文档内容
1994年数学（三）真题解析
—、填空题
(1)【答案】In 3.
'2工+ |工|」 —— 2 x
【解】 dr = --------djr
-2 2 + x2 0 2 + J7 2
2
=In 6 — In 2 = In 3・
o
（2）【答案】1.
X 1______________________
【解］辄兀m?云二75巳吧丁/（J7O
— 2无）一/（工0）f（Ho —工）一于（工0）
一 2 •
—2x —x
1 ]
1.
—2厂（工。）+十（工。） /■'(•To)
sin x
（3）【答案】
x exy + 2y
【解】exy + y2 = ccooss xX 两边对x求导得
+ 2/
y + —sin x 9
解得字 sin jc + yey
0 0 0 —1
-1 0 0 0
5
（4）【答案】 0 -1 0 0
0 0 _1 0
5—1
0 0
Qi
0 如 0 0 C
【解】令〃= a),c ，则A
B 0
0 0
0 0 0 -1、
Qn
-1 0 0 0
5
0 B 1
故 A"1 0 0 0
0
0 0 -1 0
Q”一i
9
（5）【答案】寻
丄 丄
【解】P X <
) 2.2 9
显然Y b(3,t • 7
64二、选择题
（1）【答案】（B）.
【解】 由limjz =手得y =手为曲线的水平渐近线;
•rf 8 4 4
由，（一 1 — 0） =----, 3^（— 1 + 0）=迈■，得乂 = —1不是铅直渐近线；
j_ 丄
由夕（2 — 0） = — e4 ,夕（2 + 0） = -^-e4，得工=2不是铅直渐近线；
由limy = —*得乂 = 0为铅直渐近线，故曲线只有2条渐近线，应选（B）.
x-*0
（2）【答案】（C）.
a" + 2 L A
【解】 (-1)
%/z?2 + A n 十入
因为冷 —且工—收敛，所以工 丘收釦
n ”=i n “=1
又因为以收敛，所以土
收敛，故级数工（一1）” °” 绝对收敛，应选（C）.
i ” =1
（3）【答案】（C）.
【解】r(B) = r(AC) < r(A),
因为 C 可逆，所以 A = BC 1，从而 r(A) = r(BC^) < r(B),即 r(A) = r(B),应选(C).
⑷【答案】(D).
【解】 方法一 由P(A | B) + P(A | B) = 1得
P(AB) P(AB)
P(B) + F(B) '
即
P(AB) 1 - P(A) — P(B) + P(AB)
P(B) H 1 — P(B)
整理得P（AB） = P（A）P（B）,即A,B互相独立，应选（D）.
方法二 由P（A | B）+ P（刀| P） = 1得
P（A | B） = 1 - P（A | B） = P（A | B）,
即事件B发生情况下事件A发生的概率与事件B不发生情况下事件A发生的概率相等，则A,B互相独
立，应选（D）.
（5）【答案】（B）.
/ 2 \ y _
【解】 由乂〜N“，一 ）得一二上〜N（0,l）,
\ n丿 o
X —
艮卩-- ---- 〜—］）,应选（E）.
6
a/z? — 1|(工-+) 寺
三、【解】 区域D可化为D = +(y-
x =+ rcos 0 9
令 0£0 = 2兀，0£ 厂 W ，则
” sinO
JJ (工 + jy)(lr dy = '2k •a/t r
d0 厂[1 + r(sin 9 + cos d)~]dr
0 < o
D
=Jo -- 3 - --— . V计6 (sine + cos 0) d心夢
_4 4
四、【解】 特征方程为A2 +4A +4 = 0,特征值为心=& = 一2,
则 / + 4^，+ 4j/ = 0 的通解为 y = (C| +C2^)e-2x
2,
由歹(0) = 2,j/(0) = —4 得 即y = 2严
0,
+8
°+8 •+oo
故 j/ ( jc ) djr = 2e dx = —e_2x =1.
o o 0
y 1 1
五、【解】 3工 2jc arctan- x ------y • 牙_歹・ i+F) 2 2jc arctan - x -----y ,
1 +
\ y '
32f 2 .-1 2/ 2 2
dx rz +y2 X2 + y2
1 +
X u 1
六、【解】 F(«z)= f{xn 一广)dCr” 一 )= /(u)du,
o n o
f (u) dw -] i
F(z) 1 o 1 <. njc • f(工")
则lim ———lim ” =—lim-------- ?—
■zf 0 n t—o jc " X 工〜。 2nx2n
x
七、【解】 如图所示，
In \/jc Q 9
1
(1)由题意得- a 1 解得Q
e
2
2工0
则(才0，『0)= (e2 ,1).
(2)所求的旋转体的体积为
pe2
j (In a/?" )2 dr
In" x djr
=工2____兀
In x djr J =
7t
~ Te
八、【证明]F'Q) — 八"心―a—"⑺―")]
(工— a)2
令 A (j? ) = f\jc ) (J： — a ) — [/(工)一/(Q)〕9 hCa) = 0,
当 z > a 时，//(z) = ff\jc ) (j; — a ) >0,f/i (a ) = 0,
由( 得 /i (z ) > 0(x > a ),
>0(z >a)
从而当h > a时，F'Q）〉0,故FQ）在（a, + ^）内单调增加.
九、【解】
i 1 ai a2x ;\ ax3
i1 a 2 a 22 :: a 32
（1） A
T1 a 3 2 , : 3 3
11 a4 a24 :: a34
因为5山2,两两不等'所以I A | = JJ （a, — a, H 0,从而r （A ） = 4,
因为r（A） £ 3,所以r（A）丰r（A）,故方程组无解.
(2)由 a】=5 — k ^a2 = s = — k(k HO)得 r (A) = r(A) = 2V3,
原方程组的导出组的基础解系为§ =02—力=(2,0, —2)丁，
故方程组的通解为X = ，其中c为任意常数.
A 0 -1
十、【解】 | XE — A | = — x A — 1 —y = (A + 1) (A 一 1 )2 = 0 得入1 = — 1,入 2 =入3 = 1，
一 1 0 A
因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化，于是r（E-A） = 1,
0 0 _ 1 \
0 0 — x —夕]得攵+夕=0.
0 0 0 '
X] X2
十一、【解】X = =XX —X2X3,
X4
令 Y] = XX， 丫2 = X2X3,
P {Yj = 1} = P{Xi = I9X4 = 1} = 0.16, P {Yj = 0} =0.84,
0 I
即Y】〜
0. 84 0. 16
[0 1 ),且Y] ,丫2相互独立，
同理丫2〜1
、0・84 0. 16/
显然x = Y] -y2的可能取值为一1,0,1,
P{X = -1} = P{Y1 = 0}P{Y2 = 1} = 0.84 X 0.16 = 0.134 4,
P {X = 1} = P {Y2 = 1}P {Y2 = 0} = 0. 84 X 0. 16 = 0. 134 4,
P{X = O} = 1 —P{X = —1}—P{X = l}=0.7312,
故X的概率分布为X〜（/ °W _ 1 4 0>7 0 312 1
0. 134 4
十二、【解】 由X〜N（〃，l）得X — p.〜N（0,l）,则
E（T） = —P{X V 10} +20P{10 W X W 12} — 5P{X〉12}
=—①（10 — “）十 20［①（12 一 “）一①（10 — “）］ — 5口 一①（12 —戶）］
=25①（12 —〃）一 21 ①（10 —〃）一5,dE（T） 1 r （i°r） 2 一（12-』9-]
由------=—25 爭（12— 〃）+ 21 申（10 — 〃）= ----- 21e 2 — 25e 2 =0 得
W 727 L 」
1 , 25
〃 ~ 11----In — ~ 10. 9,
故当平均内径〃 ~ 10・9时，销售一个零件的平均利润最大.
