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1995年数学（三）真题解析
—、填空题
2(—1)""!
（1）【答案】
(工 +1)”+1
]— 2 2( — 1)"”！
【解】 由 /(J7 )=――— T + R得广
1十工 (乂 + l)”+i
（2）【答案】
=^/ + yf'，
则 xz'x + yz'y
(3)【答案】z+e’+C.
【解】 由 /z(In x) = 1 + z ,即 /''(In z ) = 1 + eln J 得 ) = 1 + eJ ,
故 f (工)=z + + C.
1 z1 0 0
⑷【答案】命2
2 0
丄u \
'3 4 5
【解】|A| = 10,由 A* = | A = lOA-i 得
V n(n — 1)
（5）【答案】X
Q~
【解】s、卒 （―占,
因为参数P与/未知，所以对假设H。：” = 0,应取的统计量为
X — 1)
X
y Q~~
\fn
二、选择题
（1）【答案】（D）.
m由—1= 加¥—冷显ift⑴
zfo 2x 2 広―o — x
得/''⑴ =—2,应选（D）.
（2）【答案】（A）.
fl 1 1 fl 1
【解】 方法一 对 ----dz ,因为lim (j? — 0)1 • —----- = 1且所以 ----Ax发散9
J o sin jc 工—o+ sin x J o sin jc
从而『丄-dz发散，应选（A）.
J -i sin x丄
方法二 因为 lim (j? + 1) 2 —1...... = — , lim (1 — x ) 2 万三〒=逅且㊁＜1'
X-* —1 J \ —尹 V2" 工-厂
1
所以 万三〒dr收敛
-1
*+°° 2 JC 2 丄 -1 1 各，所以 *+°° 2
因为 e-J Ax = e_(dz = Tr e_x Ax收敛
0 2 0 o
°+8 I +8 越得 '+°° 1
由 2幻応山 —y-d^-收敛，故应选(A).
In x 2 2 xln x
（3）【答案】 (C).
【解】 由 BA = O 得 r(B ) + r(A) £ 加，再由 r(A ) = m 得 r(B) = 0,即 B = O,应选(C).
（4）【答案】 (D).
【解】 因为X,Y独立同分布,
所以 Cov(U,V) = Cov(X-Y,X+Y) = Cov(X ,X) — Cov(Y,Y) =D(X) — D(Y) = 0,
Cov(U,V)
于是 P" = _ = °,应选(D).
JD(U) - 7D(V)
（5）【答案】（C）.
V _ 〃
【解】由X〜N（“d）得~巴 N(0,l),
则 P{\ X-fi \0
3jt2 3 x->0_ X2
则 (0) = 0
cos t2 dt
0 _ 1 cos t2 dt — x
，-/(^ )-/(0) JC cos x2 — 1
lim ------------------- = lim lim =lim
L°+ 工 _0 L°+ x lo+ 3C 2 —0+ '
则 (0) 0,
因为 (0) = f'+ (0) = 0,所以 f\x )在 z = 0 处可导，且 (0) = 0.
四、【解】 由/（工）= dt +尹得
f\x) — 3/( j: ) = 2e2x ,
2 尹• e 卜皿 dr +C)e^~3d" = (- 2厂工 +C)e* ,
解得 /(•Z)
即 心)=Ce3x -2e2j ,
再由 f (0) = 1 得 C = 3：故 /(乂)= 3e3r — 2e2j ・五、【解】y = In Q( 1 + jt ) (1 — 2«z )] = ln(l + w ) + ln(l — 2z ),
ln( 1 + 工)=艺
(-iy1
_
-1
工”，其中一1 ＜工＜ 1
n
”=i
00
ln( 1 — 2j?)=—艺一x ，其中—
” =i n
oo L
故 ln( 1 — x — 2x2) =
■
-
(- IL ■r”，其收敛区间为（—*，*）•
n = l L n
六、【解】 方法一 令D = ｛（乂，y）丨川+，2 £应｝,则
jj min{x }e~(j +y }dxdy
D
0d0 [ r2 e~r dr + :sin r2^ Ar
4 sin Odd
J o 、
l< r2 e_r dr — (1 + R 2
r2 e_r dr
0 o
J： r2 e J dr ,
故
r+8 r+oo
mmiinn{{ j; }e_<
/
J
2 i
J
： - 1 时，F(«z,y)=[ 4udu [ vdv = jc2
J o J o
当工>1,0冬歹£ 1 时,F(j; ,j/) =| 4udu vdv = y2
J 0 J 0
当壬>1,夕> 1 时，F(«z,j/)=[ 4udu [ vdv = 1 ；
J 0 J o
< 1,0 1，
故 F (x ,y) = < y2 , •z>l,OWyWl,
1 • •r > 1 ,y > 1,
、0, 其他.
