l,0,l)T(其中怡为任意非零
常数).
1 \
/I 0 °\
(2)令 P = - 1 -2 0 ,由 P AP = P 2 0得
' 1 -1 J 'o 3，
0
5
2
13
十一、【解】 当z<—1时，F(z) = 0；
当一1 w 乂 < 1 时，F(z) = P{X = —1}+P{—I 0,
由X〜E(5)得几(工)=
Io, 工 w o,
(5严，j- > 0,
由 Y 〜E(5)得 /y(3-)=
(0 , y £ 0,由X,Y独立，得(X,Y)的联合密度为
25「”少，x>O,y> 0,
f〈工，y) = f x=
0, 其他，
T的分布函数为
F(Z)= P {T t} = jj f (x ,y)dar dy ,
当 t < 0 时,F(z) = 0；
当 t 0 时，F(r) = 25 P e_5j " e~Sydy = 5 P (e"5j -e^ )djr = 1 - e"5/ - 5ze-s,,
J 0 J 0 J 0
(0, t < 0,
即 F(z)=
11—e-"—5re~, t > 0,
/0, t < 0,
故 /(t)=
〔25心"，t > 0,
f+°° i r+°° i 「+8 i
E(T) = t • 25te~5,dt = — (5z)2e"5,d(5z) = 4 t2 e~'dt = —T(3)=-
Jo 5 J o 5 J o 5
再由 ECT2) t2 • 25te~ck =召「'⑸化一厲⑸)=穆「° 严 ©-，山=丄 1X4)=—
Jo Z5J o 25J o 25 25
得 D(T) = E(T2) - :E(T)] 2 = -—=—.
