文档内容
第 02 讲 平面向量的数量积
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第3题,5分 向量垂直的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
数量积的运算律
2024年新Ⅱ卷，第3题,5分 已知数量积求模 模长的相关计算
垂直关系的向量表示
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2023年新Ⅱ卷，第13题,5分 数量积的运算律 向量的模长运算
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 数量积及向量夹角的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
坐标计算向量的模
2021年新I卷，第10题,5分 数量积的坐标表示 逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021年新Ⅱ卷，第15题,5分 数量积的运算律 无
2020年新I卷，第7题,5分 用定义求向量的数量积 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分
【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学
和实际问题中的作用
5会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理
解，易得分，需重点复习。知识讲解
1．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
定义
则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
意义
2. 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示数量积 a·b＝x x ＋y y
|a||b|cos 1 2 1 2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x x ＋y y ＝0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x x ＋y y |≤
1 2 1 2
1. 数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．
考点一、 求平面向量的数量积
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 ，若 ，则实数
3．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， ．
4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边 中，点 为中线BD的三等分点（靠近点
B），点F为BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（2023·全国·高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．52．（2024·黑龙江·二模）已知向量 ， ，若 ，则 ．
3．（2022·全国·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
4．（2024·河北衡水·模拟预测）在 中， ，则
（ ）
A． B． C．9 D．18
考点二、 辨析数量积的运算律
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（湖北·高考真题）已知 为非零的平面向量．甲： 乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（上海·高考真题）若 ， ， 均为任意向量， ，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）设 是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． 与 垂直 D．
5．（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量 ，下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若 ，则
D．
考点三、 模长综合计算
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 是单位向量，且它们的夹角是 .若 ，且
，则 （ ）
A．2 B． C．2或 D．3或
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知向量 ，向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．25
1．（2024·陕西榆林·二模）若向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 ， ， ，则 的最小值为 .
3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）．A． B． C．4 D．2
4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足： ， ， ，且 ， ，
则 .
考点 四 、 夹角综合计算
1．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角为锐角，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·山东日照·三模）已知 和 是两个单位向量，若 ，则向量 与向量 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东江门·二模）设向量 ，则 的最小值为 .
3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形 中，点 分别为 的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·上海·模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则
．
考点 五 、 垂直综合计算
1．（2024·全国·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·广西·三模）已知向量 ，那么向量 可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
3．（2023·浙江宁波·一模）若 是夹角为 的两个单位向量， 与 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 ， ，若当 时， ，当 时，
，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
考点 六 、 求投影向量
1．（2024·山东青岛·二模）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 满足 ，则向量 在向量 方
向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量 与 满足： 在 方向上的投影向量为 ， 在 方向
上的投影向量为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知 是单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则
与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为
（ ）A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ， ，则 在
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 中， 且 与 交于点 ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，点 在直线 上，
则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
考点 七 、 数量积范围的综合问题
1．（湖南·高考真题）设 均是非零向量，且 ，若关于 的方程 有实根，则 与
的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·河北唐山·二模）已知圆 ： ，过点 的直线 与 轴交于点 ，与圆 交于
， 两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津河北·二模） 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一
点，若 （ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线 的右支上一点P，分别向 和
作切线，切点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量 ， ，则下列结论一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量 为单位向量， 且 ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，
，则 .9．（2024·四川内江·模拟预测）已知向量 ， 满足 ，则m的值为 .
10．（2024·重庆·三模）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若 ，则
.
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量 ， 满足 ，且 时， 取得最小值，则
（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·天津北辰·三模）在 中， ， 为 外心，且 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线C的方程为 ，直线l与抛物线C交于A，B两点.设甲：直线l
与过点 ；乙： （O为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．（2024·四川成都·模拟预测）设向量 ， 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 中， ，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．6．（2024·四川成都·三模）在矩形 中， ， ，点 满足 ，在平面 中，
动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 在 的方向上的投影向量为
8．（2024·新疆·三模）已知点 ， ， ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， D． 的最大值为
9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算 ，其中 表示
的夹角，则对于两个非零平面向量 ，下列结论一定成立的有（ ）
A． 在 上的投影向量为
B．
C．
D．若 ，则
三、填空题
10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形 的边长为 ，正方形 边长为1，则
的值为 .若在线段 上有一个动点 ，则 的最小值为 .1．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
3．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
4．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
5．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2022·全国·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
7．（2022·全国·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
8．（2022·全国·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2022·天津·高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为
，若 ，则 的最大值为
10．（2021·全国·高考真题）已知向量 ，若 ，则 ．
11．（2021·全国·高考真题）若向量 满足 ，则 .12．（2021·全国·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
14．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为 ； 的最小值为
．
15．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， ．
16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
18．（2020·全国·高考真题）设向量 ，若 ，则 .
19．（2020·全国·高考真题）设 为单位向量，且 ，则 .
20．（2020·全国·高考真题）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2020·北京·高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
； ．
22．（2020·浙江·高考真题）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则 的最小值为 ．
23．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
25．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为 ，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为 ．
