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1996年数学（三）真题解析
一、填空题
（1）【答案】 -----------------djr
z(l + ln y)
【解】 由工=yy得In工=y\n y ,两边对工求导得
解得警=乂（1；1“则七=工（1人异卩
1 1
（2） 【答案】 一 §（1—川严+C.
【解】\xf（工）dj： = arcsin工+ C两边对x求导得
xf （ j:）=— ,
— x2
解得J：=工 J \ _工2 ,
j \ jc ）
故］ 1）dz = J工 J\ —芒 dx =----J（1 — j：2 ） 2 d（l — x2 ） =-------（1 — xz ） 2 + C・
（3） 【答案】c = ax \ ,b取任意常数.
【解】yf = 2ax + b,曲线在点（工0，夕0）的切线为
y ~ yo = （2ajcQ + b）（«r —工°）,
因为该切线过原点，所以Po = +处。，
再由yQ = axl + bx0 + c得c = a式，b取任意常数.
（4）【答案】（1,0,0,・・・，0）丁.
【解】|a「|= (乙一勺)工0,
Di = | A | ,D2 = 0,…,D” = 0,则 z i =[- 右 =Is = 0,…,z” = 0,
故方程组人丁乂 = B的解为(l,0,0,“・，0)T.
(5)【答案】(4.412,5.588).
V — u
【解】 取统计量----N(0,l) ,a = 0. 05, “0.025 = 1. 96 ,
丁
则参数p的置信度为0. 95的置信区间为(z — • u0.025，工+ ~~ • “0.025 ) =(4. 412,5. 588).
二、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】变换坐标系，则
应选（D）.（2）【答案】（A）.
【解】 方法一 若〉与〉2讷都收敛，则）收敛，
” =1 ” = 1 ” = 1
由0=（“” +“）2 £2（讷+谋）及正项级数比较审敛法，级数工（“” +v„）2收敛，应选（A）.
n = 1
q 1 8
OO OO
方法二 取u„ = —=—，显然艺I Unvn | = X/ ~T收敛，但工发散，（B）不对；
d n " ” = i ” = i n ~2 ” = 1
取％” = J■'级数发散，但％” = ^-V丄，（C）不对；
2兀 铝 2n n
取％” = = 一 1，显然％” vn （n = 1,2,・・・）且〉2 %”收敛，但发散，（D）不对，所以应选（A）.
" ”=1 ”=1
（3） 【答案】（C）.
【解】由A* = |A IA-1得
（A * ） • = I A • I （A * ）_1 = I A I "T • -r-^-r-A = I A I ,
I A I
应选（C）.
（4） 【答案】（D）.
【解】 由（小+紅）s + ••• + （入”十為）a” +（右一局）力+ ••• + （心~km）p,n = 0,得
入 1 （a】十 01）+ …+ 入”（a,” + fim ） + Q （a】—+ -■• + km（am — 0,”）= 0.
因为 A ! ,A2,••• U和 k\ ,k2 ,••• ,km 都不全为零，
所以 «] + p, ,a2 +p2,-,am +pm .a, -/?, ,a2 一庆，…，a,” -pm 线性相关，应选（D）.
（5） 【答案】（B）.
【解】 由 P[(4 +A2) I B] = P(A, | B) + P(A2 I B) — P(4A2 | B)得 P(A,A2 | B) = 0,
从而 P(AiA2B) = 0,
于是 P(A1B+A2B) = P(A1B)+ P(A2B)-P(A1A2B) = P(A1B) + P(A2B),应选(B).
三、【解】
(1)当 z H 0 时,/•'(z)= 心 ；
3C 2
当工=0时，
由
li")T(°) limg(J)re'J
=1■凹
g'Q) + 亍
o x L ° X X
|riim^(j)~g/(o)+iimg— 扣〃（0）-1],
L L^fO H T-*0 x
得 r（o）= *[g〃（o）—i],
(工[g，(无)+ e_z ] — [g (工)—e-工]
•z H 0,
故 厂(工)=)
|*[g〃(0)-1]，
工=0.
(2) lim/"(z) =limg &)+ * -limgQ)「'
x-*o x-*0 X T-»0 X i
g‘ (工)+ e~x
zf 0 X x£lim "士 丄 応<(°2+lim e J ~ 1 I
2 —o X I X—0 X x-*o X 1],
因为lim// （z） = /'（0）9所以厂（工）在（一00 i + °°）内连续.
x-*0
du
lz = /（%）, /(u) a?
四、【解】 仔 两边对工求偏导得
U 卩（u）+ J y pCt）dt (pf (u) J+ 心),
ox
解得我=「）（（；）
OX 1 — cp lu）
z = /(%),
"+J
曲）畀边对『求偏导碣一泊册
u
J y
3 n 3 z
故 P(y)二 + pQ)子=0.
dx oy
x e 1 X
五、【解】 方法一 由 - ( - l - -- + -- - e -- _ -- J - ) -d 2 x = jc d 1 + e 1 + e -
JT
^-^-InCl + e^ + C,
°+8 x e ^-lnd + e')! +ln 2
得 djf lim .,
0 (l + e_x)2 -*+°° I_1 +
2
=•咕rf+8 竺二吐摯土 十］沁
l + ex
lim \_jc — ln(l + eJ )] + In 2
ex
= lim In-------- + In 2 = In 2.
工-*+°° 1 +
方法二
*+°° x e =r C+°o 1
9 Ajc 卡沖 — jc d
0 (l + e_J)2 J o eJ +1
X +°° r+8
+ =J<
ex +1 0 • o
+°°
-ln(e_x + 1) =In 2.
o
六、【证明】令卩（z） JC f(JC)9
由积分中值定理，存在cW |0,- ，使得
2 f2 xf (x )dj? = 2 • cf (c)
/(l) y = cf(c),
J 0
即卩(c)=卩(1)9
由罗尔定理，存在f e (c,l) U (0,1),使得/(£)= 0,
而(p\x ) = f{jc ) + jcf\x ) »故 /(£) + f/z(f ) = 0.
七、【解】⑴收益函数“爪二殆" (d — be) p — cp2
p + b
dR _ (p + 6) (a — be — 2cp ) — (a — be)p cp2 _ ab — c(p + 6)2
dp — ((pp ++6b))22 — ~{p+bY由,,dR乔 侍— 口〃 =丿la
7
b 一, &.> °c'
当° < ” < 眉_b时，誥> 0,此时单价P越大，销售收入增加;
当p>\fr~b时'篇此时销售单价p越大，销售收入减少.
（2）当商品单价p = 腭 _b时，销售额最大，最大销售额是
=(Vo~ — 4bc )2.
八、【解】
dz
令U
x
______ 1 ______ 厂
积分得ln（u +丿/ + 1 ） = In-----G，解得弘十丿/ + 1 =—,
x JC
再由_ % + +1 =咅得况=*（手_咅），故通解为）=*（c —青）
当 *。时 1+71"
令“ =2,则“+工冀 =“+ /J寸，或—W—= 立，
工 d_z v<7TT 工
积分得 ln(w + 丿/ + 1 ) = In(— jO + lnC,解得 zz + a/zz2 + 1 = —Cz ,
再由 一 ％ + 丿/ + ] = — 得况=(-----Cz ),
故通解为y = *(右一Cd) (C为任意常数).
九、【解】(1)令At = (° 1)加2 =『1),则A = (A* °),
0/ 2/ 、O Aj
I AE - A | = | XE-A} | • | XE-A2 | = (A2 - 1)[A2 - (3/+ 2)A + 2j/ - 1],
因为A有一个特征值为3?所以(3? — 1)[3? — 3(夕+ 2) + 2夕一1] = 0,解得，=2.
‘0 1 0 0、 ‘0 1 0 O' A 0 0 O'
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
(2)AtA =
() 0 2 1 （） 0 2 1 0 0 5 4
0 0 1 2, L0 0 1 2, () 0 4 5,
/5 4
令5
由 | AE — A3 | = A2 — 10A + 9 = 0 得入1 =1,入2 = 9,
/I 1\ / _ ] '
由 E — A3 t■（），得入i = 1对应的线性无关的特征向量为a】=1
、0 0/ \ 1丿
/I _ 1 \ /I
由 9_E — A 3 -- ，得入2 =9对应的线性无关的特征向量为a2 =
\o 0 ' 4规范化得 r2
1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
故所求的矩阵p = 0 0 ，且(AP)T(AP) = Pt(AtA)P
0 0 I 0
.0 0 0 9
0 0
十、【证明】 因为aI ,a2, •，at为基础解系9所以cc 1 2 9••• «ct,线性无关，
令 k()p k} (p + a 1) + 怡2(0 + a 2) + …+ kt (/J + a/) = 0 9 即
ift i k2u2 + …ktat + (^o + ^i + …+ 匕)0 0,
两边左乘A得(仏+局---- "A卩 0,
因为A0 H 0,所以ko + k! +…+怡 0,
从而 b ‘a、-\- k2o> 2 + …tat 0,
由a| .a2 ,•••，＜/,线性无关得厂=k2 0,
于是怂=0,故向量组0 ,0 + a( ,j? + a2,••• ./J 4 a(线性无关.
十一、【解】 设X表示一周内机器发生故障的次数，则 X 〜B(5,0. 2),
设一周内所获利润为Y,则
‘10, X 二二 0,
5, X ==1,
Y = <
0, X ==2,
-2, 3 £ X £ 5,
E(Y) = 10P{X = 0> + 5P{X = 1} — 2P{3 £ X W 5},
由P{X = 0} =0. 85 = 0. 327 68,
P{X = 1 > = 5X0.8" X 0. 2 = 0. 409 6,
P{X = 2> = 10 X0. 83 X0. 22 = 0. 204 8,
P{X 3} = 1-P{X = 0} - P{X = 1} - P{X = 2} = 0. 057 92,
得 E(Y) = 5. 208 96(万元).
十二、【解】 令儿={方程有实根}, A2 = {方程有重根〉，
则儿={B2 -4C 0} = {B2 4C}, A2 = {B2 -4C = 0} = {B2 = 4C},
骰子连续扔两次的样本点总数为” =36,
B,C 的可能取值为1,2,3,4,5,6,
B 1 时，有利于A】 的样本点为0,有利于A2 的样本点为 0
B 2 时，有利于Ai 的样本点为1，有利于人2 的样本点为 1;
B 3 时，有利于A】 的样本点为2,有利于人2 的样本点为 0
B 4 时，有利于人 的样本点为4,有利于人2 的样本点为 1;
B 5 时，有利于人 的样本点为6,有利于A? 的样本点为 0
B 6 时，有利于A】 的样本点为6,有利于A? 的样本点为0,
0+1 十 2 + 4 + 6 + 6 19 1 + 1 1
故P
36 36' 9 = "ST = IS'十三、【证明】 由X|,X2,…，X”独立同分布，得独立同分布,
由 E(Xf) = a2， D(Xj) = E(X：) —[E(X：)] 2 = s 一 a行得
q __ 2
E (Z”)=—工 E (X ■ ) = ^29 D (Z“)=----------
Z” — a2
由中心极限定理,U 近似服从标准正态分布,
I » / _ 2
故近似服从正态分布N仏，屮
