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专题 02 二次函数（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
二次函数的有关 熟练掌握二次函数的概念，明确各项及 根据二次函数的定义求参数值较常考查。
概念 其系数。
待定系数法求解 根据题目给出的不同条件，能正确选择 顶点式考查频率持续上升，且多与实际情
析式 解析式形式并准确列出方程组求解，最 景结合。务必保证顶点式的设、代、解、
终确定二次函数的具体表达式。 答全流程零失误。
二次函数的图象 掌握从系数到图象、从解析式到性质的 近年来图象识别与性质推理的结合题比例
与性质 对应规律，实现“数”与“形”的自由 上升，要求能快速从图象中提取对称轴、
转化。 顶点位置等信息进行综合判断。
二次函数的图象 建立“a、b、c、Δ”四个符号与图象特征 该考点难度稳中有升，从单一知识考查转
与各项系数之间 的直接对应，做到“见系数知图象、见 向综合能力考查，要求考生建立完整的
的关系 图象定系数”；看到任意二次函数图 “系数-图象”对应体系，并能灵活应用。
象，能在30秒内准确判断 a、b、c、Δ
的符号及 a+b+c 等特殊式子的正负。
二次函数图象的 掌握抛物线平移的坐标变换规律，实现 图象变换考点稳定性高、规律性强，但近
变换 “解析式变化 → 图象变化”和“图象 年复合化和综合化趋势明显。掌握平移对
变化 → 解析式变化”的双向推导。 称基本规律，辅以顶点验证法，即可应对
80%以上考题。该考点是“基础分必拿，能
力分可争”的典型。
二次函数与一元 熟练运用判别式Δ和韦达定理解决交 近年呈现“基础题更基础，难题更难”的
二次方程 点、根分布、参数范围等问题；给出任 两极分化趋势。应确保基础题满分，中档
意二次函数，能立即说出对应方程的根 题多练，难题有选择地突破。掌握好“函
的情况、图象交点个数，并能根据根的 数-方程-图象”的转化关系是得分关键。
要求反推出系数需满足的条件。
二次函数与不等 掌握“图象在上方→不等式>0，图象在 确保基础题型熟练化，掌握含参讨论模型
式 下方→不等式<0”的数形对应，能熟练解 化，突破恒成立问题方法化。
二次不等式并处理含参、恒成立问题。
二次函数的应用 掌握从实际问题中抽象出二次函数模型 二次函数应用正从“数学题”向“真实问
的建模能力，重点解决“利润最大、面 题解决”转变。备考需实现 “经典模型内
积最大、增长率、图形最值”四类问 化、建模思维强化、规范表达固化” 的三
题，并准确确定自变量的实际取值范 化目标。该考点已不仅是数学能力的考
围。 查，更是综合素养的体现，过程完整性比
答案正确性更重要。
知识点01 二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.
(2) 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项， 、b分别称为二次项系数和
一次项系数.
(3)三类解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x ，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
知识点02 待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
知识点03 二次函数的图象与性质
开口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方向 a
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2)
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
2a 4a
顶点
4ac−b2
与
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
最值
4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).
b b
− −
x<0(h或 2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而
增大。
a>0
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增
减
大而增大。
性
b b
− −
a<0 x<0(h或 2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而
减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增
大而减小。
1.图象是轴对称图形；
对
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
知识点04 二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；当
a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，
抛物线与y轴的交点在负半轴上.
知识点05 二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数
的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加
下减”．具体平移方法如下：(2)图象的对称：化成顶点式，结合图象，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解
析式.
知识点06 二次函数与一元二次方程
二 次 函 数 ( ) 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 是 一 元 二 次 方 程
的根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交
点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
知识点07 二次函数与不等式
(1)抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不
等式 的解集；
(2)抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不
等式 的解集.
知识点08 二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取
值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
题型一 二次函数有关概念
解｜题｜技｜巧
二次函数的判断方法：（1）含有自变量的代数式必须是整式；
（2）化简后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
易｜错｜点｜拨
y=ax2 +bx+c(a≠0)也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将
函数化为一般形式．
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【典例2】已知y=(a+2)x2-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a=2 B．a≠2 C．a=-2 D．a≠-2
【答案】D
【点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，可得关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵y=(a+2)x2-5x是关于x的二次函数，
∴a+2≠0，
∴a≠-2，
故选：D．
【典例3】把y=(3-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】12
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且
a≠0）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【解答】解：∵ y=(3-3x)(6+x)=18+3x-18x-3x2=-3x2-15x+18，
∴把y=(3-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为18，故答案为：18.
【变式1】已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义进行解答．
【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，
所以a+2≠0，
即a≠﹣2．
故选：D．
【变式2】若关于x的函数 y=(2-a)x2-x是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】a≠2
【点拨】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，二次函数最高次必
须为二次，据此即可求解．
【解答】解：由题意得：2-a≠0，
解得：a≠2，
故答案为：a≠2
【变式3】把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】12
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且
a≠0）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【解答】解：∵ y=(2-3x)(6+x)=12+2x-18x-3x2=-3x2-16x+12，
∴把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为12，
故答案为：12.
题型二 待定系数法求二次函数的解析式
解｜题｜技｜巧
待定系数法求函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式；
（2）找点：找函数图象上的点；（3）代入：把点代入函数解析式得到方程；
（4）求解方程；
（5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
易｜错｜点｜拨
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成
交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
【典例1】如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式
是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【答案】C
【分析】设抛物线的顶点式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，再由顶点坐标是（4，2），确定解析式即可．
【解答】解：由条件可知a＝﹣2，
∵顶点坐标是（4，2），
∴它的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故C满足条件，
故选：C．
【典例2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点
坐标是 ．
【答案】（﹣1，4）．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案．
9a-3b+c=0 a=-1
{ {
【解答】解：由条件可知 a+b+c=0 ，解得 b=-2，
c=3 c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【变式1】已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（ ）
A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据定义得出a﹣2≠0，然后将点（0，4）代入解析式，即可求解．
【解答】解：∵y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），∴4＝a2，a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故选：C．
【变式2】已知抛物线C 的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C ：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相
1 2
同，则抛物线C 的解析式为（ ）
1
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3
【答案】D
【分析】设顶点式为y＝a（x﹣2）2+3，然后根据二次函数的性质确定a的值，从而得到抛物线C 的解
1
析式．
【解答】解：∵抛物线C 的顶点坐标为（2，3），
1
∴抛物线C 的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3，
1
∴抛物线C 与抛物线C ：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相同，
1 2
∴a＝1，
∴抛物线C 的解析式为y＝（x﹣2）2+3．
1
故选：D．
【变式3】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3，
将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5，
解得：a＝﹣2，
则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5．
故抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5．
题型三 二次函数的图象与性质
解｜题｜技｜巧
1、二次函数图象上任意两个函数值相等的点都关于对称轴对称，且到对称轴的距离相等．对称轴等
于这两个点的横坐标之和除以2．即：若点A(x ，y )与点B(x ，y )都在二次函数图象上，且
1 1 2 2
x +x
，则二次函数的对称轴为：x= 1 2 ．
y =y 2
1 2
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标：二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成 的形式，二次函数 的对称轴
是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）．
【典例1】二次函数y=3(x-1) 2-2图象的顶点坐标为（ ）
A．(-1,-2) B．(1,2) C．(-1,2) D．(1,-2)
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．直接根据二次函数的顶点式y=a(x-h) 2+k的顶点坐标公式
求解．
【详解】解：∵ 二次函数y=a(x-h) 2+k的顶点坐标为(h,k)，
∴y=3(x-1) 2-2的图象的顶点坐标为(1,-2)，
故选：D．
【典例2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx-a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数
y=ax2-bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，关键是利用图象特征判断字母取值；
根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可．
【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：a<0,b<0，
由一次函数图象可知：a>0,b>0，故A选项不符合题意；
B选项：由二次函数图象可知：a>0,b>0，
由一次函数图象可知：a<0,b>0，
故B选项不符合题意
C选项：由二次函数图象可知：a<0,b<0，
由一次函数图象可知：a<0,b<0，
故C选项符合题意；
D选项：由二次函数图象可知：a>0,b>0，
由一次函数图象可知：a<0,b<0，
故D选项不符合题意．
故选：C ．
【典例3】已知一个二次函数y=ax2+bx-3图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示．
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 m -3 0 …
(1)求m的值．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）．
(3)根据图象，直接写出当-20，
∴-b<0，
∴二次函数y=ax2-b的开口方向向下，与y轴的交点(0,-b)在y轴的负半轴，
四个选项中，符合要求的只有D选项，
故选：D ．
【变式3】已知二次函数y=ax2-4ax+c（a，c为常数，a≠0）的图象上有两点A(a,y )，B(a+2,y )，
1 2
若y 1
【分析】本题考查了二次函数的其他应用，解不等式． 通过计算两点函数值的差，得到
y - y =4a(a-1)，由y 0，解此不等式，即可作答．
2 1 1 2
【详解】解：∵点A(a,y )和点B(a+2,y )在二次函数y=ax2-4ax+c上．
1 2∴y =a⋅a2-4a⋅a+c=a3-4a2+c，
1
∴y =a⋅(a+2) 2-4a(a+2)+c=a(a2+4a+4)-4a(a+2)+c=a3+4a2+4a-4a2-8a+c=a3-4a+c，
2
则y - y =(a3-4a+c)-(a3-4a2+c)=4a2-4a=4a(a-1)．
2 1
∵y 0，
2 1
即4a(a-1)>0．
∵4>0，
不等式4a(a-1)>0等价于a(a-1)>0．
当a与a-1同为正号时，则¿，
∴a>1；
当a与a-1同为负号时，则¿，
∴a<0；
综上：a<0或a>1．
故答案为：a<0或a>1．
【变式4】已知抛物线y=a(x+1) 2+k经过点(0，-3)和(1，0)．
x … …
y … …
(1)求抛物线解析式；
(2)用五点法列表并画出函数图象；(3)当-20，②b>0，③a-b+c>0，④
2a+b=0，其中正确的有 ．（填编号）
【答案】②④
【分析】本题考查了二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、特殊点函数值），解题的关键是结合图象
特征分析系数a、b及函数值的符号．
b
由图象开口向下得a<0；由对称轴x=1得- =1，推出b>0且2a+b=0；由x=-1时y<0得a-b+c<0，
2a
据此判断式子正误．
【详解】解：由图象可知a<0，对称轴为直线x=1，
b
∴- >0，
2a
∴b>0，
故①错误；②正确；
∵当x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
故③错误；
∵对称轴为直线x=1，b
∴- =1，
2a
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故④正确．
故答案为：②④
【变式1】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A．abc>0 B．4a+2b+c<0
C．(a+c) 2>b2 D．a+b>m(am+b)（m≠1的实数）
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即
ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴
没有交点．
由抛物线的开口方向以及与y轴的交点位置可判断A选项；根据拋物线上x=2的点在第二象限可判定B选
项；根据抛物线上x=-1时y的值和x=1时的点在第三象限可判断C选项；由x=1时y的值最大，可判定D
选项．
【详解】解：由图象可知：a<0,c>0，
b
∵- =1，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故A错误；
∵x=0时，y>0，
∴由对称知，当x=2时，函数值大于 0 ，即y=4a+2b+c>0，故B错误；
由图象知，当x=-1时，y<0，当x=1时，y>0，
∴a-b+c<0,a+b+c>0，
∴(a-b+c)(a+b+c)<0，即(a+c) 2-b2<0
∴(a+c) 2，<，=填空）
【答案】>
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟记“如果二次函数与x轴有两个交点那么一元二
次方程有两个根”是解题关键．由此即可求解．
【详解】解：由抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根，
∴b2-4ac>0，
故答案为：>．
【典例3】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，与x轴的一个交点是M(-5,0)，对称轴是
直线x=-2．则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是（ ）
A．x =-5，x =1 B．x =-2，x =1
1 2 1 2C．x =0，x =1 D．x =-5，x =0
1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的根的关系，掌握二次函数图象与坐标轴的交点，对
称轴的特点是关键．
根据二次函数与x轴的交点，对称轴的计算求解即可．
【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，与x轴的一个交点是M(-5,0)，对称轴是直线
x=-2，
∴2×(-2)-(-5)=1，
∴与x轴的另一个交点是(1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是x =-5,x =1，
1 2
故选：A．
【变式1】已知抛物线的关系式为y=-2x2+x-1，则该抛物线与x轴的交点情况为 ．
【答案】无交点
【分析】计算一元二次方程-2x2+x-1=0，根的判别式，根据Δ<0即可求解．
【详解】解：令y=-2x2+x-1 =0，
则Δ=b2-4ac=1-4×(-2)×(-1)=1-8=-7<0，
原方程无实数根，
即该抛物线与x轴无交点，
故答案为：无交点．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，转化为一元二次方程根的情况是解题的关键．
【变式2】已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 (-1,0) 与 (3,0) 两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m=0(m>0) 有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程 ax2+bx+c+n=0(02 C．-12
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在x轴下方时的自变量的取值范围即可得
出结果．
【详解】解：由图象可知，不等式x2-x-2<0的解集是-10 B．-2≤x≤1 C．-2n的解集是 ．
【答案】x<-1或x>3
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是
解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可．
【详解】解：∵函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A(-1,p)，B(3,q)两点，
∴由函数图象可知：关于x的不等式ax2-mx+c>n（即ax2+c>mx+n）的解集是x<-1或x>3；
故答案为x<-1或x>3．
题型八 二次函数的应用
解｜题｜技｜巧
二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，理解问题．
找：分析问题中的变量和常量找出它们之间的关系．
列：列函数解析式表示它们之间的关系（建立数学模型）．
解：用数学方法求解．
验：检验结果的合理性．
答：书写答案．
利用二次函数解决动态几何问题
利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程
中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法．
【典例1】某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A．y=10(1+x) 2 B．y=10+10(x+1)+10(x+1) 2
C．y=10+10x+x2 D．y=10(1+x) 2
【答案】B
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系
式是解题的关键．
根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今
年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关
于x的函数关系式．
【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长
率都是x，
该厂今年二月份新产品的研发资金为10(x+1)万元，三月份新产品的研发资金为10(x+1) 2万元．
根据题意得：y=10+10(x+1)+10(x+1) 2，
故选：B．
【典例2】苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2m
时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
【答案】(4❑√2-4)
【点拨】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问
题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为y=ax2(a≠0)，把B(2,-2)代入进而求出二次函数解析式，
再通过把y=-4代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，则B(2,-2)，可设这条抛物线为y=ax2(a≠0)，
把B(2,-2)代入得：-2=a×22，
1
解得：a=- ，
2
1
∴y=- x2 ，
2
1
当y=-4时，- x2=-4，
2
解得：x=±2❑√2，
∴水面下降2m，水面宽度增加(4❑√2-4)m．
故答案为：(4❑√2-4)．
【典例3】如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中
间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB=xm，矩形ABCD面积为ym2．
(1)y关于x的函数解析式为___________（写化简后结果），x的取值范围是_________；
(2)求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长；
(3)在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W
1
（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =-2S2+210S，乙农作物的年收入W （单位：
1 2
元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙
2
农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF=am，求a的取值范围．
【答案】(1)y=-3x2+36x，7≤x<12(2)菜园ABCD面积的最大值为105m2，此时BC的长为15m
(3)2≤a≤5
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
（1）设AB=xm，则BC=36-3x，根据y=AB⋅BC可得解析式，根据060)满足一次函数关系（如下表)；线上售价为100元/个，供不应求．规
定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的80%．
售价x（元/个） ⋯ 80 90 100 ⋯
销量y（个） ⋯ 400 300 200 ⋯
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若该经销商共购进1000个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得
的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本）
【答案】(1)y=-10x+1200；
(2)线下销售120个，线上销售880个时获利最大，最大利润是40960元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函
数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=线上利润+线下利润”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成顶点式即可求出最
值．
【解答】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，
由表格可知，当x=80，y=400，当x=90，y=300，
∴¿，解得：¿，
∴y与x的函数解析式y=-10x+1200；
（2）解：当线下销量为(-10x+1200)个时，线上销量为1000-(-10x+1200)=10x-200（个），设全
部售完后获得的利润为w元，
根据题意得w=(x-60)(-10x+1200)+(100-60)(10x-200)
=-10x2+2200x-80000
=-10(x-110) 2+41000，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%，
∴x-60≤60×80%，解得x≤108，∵100-60=40<60×80％=48，
∴线上销售符合要求，
∵-10<0，对称轴为直线x=110，
∴当x=108时，w有最大值，最大值为40960，
此时线下销售量为-10x+1200=120（个），线上销售量为880个，
答：线下销售120个，线上销售880个时获利最大，最大利润是40960元．
【变式4】大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平
1 x
面交点为原点O，大坝墙面为y轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为y= - x2+ +15，泄洪口AB
16 2
高3m；水流外轮廓线的最高点D比泄洪口A处高5m，且与泄洪口A处的水平距离为6m．
(1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点C的坐标．
(2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度EF．
1
【答案】(1)y=- (x-6) 2+20，点C的坐标为(4,16)
18
(2)(6❑√10-14)m
【点拨】本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用二次函数性质，结合已知条件确定函数
表达式、顶点坐标，通过求函数与x轴交点计算宽度．
（1）先将内轮廓线函数表达式通过配方法化为顶点式，从而得出内轮廓线顶点C的坐标；再根据A点坐标
及AB高度确定B点坐标，结合D点与A点的位置关系确定D点坐标，最后设外轮廓线顶点式，代入B点坐
标求出表达式．
（2）明确水流落入水平面时y=0，分别将y=0代入内、外轮廓线表达式．求解方程得到外轮廓线与x轴
交点F和内轮廓线与x轴交点E的横坐标．用F点横坐标减去E点横坐标，算出水流宽度EF．
1 x 1
【解答】（1）解：∵内轮廓线的函数表达式为y=- x2+ +15=- (x-4) 2+16，
16 2 16
∴内轮廓线的顶点C的坐标为(4,16)．
令x=0，得y=15．∴点A的坐标为(0,15)．
∵泄洪口AB高3m，
∴点B的坐标为(0,18)．
∵水流外轮廓线的最高点D比泄洪口A处高5m，且与泄洪口A处的水平距离为6m，A点坐标(0,15)，
∴D点横坐标为0+6=6，纵坐标为15+5=20，即D(6,20)．
设外轮廓线的函数表达式为顶点式y=a(x-6) 2+20(a≠0)．
把B(0,18)代入y=a(x-6) 2+20，得
18=a(0-6) 2+20，即36a+20=18．
1
解得a=- ，
18
1
∴外轮廓线的函数表达式为y=- (x-6) 2+20．
18
（2）解：当水流落入水平面时，y=0．
1 1
代入外轮廓y=- (x-6) 2+20，得0=- (x-6) 2+20．
18 18
解得x=6+6❑√10，x=6-6❑√10（舍去）；
1 1
代入内轮廓y=- (x-4) 2+16，得0=- (x-4) 2+16，
16 16
解得x=20，x=-12（舍去）．
∵EF的长度等于F点横坐标减去E点横坐标，
∴EF=6+6❑√10-20=6❑√10-14，
∴水流落入水平面时，形成的水流的宽度EF为(6❑√10-14)m．
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y
轴交于点C(0,-3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，求使△QBC为直角三角形的点Q的坐标．【答案】(1)y=x2-2x-3
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
(2)(1,2)或(1,-4)或 1, 或 1,
2 2
【分析】（1）利用待定系数法将A(-1,0)、C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c求解即可得到答案；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为y=x2-2x-3，得到对称轴为x=1，先求出B(3,0)，再计算
BC2=18，QB2=m2+4，QC2=m2+6m+10，根据△QBC为直角三角形，分三种情况，由勾股定理列
方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将A(-1,0)、C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c得，
¿，
解得¿，
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：由（1）知，二次函数的解析式为y=x2-2x-3，
∴对称轴为x=1，
令y=0，则0=x2-2x-3，
∴(x-3)(x+1)=0
解得x=3或x=-1，
∴B(3,0)，
设抛物线对称轴上一动点Q(1,m)，
∵B(3,0)、C(0,-3)，
∴BC2=18，QB2=m2+4，QC2=m2+6m+10，
当∠B=90°时，由勾股定理可得QB2+BC2=QC2，
则(m2+4)+18=m2+6m+10，
解得m=2，则Q(1,2)；
当∠C=90°时，由勾股定理可得QC2+BC2=QB2，
则(m2+6m+10)+18=m2+4，
解得m=-4，则Q(1,-4)；
当∠Q=90°时，由勾股定理可得QB2+QC2=BC2，
则(m2+4)+(m2+6m+10)=18，
即m2+3m-2=0，∵Δ=32-4×1×(-2)=9+8=17>0，
-3±❑√17 ( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
∴ m= ，则Q 1, 或Q 1, ，
2 2 2
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
综上所述，使△QBC为直角三角形的点Q的坐标为(1,2)或(1,-4)或 1, 或 1, ．
2 2
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与x轴交
点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，
根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键．
【变式6】 综合运用：如图，一次函数y=x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数
y=-x2+bx+c的图象经过A，C两点，并与x轴交于点B．点M(m,0)是线段OA上一个动点（不与点
O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点E和点D．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)用含m的代数式表示DE，CD；
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-2x+3
(2)DE=-m2-3m，CD=-❑√2m
(3)(-1,0)或(-2,0)或(-3+❑√2,0)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）分别把x=0，y=0代入一次函数y=x+3，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线
y=-x2+bx+c，求出b，c的值，即可解答；
（2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点E(m,-m2-2m+3)，点
D(m,m+3)(-3
