专题 02 二次函数（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
二次函数的有关 熟练掌握二次函数的概念，明确各项及 根据二次函数的定义求参数值较常考查。
概念 其系数。
待定系数法求解 根据题目给出的不同条件，能正确选择 顶点式考查频率持续上升，且多与实际情
析式 解析式形式并准确列出方程组求解，最 景结合。务必保证顶点式的设、代、解、
终确定二次函数的具体表达式。 答全流程零失误。
二次函数的图象 掌握从系数到图象、从解析式到性质的 近年来图象识别与性质推理的结合题比例
与性质 对应规律，实现“数”与“形”的自由 上升，要求能快速从图象中提取对称轴、
转化。 顶点位置等信息进行综合判断。
二次函数的图象 建立“a、b、c、Δ”四个符号与图象特征 该考点难度稳中有升，从单一知识考查转
与各项系数之间 的直接对应，做到“见系数知图象、见 向综合能力考查，要求考生建立完整的
的关系 图象定系数”；看到任意二次函数图 “系数-图象”对应体系，并能灵活应用。
象，能在30秒内准确判断 a、b、c、Δ
的符号及 a+b+c 等特殊式子的正负。
二次函数图象的 掌握抛物线平移的坐标变换规律，实现 图象变换考点稳定性高、规律性强，但近
变换 “解析式变化 → 图象变化”和“图象 年复合化和综合化趋势明显。掌握平移对
变化 → 解析式变化”的双向推导。 称基本规律，辅以顶点验证法，即可应对
80%以上考题。该考点是“基础分必拿，能
力分可争”的典型。
二次函数与一元 熟练运用判别式Δ和韦达定理解决交 近年呈现“基础题更基础，难题更难”的
二次方程 点、根分布、参数范围等问题；给出任 两极分化趋势。应确保基础题满分，中档
意二次函数，能立即说出对应方程的根 题多练，难题有选择地突破。掌握好“函
的情况、图象交点个数，并能根据根的 数-方程-图象”的转化关系是得分关键。
要求反推出系数需满足的条件。
二次函数与不等 掌握“图象在上方→不等式>0，图象在 确保基础题型熟练化，掌握含参讨论模型
式 下方→不等式<0”的数形对应，能熟练解 化，突破恒成立问题方法化。
二次不等式并处理含参、恒成立问题。
二次函数的应用 掌握从实际问题中抽象出二次函数模型 二次函数应用正从“数学题”向“真实问
的建模能力，重点解决“利润最大、面 题解决”转变。备考需实现 “经典模型内
积最大、增长率、图形最值”四类问 化、建模思维强化、规范表达固化” 的三
题，并准确确定自变量的实际取值范 化目标。该考点已不仅是数学能力的考
围。 查，更是综合素养的体现，过程完整性比
答案正确性更重要。
知识点01 二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数.
(2) 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项， 、b分别称为二次项系数和
一次项系数.
(3)三类解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x ，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
知识点02 待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
知识点03 二次函数的图象与性质
开口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方向 a
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2)
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
2a 4a
顶点
4ac−b2
与
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
最值
4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).
b b
− −
x<0(h或 2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而
增大。
a>0
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增
减
大而增大。
性
b b
− −
a<0 x<0(h或 2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而
减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增
大而减小。
1.图象是轴对称图形；
对
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
知识点04 二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；当
a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，
抛物线与y轴的交点在负半轴上.
知识点05 二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数
的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加
下减”．具体平移方法如下：(2)图象的对称：化成顶点式，结合图象，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解
析式.
知识点06 二次函数与一元二次方程
二 次 函 数 ( ) 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 是 一 元 二 次 方 程
的根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交
点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
知识点07 二次函数与不等式
(1)抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不
等式 的解集；
(2)抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不
等式 的解集.
知识点08 二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取
值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
题型一 二次函数有关概念
解｜题｜技｜巧
二次函数的判断方法：（1）含有自变量的代数式必须是整式；
（2）化简后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0．
易｜错｜点｜拨
y=ax2 +bx+c(a≠0)也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将
函数化为一般形式．
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【典例2】已知y=(a+2)x2-5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a=2 B．a≠2 C．a=-2 D．a≠-2
【答案】D
【点拨】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，可得关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵y=(a+2)x2-5x是关于x的二次函数，
∴a+2≠0，
∴a≠-2，
故选：D．
【典例3】把y=(3-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】12
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且
a≠0）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【解答】解：∵ y=(3-3x)(6+x)=18+3x-18x-3x2=-3x2-15x+18，
∴把y=(3-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为18，故答案为：18.
【变式1】已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a≥2 D．a≠﹣2
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义进行解答．
【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，
所以a+2≠0，
即a≠﹣2．
故选：D．
【变式2】若关于x的函数 y=(2-a)x2-x是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】a≠2
【点拨】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，二次函数最高次必
须为二次，据此即可求解．
【解答】解：由题意得：2-a≠0，
解得：a≠2，
故答案为：a≠2
【变式3】把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为 ．
【答案】12
【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c（a,b,c为常数且
a≠0）.
根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.
【解答】解：∵ y=(2-3x)(6+x)=12+2x-18x-3x2=-3x2-16x+12，
∴把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，它的常数项为12，
故答案为：12.
题型二 待定系数法求二次函数的解析式
解｜题｜技｜巧
待定系数法求函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式；
（2）找点：找函数图象上的点；（3）代入：把点代入函数解析式得到方程；
（4）求解方程；
（5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
易｜错｜点｜拨
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成
交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
【典例1】如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式
是（ ）
A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【答案】C
【分析】设抛物线的顶点式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，再由顶点坐标是（4，2），确定解析式即可．
【解答】解：由条件可知a＝﹣2，
∵顶点坐标是（4，2），
∴它的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故C满足条件，
故选：C．
【典例2】已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过三点（﹣3，0），（1，0），（0，3），则该抛物线的顶点
坐标是 ．
【答案】（﹣1，4）．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式并化为顶点式，即可得到答案．
9a-3b+c=0 a=-1
{ {
【解答】解：由条件可知 a+b+c=0 ，解得 b=-2，
c=3 c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）．
故答案为：（﹣1，4）．
【变式1】已知y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），则a的值为（ ）
A．a＝±2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据定义得出a﹣2≠0，然后将点（0，4）代入解析式，即可求解．
【解答】解：∵y＝（a﹣2）x2﹣2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过（0，4），∴4＝a2，a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故选：C．
【变式2】已知抛物线C 的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C ：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相
1 2
同，则抛物线C 的解析式为（ ）
1
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3
【答案】D
【分析】设顶点式为y＝a（x﹣2）2+3，然后根据二次函数的性质确定a的值，从而得到抛物线C 的解
1
析式．
【解答】解：∵抛物线C 的顶点坐标为（2，3），
1
∴抛物线C 的解析式可设为y＝a（x﹣2）2+3，
1
∴抛物线C 与抛物线C ：y=x2+2的开口方向、形状大小完全相同，
1 2
∴a＝1，
∴抛物线C 的解析式为y＝（x﹣2）2+3．
1
故选：D．
【变式3】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式．
【解答】解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3，
将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5，
解得：a＝﹣2，
则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5．
故抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5．
题型三 二次函数的图象与性质
解｜题｜技｜巧
1、二次函数图象上任意两个函数值相等的点都关于对称轴对称，且到对称轴的距离相等．对称轴等
于这两个点的横坐标之和除以2．即：若点A(x ，y )与点B(x ，y )都在二次函数图象上，且
1 1 2 2
x +x
，则二次函数的对称轴为：x= 1 2 ．
y =y 2
1 2
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标：二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成 的形式，二次函数 的对称轴
是直线x= ，顶点坐标是（ ， ）．
【典例1】二次函数y=3(x-1) 2-2图象的顶点坐标为（ ）
A．(-1,-2) B．(1,2) C．(-1,2) D．(1,-2)
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．直接根据二次函数的顶点式y=a(x-h) 2+k的顶点坐标公式
求解．
【详解】解：∵ 二次函数y=a(x-h) 2+k的顶点坐标为(h,k)，
∴y=3(x-1) 2-2的图象的顶点坐标为(1,-2)，
故选：D．
【典例2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx-a（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数
y=ax2-bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，关键是利用图象特征判断字母取值；
根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可．
【详解】解：A选项：由二次函数图象可知：a<0,b<0，
由一次函数图象可知：a>0,b>0，故A选项不符合题意；
B选项：由二次函数图象可知：a>0,b>0，
由一次函数图象可知：a<0,b>0，
故B选项不符合题意
C选项：由二次函数图象可知：a<0,b<0，
由一次函数图象可知：a<0,b<0，
故C选项符合题意；
D选项：由二次函数图象可知：a>0,b>0，
由一次函数图象可知：a<0,b<0，
故D选项不符合题意．
故选：C ．
【典例3】已知一个二次函数y=ax2+bx-3图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示．
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 m -3 0 …
(1)求m的值．
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）．
(3)根据图象，直接写出当-2<x<1时，y的取值范围： ．
【答案】(1)-4
(2)见解析
(3)-4≤ y<0
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图
象与性质是解题的关键．（1）依据题意，根据表格数据可设y=a(x+3)(x-1)，将(0,-3)代入得a×3×(-1)=-3，求出a的值即
可得出解析式，再把x=-1代入解析式即可求出m的值；
（2）描点、连线即可得出答案；
（3）根据二次函数的性质求出最小、最大值即可得出y的范围．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，设y=a(x+3)(x-1)，
∴将(0,-3)代入得a×3×(-1)=-3，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+3)(x-1)，即y=x2+2x-3，
把x=-1代入y=x2+2x-3得：m=1-2-3=-4；
（2）解：根据表格中数据，描点、连线得：如图所示：
（3）解：根据图象，当-2<x<1时，y的取值范围为-4≤ y<0．
故答案为：-4≤ y<0．
【变式1】抛物线y=(x-1) 2-2的顶点坐标是（ ）
A．(-1,-2) B．(1,-2) C．(-1,2) D．(1,2)
【答案】B
【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标．
对于顶点式 y=a(x-h) 2+k（其中 a≠0），顶点坐标为 (h,k)，直接对比给定函数即可得出顶点坐标．
【详解】解：∵ 抛物线解析式为 y=(x-1) 2-2，符合顶点式形式，
∴ 顶点坐标 为(1,-2)．
故选 ：B．【变式2】一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2-b的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断
出系数和常数项的正负是解题关键．
根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和
b的正负判断二次函数的图象即可．
【详解】解：由图可知，a<0，b>0，
∴-b<0，
∴二次函数y=ax2-b的开口方向向下，与y轴的交点(0,-b)在y轴的负半轴，
四个选项中，符合要求的只有D选项，
故选：D ．
【变式3】已知二次函数y=ax2-4ax+c（a，c为常数，a≠0）的图象上有两点A(a,y )，B(a+2,y )，
1 2
若y <y ，则a的取值范围是 ．
1 2
【答案】a<0或a>1
【分析】本题考查了二次函数的其他应用，解不等式． 通过计算两点函数值的差，得到
y - y =4a(a-1)，由y <y 得不等式 4a(a-1)>0，解此不等式，即可作答．
2 1 1 2
【详解】解：∵点A(a,y )和点B(a+2,y )在二次函数y=ax2-4ax+c上．
1 2∴y =a⋅a2-4a⋅a+c=a3-4a2+c，
1
∴y =a⋅(a+2) 2-4a(a+2)+c=a(a2+4a+4)-4a(a+2)+c=a3+4a2+4a-4a2-8a+c=a3-4a+c，
2
则y - y =(a3-4a+c)-(a3-4a2+c)=4a2-4a=4a(a-1)．
2 1
∵y <y ，
1 2
∴y - y >0，
2 1
即4a(a-1)>0．
∵4>0，
不等式4a(a-1)>0等价于a(a-1)>0．
当a与a-1同为正号时，则¿，
∴a>1；
当a与a-1同为负号时，则¿，
∴a<0；
综上：a<0或a>1．
故答案为：a<0或a>1．
【变式4】已知抛物线y=a(x+1) 2+k经过点(0，-3)和(1，0)．
x … …
y … …
(1)求抛物线解析式；
(2)用五点法列表并画出函数图象；(3)当-2<x<2时，y的取值范围是___________．
【详解】（1）解：∵抛物线y=a(x+1) 2+k经过点(0，-3)和(1，0)，
∴¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=(x+1) 2-4；
（2）解：列表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
画出图象如图所示：
（3）解：当x=2时，y=5，
由图象可得：当-2<x<2时，y的取值范围是-4≤ y<5，
故答案为：-4≤ y<5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、二次函数的性质，熟练掌握以上知
识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
题型四 二次函数的图象与各项系数之间的关系
解｜题｜技｜巧易｜错｜点｜拨
【典例1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列式子：①a>0，②b>0，③a-b+c>0，④
2a+b=0，其中正确的有 ．（填编号）
【答案】②④
【分析】本题考查了二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、特殊点函数值），解题的关键是结合图象
特征分析系数a、b及函数值的符号．
b
由图象开口向下得a<0；由对称轴x=1得- =1，推出b>0且2a+b=0；由x=-1时y<0得a-b+c<0，
2a
据此判断式子正误．
【详解】解：由图象可知a<0，对称轴为直线x=1，
b
∴- >0，
2a
∴b>0，
故①错误；②正确；
∵当x=-1时，y<0，
∴a-b+c<0，
故③错误；
∵对称轴为直线x=1，b
∴- =1，
2a
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故④正确．
故答案为：②④
【变式1】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A．abc>0 B．4a+2b+c<0
C．(a+c) 2>b2 D．a+b>m(am+b)（m≠1的实数）
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即
ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴
没有交点．
由抛物线的开口方向以及与y轴的交点位置可判断A选项；根据拋物线上x=2的点在第二象限可判定B选
项；根据抛物线上x=-1时y的值和x=1时的点在第三象限可判断C选项；由x=1时y的值最大，可判定D
选项．
【详解】解：由图象可知：a<0,c>0，
b
∵- =1，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故A错误；
∵x=0时，y>0，
∴由对称知，当x=2时，函数值大于 0 ，即y=4a+2b+c>0，故B错误；
由图象知，当x=-1时，y<0，当x=1时，y>0，
∴a-b+c<0,a+b+c>0，
∴(a-b+c)(a+b+c)<0，即(a+c) 2-b2<0
∴(a+c) 2<b2，故C错误；
∵当x=1时，y的值最大．此时y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≥am2+bm+c，
故a+b≥am2+bm，即a+b≥m(am+b)，故D正确；
故选：D．
题型五 二次函数图象的变换
解｜题｜技｜巧
上下平移
y=ax2 +bx+c
若原函数为
{向上平移m个单位，则平移后函数为y=ax2 +bx+c+m
向下平移m个单位，则平移后函数为y=ax2 +bx+c−m
（1）其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可．
（2）通常上述变换称为上加下减，或者上正下负．
左右平移
y=ax2 +bx+c y=a(x−h) 2 +k
若原函数为 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式
然后再进行相应的变形．
{若向左平移了n个单位，则平移后的函数为 y=a(x−h+n) 2 +k
若向右平移了n个单位，则平移后的函数为 y=a(x−h−n) 2 +k
注：** 错误的表达式 **其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可．
** 错误的表达式 **通常上述变换称为左加右减，或者左正右负．
【典例1】将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物
y=(x-1) 2+2
线的解析式为（ ）
A． B．
y=(x-3) 2+5 y=(x+1) 2-1C．y=(x-3) 2-1 D．y=(x+1) 2+5
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上
加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式．
【详解】解：∵原抛物线y=(x-1) 2+2 的顶点为(1,2)，
∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为1+2=3；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为2+3=5．
∴平移后顶点为(3,5)，
∴平移后所得抛物线的解析式为y=(x-3) 2+5．
故选：A
【典例2】将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移 3个单位后新抛物线的顶点坐标
（ ）
A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（1，0） D．（﹣1，6）
【答案】D
【分析】依据题意，由抛物线为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，再结合由抛物线的变化规律“上加
下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为y＝﹣2（x+1）2+6，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，抛物线为y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，
∴将抛物线y＝﹣2x2+4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位后可得抛物线为y＝﹣2（x﹣1+2）
2+3+3，即y＝﹣2（x+1）2+6．
∴此时顶点坐标为（﹣1，6）．
故选：D．
【变式1】将抛物线y=x2-6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的
函数表达式为（ ）
A．y=(x-4) 2-6 B．y=(x-1) 2-3
C．y=(x-2) 2-2 D．y=(x-4) 2-2
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．将原抛物线化为顶点式，根据平移规则求出新抛物线，即可求解．
【详解】解：将函数解析式化为顶点式，得y=x2-6x+5=(x-3) 2-4，
将函数向右平移1个单位，向上平移2个单位，得到新抛物线为y=(x-4) 2-2．
故选：D．
1 1
【变式2】抛物线y=- (x+1) 2-1可以由抛物线y=- x2 （ ）得到．
2 2
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】D
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），由此确定平移的步骤．
1
【解答】解：∵y=- (x+1) 2-1，
2
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1），
1
∵抛物线y=- x2 的顶点坐标是（0，0），
2
1
∴平移的方法可以是：将抛物线y=- x2 向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
2
故选：D．
题型六 二次函数与一元二次方程
解｜题｜技｜巧
【典例1】若二次函数y=kx2-(k-3)x-4的图象与x轴只有一个公共点，则k的值为 ．
【答案】-1或-9
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数图象与x轴只有一个公共点，可知对应的一元
二次方程有两个相等的实数根，再根据判别式为零列出关于k的一元二次方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 y=kx2-(k-3)x-4 的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程 kx2-(k-3)x-4=0 有两个相等的实数根，
2
∴Δ=[-(k-3)] -4×k×(-4)=0，且k≠0，
整理得，k2+10k+9=0，
解得k=-1或k=-9，
故答案为：-1或-9．
【典例2】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么b2-4ac 0．（用
>，<，=填空）
【答案】>
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟记“如果二次函数与x轴有两个交点那么一元二
次方程有两个根”是解题关键．由此即可求解．
【详解】解：由抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根，
∴b2-4ac>0，
故答案为：>．
【典例3】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，与x轴的一个交点是M(-5,0)，对称轴是
直线x=-2．则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是（ ）
A．x =-5，x =1 B．x =-2，x =1
1 2 1 2C．x =0，x =1 D．x =-5，x =0
1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的根的关系，掌握二次函数图象与坐标轴的交点，对
称轴的特点是关键．
根据二次函数与x轴的交点，对称轴的计算求解即可．
【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，与x轴的一个交点是M(-5,0)，对称轴是直线
x=-2，
∴2×(-2)-(-5)=1，
∴与x轴的另一个交点是(1,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是x =-5,x =1，
1 2
故选：A．
【变式1】已知抛物线的关系式为y=-2x2+x-1，则该抛物线与x轴的交点情况为 ．
【答案】无交点
【分析】计算一元二次方程-2x2+x-1=0，根的判别式，根据Δ<0即可求解．
【详解】解：令y=-2x2+x-1 =0，
则Δ=b2-4ac=1-4×(-2)×(-1)=1-8=-7<0，
原方程无实数根，
即该抛物线与x轴无交点，
故答案为：无交点．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，转化为一元二次方程根的情况是解题的关键．
【变式2】已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 (-1,0) 与 (3,0) 两点，关于x的方程
ax2+bx+c+m=0(m>0) 有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程 ax2+bx+c+n=0(0<n<m) 有
两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．-2或4 B．-2或0 C．0或4 D．-2或5
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程
ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）与（3，0）两点，
∴当y=0时，0=ax2+bx+c的两个根为-1和3，
则函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．
∴方程ax2+bx+c+m=0（m＞0）的另一个根为-3，函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n=0 （0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是-2或4，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的关系解答．
题型七 二次函数与不等式
解｜题｜技｜巧
二次函数与不等式是联立前两个知识点的综合应用，解题核心是 “数形结合，看图解不等”。
【典例1】如图抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)，则关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．x＞-1 B．x＜2 C．-1＜x＜2 D．x＜-1或x＞2
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，通过图象确定不等式ax2+bx+c＜0的解集是解题的关键．
首先明确不等式ax2+bx+c＜0的解集代表的是抛物线y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分，再根据
图象得到解集即可．
【详解】解：由图可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是-1＜x＜2．
故选：C
【典例2】如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若ax2+bx+c≥3，则x的取值范围是
（ ）A．x≥0 B．x≤0 C．-2≤x≤0 D．x≤-2或x≥0
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
由函数图象得对称轴为x=-1，然后可得点(0,3)关于x=-1的对称点的坐标，进而可得答案．
【详解】解：由函数图象得：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴点(0,3)关于直线x=-1的对称点的坐标为(-2,3)，
∴关于x的不等式ax2+bx+c≥3的解集是-2≤x≤0
故选：C．
【典例3】如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于两点A(-2,p)，B(5,q)，则不等式
ax2+mx+c≤n的解集是 ．
【答案】-5≤x≤2
【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和
图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题．
【详解】解：∵ax2+mx+c≤n
∴ax2+c≤-mx+n
∵如图；y=mx+n与y=-mx+n关于y轴对称，抛物线y=ax2+c与直线y =mx+n交于两点A(-2,p)，
1
B(5,q)∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于两点A (2,p)，B (-5,q)
1 1
∴ax2+c≤-mx+n，即ax2+mx+c≤n
∴-5≤x≤2
故答案为：-5≤x≤2.
【变式1】二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2<0的解集是（ ）
A．x<-1 B．x>2 C．-1<x<2 D．x<-1或x>2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与不等式，利用图象法，找到抛物线在x轴下方时的自变量的取值范围即可得
出结果．
【详解】解：由图象可知，不等式x2-x-2<0的解集是-1<x<2；
故选C．
【变式2】如图是二次函数y =ax2+bx+c和一次函数y =mx+n的图象，当mx+n≥ax2+bx+c时，x的
1 2
取值范围是（ ）A．x>0 B．-2≤x≤1 C．-2<x<1 D．x≤1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据图象可以直接回答即可．
【详解】解：观察图象得：当-2<x<1时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方，
∴当mx+n≥ax2+bx+c时，x的取值范围是-2≤x≤1，
故选：B．
【变式3】如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A(-1,p)，B(3,q)两点，则关于x的不等式
ax2-mx+c>n的解集是 ．
【答案】x<-1或x>3
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是
解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可．
【详解】解：∵函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A(-1,p)，B(3,q)两点，
∴由函数图象可知：关于x的不等式ax2-mx+c>n（即ax2+c>mx+n）的解集是x<-1或x>3；
故答案为x<-1或x>3．
题型八 二次函数的应用
解｜题｜技｜巧
二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，理解问题．
找：分析问题中的变量和常量找出它们之间的关系．
列：列函数解析式表示它们之间的关系（建立数学模型）．
解：用数学方法求解．
验：检验结果的合理性．
答：书写答案．
利用二次函数解决动态几何问题
利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程
中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法．
【典例1】某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A．y=10(1+x) 2 B．y=10+10(x+1)+10(x+1) 2
C．y=10+10x+x2 D．y=10(1+x) 2
【答案】B
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系
式是解题的关键．
根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今
年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关
于x的函数关系式．
【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长
率都是x，
该厂今年二月份新产品的研发资金为10(x+1)万元，三月份新产品的研发资金为10(x+1) 2万元．
根据题意得：y=10+10(x+1)+10(x+1) 2，
故选：B．
【典例2】苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面2m
时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．
【答案】(4❑√2-4)
【点拨】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问
题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为y=ax2(a≠0)，把B(2,-2)代入进而求出二次函数解析式，
再通过把y=-4代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，则B(2,-2)，可设这条抛物线为y=ax2(a≠0)，
把B(2,-2)代入得：-2=a×22，
1
解得：a=- ，
2
1
∴y=- x2 ，
2
1
当y=-4时，- x2=-4，
2
解得：x=±2❑√2，
∴水面下降2m，水面宽度增加(4❑√2-4)m．
故答案为：(4❑√2-4)．
【典例3】如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并且中
间用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长15m，设AB=xm，矩形ABCD面积为ym2．
(1)y关于x的函数解析式为___________（写化简后结果），x的取值范围是_________；
(2)求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长；
(3)在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W
1
（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =-2S2+210S，乙农作物的年收入W （单位：
1 2
元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W =70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙
2
农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF=am，求a的取值范围．
【答案】(1)y=-3x2+36x，7≤x<12(2)菜园ABCD面积的最大值为105m2，此时BC的长为15m
(3)2≤a≤5
【点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
（1）设AB=xm，则BC=36-3x，根据y=AB⋅BC可得解析式，根据0<BC≤15可得x的取值范围；
（2）将（1）中解析式化为顶点式，结合x的取值范围求最值；
（3）设BF=am，则CF=(15-a)m，用含a的式子表示出矩形ABFE和矩形EFCD的面积，再根据
W +W ≥8918，“乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍”，列出关于a的不等式，解
1 2
不等式即可．
【解答】（1）解：由题意知，BC=36-3x，且0<BC≤15，
解得7≤x<12，
∴ y=AB⋅BC=x⋅(36-3x)=-3x2+36x，
故答案为：y=-3x2+36x，7≤x<12；
（2）解：∵ y=-3x2+36x=-3(x-6) 2+108，
∴对称轴为直线x=6，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵ 7≤x<12，
∴当x=7时，y取最大值，最大值为：-3×(7-6) 2+108=105(m2)，
此时BC=36-3×7=15(m)，
即菜园ABCD面积的最大值为105m2，此时BC的长为15m；
（3）解：设BF=am，则CF=(15-a)m，
∴矩形ABFE的面积为AB⋅BF=7am2，矩形EFCD的面积为EF⋅CF=7(15-a)m2，
∴ W =-2(7a) 2+210×(7a)=-98a2+1470a，
1
W =70×7(15-a)=-490a+7350，
2
由题意得：W +W ≥8918，
1 2
即-98a2+1470a-490a+7350≥8918，
化简得a2-10a+16≤0，
解得2≤a≤8，
∵乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍，∴ 7(15-a)≥2×7a，
解得a≤5，
∴ a的取值范围为2≤a≤5．
【典例4】北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价
为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，
每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为
x元，每天销售量为y个．
(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元(2≤m≤7)给希望工程，
若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？
【答案】(1)y=-10x+900(40≤x≤61)
(2)m=4
【点拨】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）根据原销售件数减去减少的件数列出函数关系式即可；
（2）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系
式，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】（1）解：因为进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
所以40≤x≤61
由题意得，y=500-10(x-40)=-10x+900；
所以y与x之间的函数关系式为：y=-10x+900(40≤x≤61)．
（2）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W，
根据题意得，则W =(-10x+900)(x-30-m)=-10x2+(1200+10m)x-900(30+m)，
1200+10m 1
∴对称轴为x=- =60+ m，
2×(-10) 2
∵2≤m≤7，
1
∴x=60+ m≥61，
2
∴当40≤x≤61时，W 随x的增大而增大，
∴x=61时，W取得最大值，
∴(61-30-m)(900-10×61)=7830，解得：m=4．
【典例5】如图，抛物线y=ax2+4ax-5a（a为常数，a≠0）与x轴交于点A，B两点，点C为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5．
(1)求a的取值范围；
(2)若△ABC为等腰直角三角形，求a的值．
5
【答案】(1)- ≤a<0
9
1
(2)-
3
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．
（1）根据二次函数有最大值可得a<0，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得-9a≤5，
即可求出a的取值范围；
（2）分别求出A、B、C三点坐标即可得出结论．
【详解】（1）解：y=ax2+4ax-5a =a(x+2) 2-9a，
∵二次函数有最大值，
∴a<0，
∵函数最大值不超过5，
∴-9a≤5，
5
解得：- ≤a<0 ，
9
（2）解：当y=0时，ax2+4ax-5a=0，
解得：x =-5，x =1，
1 2
∴A(-5,0)，B(1,0)
∴AB=6 ，
过点C作CD⊥x轴于点D ，∵△ABC
为等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠CBA=45°，∠ACD=∠BCD=45°，
1
∴AD=BD=CD= AB=3，
2
∵y=a(x+2) 2-9a，
∴C(-2,-9a) ，
∴-9a=3 ，
1
解得：a=-
3
1
∴a的值为- ．
3
3
【典例6】如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(3,0),C(3,3)，抛物线y=- x2+bx+c
4
经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)点E在x轴上方的抛物线上，当S = S 时，求点E的坐标；
△BCE 4 矩形ABCD
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P
的坐标．
3 3 9
【答案】(1)y=- x2+ x+
4 2 4
(2)E(1,3)17 8
(3)P(1,-1)或(1,4)或(1, )或(1,- )
3 3
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理，
对于（1），直接将点A(-1,0),B(3,0)代入关系式，求出方程组的解即可；
对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可；
对于（3），先求出对称轴为x=1，再设点P(1,p),Q(m,n),A(-1,0),C(3,3)，然后分三种情况：以
AC为矩形的对角线时，以AC为矩形的边时，若以AQ为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案．
3
【详解】（1）解：将点A(-1,0),B(3,0)代入关系式y=- x2+bx+c，
4
∴¿，
解得¿，
3 3 9
∴抛物线的关系式为y=- x2+ x+ ；
4 2 4
（2）解：如图，
1 1
∵S = BC⋅h,S =CD⋅BC，且S = S ，
△BCE 2 矩形ABCD △BCE 4 矩形ABCD
1 1
∴ BC⋅h= CD⋅BC，
2 4
1 1
∴h= CD= AB．
2 2
∵点A，B关于对称轴对称，
3 3 9
∴点E的横坐标为1，此时y=- + + =3，
4 2 4
即点E(1,3)；
3 3 9
（3）解：∵抛物线y=- x2+ x+ ，
4 2 4
3
2
∴对称轴为x=- =1，
3
2×(- )
4设点P(1,p),Q(m,n),A(-1,0),C(3,3)，
如图，以AC为矩形的对角线，
由中点的坐标可知¿，
解得¿．
∵∠APC=90°，
∴PC2+PA2=AC2，
∴(3-1) 2+(3-p) 2+(-1-1) 2+(0-p) 2=(-1-3) 2+(0-3) 2，
解得p=-1或4，
∴点P(1,-1)或(1,4)；
如图，以AC为矩形的边时，
由中点的坐标公式，得¿，
解得¿，
∵∠ACP=90°，
∴PC2+AC2=AP2，
∴(3-1) 2+(3-p) 2+(-1-3) 2+(0-3) 2=(-1-1) 2+(0-p) 2，
17
解得p= ，
3
17
∴点P(1, )；
3若以AQ为矩形的对角线时，
由中点的坐标公式，得¿，
解得¿，
∵∠PAC=90°，
∴AP2+AC2=PC2，
∴(-1-1) 2+(0-p) 2+(-1-3) 2+(0-3) 2=(3-1) 2+(3-p) 2，
8
解得p=- ，
3
8
∴点P(1,- )，
3
17 8
综上所述，点P的坐标为(1,-1)或(1,4)或(1, )或(1,- )．
3 3
【变式1】某市今年第一季度的专项教育投入为5亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为x，第三季度
增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍，则第三季度专项教育投入y（亿元）关于x的函数关系式为
．（不要求写自变量x的取值范围）
【答案】y=10x2+15x+5
【点拨】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为5(1+x)亿元，则今年第二季度的专项教育投入为y=5(1+x)(1+2x)亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键．
【解答】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为5(1+x)亿元，
∴今年第二季度的专项教育投入为y=5(1+x)(1+2x)=(10x2+15x+5)亿元，
故答案为：y=10x2+15x+5．
【变式2】一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12m，高6m，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心
1
线两侧距道路边缘2m这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，请你根据这些要求，
3
建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制．
【答案】见解析，3m
【点拨】本题考查了二次函数的应用，首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式，
10 1
然后求出当x=6-2=4时，y= ，再根据车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙，得隧道车辆的高度限制
3 3
10 1
为 - =3(m)．
3 3
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
由已知可得，抛物线顶点坐标为(0,6)，与x轴的一个交点为(6,0)，
设抛物线的表达式为y=ax2+6，
把(6,0)代入表达式，得36a+6=0，
1
解得a=- ，
6
1
∴抛物线的表达式为y=- x2+6，
610
当x=6-2=4时，y= ，
3
10 1
∴ - =3(m)，
3 3
∴通过隧道车辆的高度限制为3m．
【变式3】某经销商以60元/个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线
下每周销量y个与售价x元/个(x>60)满足一次函数关系（如下表)；线上售价为100元/个，供不应求．规
定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的80%．
售价x（元/个） ⋯ 80 90 100 ⋯
销量y（个） ⋯ 400 300 200 ⋯
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若该经销商共购进1000个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得
的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本）
【答案】(1)y=-10x+1200；
(2)线下销售120个，线上销售880个时获利最大，最大利润是40960元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函
数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=线上利润+线下利润”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成顶点式即可求出最
值．
【解答】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，
由表格可知，当x=80，y=400，当x=90，y=300，
∴¿，解得：¿，
∴y与x的函数解析式y=-10x+1200；
（2）解：当线下销量为(-10x+1200)个时，线上销量为1000-(-10x+1200)=10x-200（个），设全
部售完后获得的利润为w元，
根据题意得w=(x-60)(-10x+1200)+(100-60)(10x-200)
=-10x2+2200x-80000
=-10(x-110) 2+41000，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%，
∴x-60≤60×80%，解得x≤108，∵100-60=40<60×80％=48，
∴线上销售符合要求，
∵-10<0，对称轴为直线x=110，
∴当x=108时，w有最大值，最大值为40960，
此时线下销售量为-10x+1200=120（个），线上销售量为880个，
答：线下销售120个，线上销售880个时获利最大，最大利润是40960元．
【变式4】大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标系（大坝底与水平
1 x
面交点为原点O，大坝墙面为y轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为y= - x2+ +15，泄洪口AB
16 2
高3m；水流外轮廓线的最高点D比泄洪口A处高5m，且与泄洪口A处的水平距离为6m．
(1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点C的坐标．
(2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度EF．
1
【答案】(1)y=- (x-6) 2+20，点C的坐标为(4,16)
18
(2)(6❑√10-14)m
【点拨】本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用二次函数性质，结合已知条件确定函数
表达式、顶点坐标，通过求函数与x轴交点计算宽度．
（1）先将内轮廓线函数表达式通过配方法化为顶点式，从而得出内轮廓线顶点C的坐标；再根据A点坐标
及AB高度确定B点坐标，结合D点与A点的位置关系确定D点坐标，最后设外轮廓线顶点式，代入B点坐
标求出表达式．
（2）明确水流落入水平面时y=0，分别将y=0代入内、外轮廓线表达式．求解方程得到外轮廓线与x轴
交点F和内轮廓线与x轴交点E的横坐标．用F点横坐标减去E点横坐标，算出水流宽度EF．
1 x 1
【解答】（1）解：∵内轮廓线的函数表达式为y=- x2+ +15=- (x-4) 2+16，
16 2 16
∴内轮廓线的顶点C的坐标为(4,16)．
令x=0，得y=15．∴点A的坐标为(0,15)．
∵泄洪口AB高3m，
∴点B的坐标为(0,18)．
∵水流外轮廓线的最高点D比泄洪口A处高5m，且与泄洪口A处的水平距离为6m，A点坐标(0,15)，
∴D点横坐标为0+6=6，纵坐标为15+5=20，即D(6,20)．
设外轮廓线的函数表达式为顶点式y=a(x-6) 2+20(a≠0)．
把B(0,18)代入y=a(x-6) 2+20，得
18=a(0-6) 2+20，即36a+20=18．
1
解得a=- ，
18
1
∴外轮廓线的函数表达式为y=- (x-6) 2+20．
18
（2）解：当水流落入水平面时，y=0．
1 1
代入外轮廓y=- (x-6) 2+20，得0=- (x-6) 2+20．
18 18
解得x=6+6❑√10，x=6-6❑√10（舍去）；
1 1
代入内轮廓y=- (x-4) 2+16，得0=- (x-4) 2+16，
16 16
解得x=20，x=-12（舍去）．
∵EF的长度等于F点横坐标减去E点横坐标，
∴EF=6+6❑√10-20=6❑√10-14，
∴水流落入水平面时，形成的水流的宽度EF为(6❑√10-14)m．
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y
轴交于点C(0,-3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，求使△QBC为直角三角形的点Q的坐标．【答案】(1)y=x2-2x-3
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
(2)(1,2)或(1,-4)或 1, 或 1,
2 2
【分析】（1）利用待定系数法将A(-1,0)、C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c求解即可得到答案；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为y=x2-2x-3，得到对称轴为x=1，先求出B(3,0)，再计算
BC2=18，QB2=m2+4，QC2=m2+6m+10，根据△QBC为直角三角形，分三种情况，由勾股定理列
方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将A(-1,0)、C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c得，
¿，
解得¿，
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：由（1）知，二次函数的解析式为y=x2-2x-3，
∴对称轴为x=1，
令y=0，则0=x2-2x-3，
∴(x-3)(x+1)=0
解得x=3或x=-1，
∴B(3,0)，
设抛物线对称轴上一动点Q(1,m)，
∵B(3,0)、C(0,-3)，
∴BC2=18，QB2=m2+4，QC2=m2+6m+10，
当∠B=90°时，由勾股定理可得QB2+BC2=QC2，
则(m2+4)+18=m2+6m+10，
解得m=2，则Q(1,2)；
当∠C=90°时，由勾股定理可得QC2+BC2=QB2，
则(m2+6m+10)+18=m2+4，
解得m=-4，则Q(1,-4)；
当∠Q=90°时，由勾股定理可得QB2+QC2=BC2，
则(m2+4)+(m2+6m+10)=18，
即m2+3m-2=0，∵Δ=32-4×1×(-2)=9+8=17>0，
-3±❑√17 ( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
∴ m= ，则Q 1, 或Q 1, ，
2 2 2
( -3+❑√17) ( -3-❑√17)
综上所述，使△QBC为直角三角形的点Q的坐标为(1,2)或(1,-4)或 1, 或 1, ．
2 2
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、抛物线与x轴交
点坐标、勾股定理、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，掌握待定系数法求函数解析式的方法，
根据直角三角形特征分类讨论是解决问题的关键．
【变式6】 综合运用：如图，一次函数y=x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数
y=-x2+bx+c的图象经过A，C两点，并与x轴交于点B．点M(m,0)是线段OA上一个动点（不与点
O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点E和点D．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)用含m的代数式表示DE，CD；
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-2x+3
(2)DE=-m2-3m，CD=-❑√2m
(3)(-1,0)或(-2,0)或(-3+❑√2,0)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）分别把x=0，y=0代入一次函数y=x+3，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线
y=-x2+bx+c，求出b，c的值，即可解答；
（2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点E(m,-m2-2m+3)，点
D(m,m+3)(-3<m<0)，根据两点间距离公式即可解答；（3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①CE=CD；②CE=DE；③CD=DE求解即可．
【详解】（1）解：将x=0代入一次函数y=x+3，得y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
将y=0代入一次函数y=x+3，得x+3=0，解得x=-3，
∴点A的坐标为(-3,0)，
将点A，C的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c，
得¿，解得¿，
∴这个二次函数的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）解：∵过点M(m,0)作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点E和点D，
∴点E(m,-m2-2m+3)，点D(m,m+3)(-3<m<0)，
∴DE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m，
CD=❑√m2+(m+3-3) 2=-❑√2m．
（3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况：
由（2）可得，点C(0,3)，E(m,-m2-2m+3)，D(m,m+3)(-3<m<0)，
∴CE2=m2+(-m2-2m+3-3) 2 =m2+(-m2-2m) 2 ，
CD2=2m2，
DE2=(-m2-3m) 2 ，
①当CE=CD时，m2+(-m2-2m) 2 =2m2，
解得m =-1，m =-3（舍去），m =0（舍去），
1 2 3
此时点M的坐标为(-1,0)；②当CE=DE时，m2+(-m2-2m) 2 =(-m2-3m) 2 ，
解得m =-2，m =0(舍去)，
1 2
此时点M的坐标为(-2,0)；
③当CD=DE时，2m2=(-m2-3m) 2 ，
解得m =-3+❑√2，m =-3-❑√2（舍去），m =0（舍去），
1 2 3
此时点M的坐标为(-3+❑√2,0)．
综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为(-1,0)或(-2,0)或(-3+❑√2,0)．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
1
A．y＝3x﹣1 B．y＝2x2﹣1 C．y= D．y＝（x2+1）2
x2
【分析】根据二次函数形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A．y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B．y＝2x2﹣1满足二次函数的一般形式，是二次函数，符合题意；
1
C．y = 不是二次函数，不符合题意．
x2
D．y＝（x2+1）2＝x4+2x2+1，最高次为4，不是二次函数，不符合题意．
故选：B．
2．二次函数y＝x2+4的图象不经过的象限为（ ）
A．第三、第四象限 B．第二、第四象限
C．第一、第二象限 D．第一、第四象限
【分析】根据二次函数y＝x2+4的解析式，由于a＝1＞0，抛物线开口向上，且最小值为4，因此y始终
为正，图象不经过y＜0的象限．
【解答】解：∵y＝x2+4，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，∵x2≥0，
∴y≥4，
∴函数值y始终为正数，
∴图象经过第一象限和第二象限，但不经过第三象限和第四象限．
故选：A．
3．抛物线y＝x2﹣3x﹣2与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】此题可根据“b2﹣4ac＞0时，二次函数与x轴交两个点；当b2﹣4ac＝0时，二次函数与x轴交
一个点；当b2﹣4ac＜0时，二次函数与x轴没有交点”，进而问题可求解．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴该抛物线与x轴的交点个数是2个；
故选：C．
4．二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+5的最大值是 ．
【分析】根据所给二次函数的解析式，结合二次函数的性质求出最大值即可．
【解答】解：由题知，
因为二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣2）2+5，
所以抛物线的开口向下，且顶点坐标为（2，5），
所以当x＝2时，二次函数取得最大值为5．
故答案为：5．
5．已知二次函数y＝x2﹣4x+2．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
（2）当﹣1≤y≤2时，结合图象写出x的取值范围．
【分析】（1）先配方成顶点式，再求顶点坐标，最后以顶点向左右取部分点，列表，描点，连线即可；（2）观察图象即可获得答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），
列表如下：
x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 2
描点，连线，画出函数图象如下图：
（2）观察图象可知当﹣1≤y≤2时，x的取值范围为0≤x≤1或3≤x≤4．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝k（x+b）2的图象大致可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先判断二次函数与x轴交于（﹣b，0），再根据一次函数的经过的象限判断k和b的正负，通
过k和b的正负判断二次函数的开口方向和与x轴的交点位置即可求解．【解答】解：由y＝k（x+b）2可知二次函数图象与x轴交于（﹣b，0），
观察选项A和选项B的一次函数经过一、二、三象限，可得k＞0，b＞0，
若k＞0，b＞0，则二次函数y＝k（x+b）2开口方向向上，与x轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错
误；
观察选项C和选项D的一次函数经过一、二、象限，可得k＜0，b＞0，
若k＜0，b＞0，则二次函数y＝k（x+b）2开口方向向下，与x轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项
D正确．
故选：D．
2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
A．对称轴是直线x＝﹣2
B．当x＝﹣4时，y＝﹣11
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．抛物线开口向下
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：A、由表格中点（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），可知对称轴是直线x＝﹣2，故不符合题意；
B、根据对称轴是直线x＝﹣2，图象过点（1，﹣11），所以当x＝﹣5时，y＝﹣11，故符合题意；
C、由表格数据可知，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、根据对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，故不符合题
意；
故选：B．
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个
5 1
结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＝0；④若点B(- ，y )，C(- ，y )为函数图象上的两
2 1 2 2
点，则y ＜y ．其中正确结论的个数是（ ）
1 2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据函数图象和题意，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象可得，a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴x=- =-1，
2a
∴b＝2a＜0，即2a﹣b＝0，故②正确；
∴abc＞0，故①错误；
∵图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴图象过点（1，0），
∴a+b+c＝0，故③正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
5 1
∵点B（- ，y ）、C（- ，y ）为函数图象上的两点，
2 1 2 2
5 1 1
∴|﹣1+ |＝2＞|- +1|= ，
2 2 2
∴y ＜y ，故④正确，
1 2
故选：B．
4．若y=(m-1)xm2+1+1是关于x的二次函数，则m的值是
．
【分析】根据二次函数的定义解题即可．
【解答】解：∵y=(m-1)xm2+1+1是关于x的二次函数，
{m2+1=2
∴ ，
m-1≠0
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．5．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ．
【分析】依据题意，根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，即可判断得解．
【解答】解：由题意，抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1+3＝（x+1）2+4．
故答案为：y＝（x+1）2+4．
6．已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，有
一动点D在线段BC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则DE的最大值为 ．
【分析】根据二次函数的解析式求出点B、C的坐标，设点D的坐标是（x，﹣x+5），则点E的坐标是
（x，﹣x2+4x+5），用含x的式子表示出DE的长．
【解答】解：当y＝0时，可得：﹣x2+4x+5＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣1，
1 2
∵点A在点B左侧，
∴点B的坐标是（5，0），
当x＝0时，可得：y＝﹣x2+4x+5＝5，
∴点C的坐标是（0，5），
设直线BC的解析式是y＝kx+b（k≠0），
把点B的坐标（5，0），点C的坐标（0，5）代入y＝kx+b（k≠0），
{5k+b=0
可得： ，
b=5
{k=-1
解得： ，
b=5
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+5，
设点D的坐标是（x，﹣x+5），则点E的坐标是（x，﹣x2+4x+5），
5 2 25
∴DE=-x2+4x+5-(-x+5)=-x2+5x=-(x- ) + ，
2 4
∵二次项系数为﹣1＜0，25
∴DE有最大值，最大值是 ．
4
25
故答案为： ．
4
7．如图，要建一个矩形养殖场ABCD，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1
米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽AD为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽AD为多少米？
【分析】（1）先用x表示出矩形养殖场的长为（76﹣2x）米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式；
（2）由y＝690列方程求解即可．
【解答】解：（1）设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为75+1﹣2x＝（76﹣2x）米，
养殖场的面积y＝（76﹣2x）x＝﹣2x2+76x，由题意可得：
{x≤76-2x
∴ 76-2x＞0，
76-2x≤45
31 76
解得 ≤x≤ ，
2 3
31 76
∴y=-2x2+76x( ≤x≤ )；
2 3
（2）当y＝690时，由690＝﹣2x2+76x得x2﹣38x+345＝0，
解得x ＝23，x ＝15（舍去），
1 2
答：养殖场的宽为23米．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A（3，
0），B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称．（1）求线段AB的长；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点E（m，y ），F（n，y ）在对称轴右侧抛物线上（m＞
1 2
n）．若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF＝90°，求m﹣n的值．
【分析】（1）先求出点B坐标，即可得解；
（2）先求出抛物线解析式，进而根据x范围求解即可；
（3）构造三垂直全等：△EMG≌△GNF，可得MN＝GN+GM＝m﹣1+n﹣1＝m+n﹣2，再用y ﹣y ＝
1 2
MN，进而建立关于m、n的式子，即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（3，0），B两点，且关于直线x＝1对称，
∴B（﹣1，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
（2）将A（3，0），B（﹣1，0）分别代入y＝ax2+bx+3
{9a+3b+3=0
得 ，
a-b+3=0
{a=-1
解得 ，
b=2
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
∴当x＝1时，y＝4；x＝3时，y＝0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4．
（3）如图，过点E作EM⊥对称轴于点M，过F作FN⊥对称轴于点N，则∠EMG＝∠FNG＝90°，
∴∠MGE+∠MEG＝90°，
∵△GEF为等腰直角三角形，∠EGF＝90°，
∴GE＝GF，∠NGF+∠MGE＝90°，
∴∠NGF＝∠MEG．
在△EMG和△GNF中，
{∠EMG=∠FNG，
∠MEG=∠NGF，
GE=FG，
∴△EMG≌△GNF（AAS），
∴EM＝GN，GM＝NF．
∵E（m，y ），F（n，y ），
1 2
∴EM＝GN＝m﹣1，GM＝NF＝n﹣1，
∴MN＝GN+GM＝m﹣1+n﹣1＝m+n﹣2．
∵点E（m，y ），F（n，y ）在对称轴右侧抛物线上，
1 2
∴MN＝m+n﹣2＞0，y ＝﹣m2+2m+3，y ＝﹣n2+2n+3，
1 2
∴MN= y - y =-n2+2n+3-(-m2+2m+3)=(m-n)(m+n-2)，
2 1
即（m﹣n）（m+n﹣2）＝m+n﹣2，
∴m﹣n＝1．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
{ ax2+bx+c(x≥0)
1．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y = 是它的相关函数．已知点M，N的坐标
-ax2-bx-c(x＜0)
1 9
分别为（- ，1），（ ，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有
2 2两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
4 4
5
C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
4
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交
点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
1
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（- ，1），
2
1
∴ + 2﹣n＝1，
4
5
解得：n= ．
4
5
∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
4
5
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤ ，
4
故选：A．
2．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为
B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；1
②若点M（﹣2，y ）、点N( ，y )、点P（2，y ）在该函数图象上，则y ＜y ＜y ；
1 2 2 3 1 3 2
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的
最小值为❑√34．
其中正确的判断有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可判断；②由y＝
﹣x2+2x+m+1得对称轴为直线x＝1，﹣1＜0，则抛物线上的点离对称轴越远，y的值越小，便可判断；
③根据平移的规律求出平移后的解析式便可；④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于
y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于
D、E点，求出．B′C′便是其他三边和的最小值．
【解答】解：①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，
顶点为B．抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
∴﹣x2+2x+m+1＝m+2，
∴x2﹣2x+1＝0，
则Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，
故①判断正确；
②由y＝﹣x2+2x+m+1得对称轴为直线x＝1，﹣1＜0，
∴抛物线上的点离对称轴越远，y的值越小，
1 1
∵|﹣2﹣1|＝3，| -1|= ，|2﹣1|＝1，
2 21
∴3＞1＞ ，
2
∴y ＜y ＜y ，
1 3 2
故②判断正确；
③由抛物线y＝﹣x2+2x+m+1＝﹣（x﹣1）2+m+2，
∵该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣（x﹣1+2）2+m+2﹣2＝﹣（x+1）2+m，
故③判断正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y
轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度
一定，
∴ 此 时 ， 四 边 形 BCDE 周 长 ＝ B′C′+BC 最 小 ， 为 ：
❑√B'M2+C'M2+❑√BM2+CM2=❑√32+52+❑√12+12=❑√34+❑√2，
故④结论不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故选：B．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x
＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；②若ax2+bx =ax2+bx
且x ≠x ，则x +x ＝2；
1 1 2 2 1 2 1 2
1
③若OA＝OC，则OB=- ；
a
④若B（1，0），C（0，3），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）．
其中正确的有 ．
【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝﹣1，得到当x＝﹣1时，y最大值 ＝a﹣b+c，据此可判断
①；根据题意可得直线x＝x 和直线x＝x 关于对称轴对称，则x +x ＝﹣2，据此可判断②；先由对称轴
1 2 1 2
公式得到b＝2a，再由OA＝OC，得到A（﹣c，0），点B的坐标为（c﹣2，0），把A（﹣c，0）代入
2a-1 1
抛物线解析式中求出c= ，则点B的坐标为(- ，0)，据此可判断③；先求出A（﹣3，0），设
a a
P（﹣1，m），利用勾股定理得到PC2+AC2＝PA2，则m2﹣6m+10+18＝m2+4，解得m＝4，据此可判断
④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y最大值 ＝a﹣b+c，
∴当m≠﹣1时，a﹣b+c＞am2+bm+c，即a﹣b＞am2+bm，故①正确；
当ax2+bx =ax2+bx
且x ≠x 时，则直线x＝x 和直线x＝x 关于对称轴对称，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴x +x ＝﹣2，故②错误；
1 2
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
b
∴- =-1，
2a
∴b＝2a，
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴点B的坐标为（c﹣2，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式中得ac2﹣2ac+c＝0，
2a-1
∴c= ，
a
1
∴c-2=- ，
a
1
∴点B的坐标为(- ，0)，
a
1
∴OB=- ，故③正确；
a
∵B（1，0），
∴A（﹣3，0），
设P（﹣1，m），
∴PA2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+（m﹣0）2＝m2+4，PC2＝（﹣1﹣0）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，
AC2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣3）2＝18，
∵∠PCA＝90°，
∴PC2+AC2＝PA2，
∴m2﹣6m+10+18＝m2+4，
解得m＝4，
∴P（﹣1，4），故④正确；
故答案为：①③④．
4．在平面直角坐标系xOy中，A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上
1 1 2 2 3 3
三点．若0＜x ＜1，x ＞4，则y ＞ y （填“＞”或“＜”）；若对于 m＜x ＜m+1，m+1＜x ＜
1 2 1 2 1 2
m+2，m+2＜x ＜m+3，存在y ＜y ＜y ，则m的取值范围是 ．
3 1 3 2
【分析】先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x ＜1，x ＞4，
1 2
∴2﹣x ＜x ﹣2，即（x ，y ）比（x ，y ）离对称轴直线的水平距离近，
1 2 1 1 2 2
∴y ＞y ；
1 2
由题可知存在y ＜y ＜y ，即并不是全段都是y ＜y ＜y ，
1 3 2 1 3 2
所以我们可以尝试找到不存在y ＜y 和y ＜y 的临界值，
1 3 3 2
①先讨论y ＜y ，
1 3由图1可知，此时存在y ＜y ，由图2可知，当m和m+2关于对称轴对称时，此时不存在y ＜y ，
1 3 1 3
m+m+2
此时 = 2，
2
解得m＝1，
要使存在y ＜y ，则x 和x 均向左移动即可，
1 3 1 3
∴m＜1；
②再讨论y ＜y ，
3 2
由图3可知，此时存在y ＜y ，由图4可知，当m+2和m+3关于对称轴对称时，此时不存在y ＜y ，
3 2 3 2
m+2+m+3
此时 = 2，
2
1
解得m=- ，
2
要使存在y ＜y ，则x2和x 均向右移动即可，
3 2 3
1
∴m＞- ；
21
综上，- ＜m＜1，
2
1
故答案为：＞，- ＜m＜1．
2
5．如图，抛物线L ：y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接
1
AC，点P（m，0）是线段OA上一点（不含端点），作射线PD⊥x轴交L 于点D，交AC于点E．
1
（1）求抛物线L 的函数解析式．
1
（2）嘉嘉和淇淇分别提出一个问题．
嘉嘉：m为何值时，使得DE的长最大？
淇淇：m为何值时，使得点E是PD的中点？
请选择其中一人的问题进行解答．
（3）将抛物线L 向上平移n个单位长度（n＞0），再向左平移2n个单位长度，使其经过点（﹣1，1）
1
得到抛物线L ，点D也相应地平移到L 上的点F处，设直线DF的解析式为y＝kx+h．点P在线段OA
2 2
上从右向左移动，判断k的值的变化情况，若不变，直接写出k的值；若变化，直接写出变化规律．
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）嘉嘉：先用待定系数法可得AC的解析式，表示ED的长并配方即可得结论；
淇淇：根据PD＝2EP列方程即可解答；
（3）根据平移的性质得L ：y＝（x+1+2n）2﹣4+n，将（﹣1，1）代入可得n的值，确定点D和F的坐
2
标，利用待定系数法即可解答．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中得：
{9-3b+c=0
，
c=-3
{b=2
解得： ，
c=-3
∴抛物线L 的函数解析式为：y＝x2+2x﹣3；
1
（2）嘉嘉：设AC的解析式为：y＝kx+m，{-3k+m=0
∴ ，
m=-3
{k=-1
解得： ，
m=-3
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P（m，0），PD⊥x轴，
∴E（m，﹣m﹣3），D（m，m2+2m﹣3），
∴ED＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）
＝﹣m2﹣3m
3 9
＝﹣（m+ ）2+ ，
2 4
∵﹣1＜0，
3 9
∴当m=- 时，ED有最大值是 ；
2 4
淇淇：∵E是PD的中点，
∴PD＝2EP，
∴﹣m2﹣2m+3＝2（m+3），
m2+4m+3＝0，
（m+3）（m+1）＝0，
∴m ＝﹣3（舍），m ＝﹣1，
1 2
∴当m＝﹣1时，点E是PD的中点；
（3）L ：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
1
∴L ：y＝（x+1+2n）2﹣4+n，
2
把（﹣1，1）代入得：（﹣1+1+2n）2﹣4+n＝1，
∴4n2+n﹣5＝0，
（n﹣1）（4n+5）＝0，
5
∴n ＝1，n =- （舍），
1 2 4
即将抛物线L 向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，
1
∵D（m，m2+2m﹣3），
∴F（m﹣2，m2+2m﹣2），
∵DF的解析式为：y＝kx+h，{ mk+h=m2+2m-3①
∴ ，
(m-2)k+h=m2+2m-2②
②﹣①得：﹣2k＝1，
1
∴k=- ，
2
1
∴k不变，是- ．
2
6．如图，抛物线C ：y=x2-bx过点（3，0），顶点为M．
1
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）点Q（x ，y ）在C 上，若1＜x ＜4，直接写出y 的取值范围；
Q Q 1 Q Q
7
（3）抛物线C ：y=-x2+(2t-4)x-t2+4t（t为常数，且 ≤t＜6），顶点为N．C 与C 交于A，
2 2 1 2
B（A在B的左侧）两点．
①当t＝4时，求C 在点A，B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数；
1
②连接AB，MN，且AB与MN交于点P，直接写出点P的纵坐标．
【分析】（1）把点（3，0）代入抛物线C ：y＝x2﹣bx，即可求出b的值，将抛物线解析式化为顶点式，
1
即可得到点M的坐标；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
{ y=x2-3x
（3）①当t＝4时，抛物线C 为y＝﹣x2+4x，解方程组 ，得到点
2 y=-x2+4x
A，B的坐标，即可求出C 在点A，B之间（含边界）的整点个数；
1
②设抛物线C 与C 的交点A的坐标为（x ，y ），B的坐标为（x ，y ），联立C 与C 的解析式，组
1 2 A A B B 1 2{ y=x2-3x
成的方程组 ，可得2x2+（1﹣2t）x+t2﹣4t，根据一元二次方程根与系数的
y=-x2+(2t-4)x-t2+4t
2t-1 7 2t-1 7
关系可推出x +x = ，y + y = ，因此线段AB的中点坐标为( ， )．求出抛物线C 的
A B 2 A B 4 4 8 2
2t-1 7
顶点N的坐标为（t﹣2，4），可得线段MN的中点坐标为( ， )，因此线段AB与线段MN的中
4 8
点重合，即为点P，即可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线C ：y＝x2﹣bx过点（3，0），顶点为M，将坐标代入得：
1
9﹣3b＝0，
解得：b＝3，
3 2 9
∴抛物线C 为y＝x2﹣3xy=x2-3x=(x- ) - ，
1
2 4
3 9
∴顶点M的坐标为( ，- )；
2 4
9
（2）y 的取值范围为- ≤ y ＜4；理由如下：
Q 4 Q
3 9
∵抛物线C ：y＝x2﹣3x的开口向上，顶点为M( ，- )，
1 2 4
3 3 3
∴当x= 时，函数值y有最小值；当x＜ 时，y随x的增大而减小；当x＞ 时，y随x的增大而增大．
2 2 2
当x＝1时，得：y＝1﹣2＝﹣2，
当x＝4时，得：y＝42﹣3×4＝4，
9
∴当1＜x ＜4，y 的取值范围为- ≤ y ＜4；
Q Q 4 Q
（3）①当t＝4时，抛物线C 的解析式为y＝﹣x2+（2×4﹣4）x﹣42+4×4＝﹣x2+4x，
2
{ y=x2-3x
联立得： ，
y=-x2+4x
7
{x=
{x=0 2
解得： 或 ，
y=0 7
y=
4
7 7
∴A（0，0），B( ， )，
2 4把x＝1代入抛物线C ：y＝x2﹣3x，得：y＝12﹣3×1＝﹣2，
1
把x＝2代入抛物线C ：y＝x2﹣3x，得：y＝22﹣3×2＝﹣2，
1
把x＝3代入抛物线C ：y＝x2﹣3x，得：y＝32﹣3×3＝0，
1
∴C 在点A，B之间（含边界）的整点有（0，0），（1，﹣2），（2，﹣2），（3，0），共有4个；
1
7
②点P为线段AB与线段MN的中点，其纵坐标为 ．理由如下：
8
设抛物线C 与C 的交点A的坐标为（x ，y ），B的坐标为（x ，y ），
1 2 A A B B
{ y=x2-3x
联立得： ，
y=-x2+(2t-4)x-t2+4t
整理得：2x2+（1﹣2t）x+t2﹣4t，
2t-1 t2-4t
∴x +x = ，x x = ，
A B 2 A B 2
∵y =x2 -3x ，y =x2-3x ，
A A A B B B
∴y + y =x2 -3x +x2-3x
A B A A B B
=(x +x ) 2-2x x -3(x +x )
A B A B A B
2t-1 2 t2-4t 2t-1
=( ) -2⋅ -3⋅
2 2 2
7
= ，
4
x +x 2t-1 y + y 7 2t-1 7
∴线段AB的中点的横坐标为 A B= ，纵坐标为 A B= ，即为( ， )．
2 4 2 8 4 8
∵抛物线C ：y＝﹣x2+（2t﹣4）x﹣t2+4t＝﹣[x﹣（t﹣2）]2+4，
2
∴顶点N的坐标为（t﹣2，4），
3 9
∵抛物线C ：y＝x2﹣3x的顶点为M( ，- )，
1 2 4
3 9
t-2+ 4+(- ) 2t-1 7
∴线段MN的中点的横坐标为 2 2t-1，纵坐标为 4 7，即为( ， )．
= = 4 8
2 4 2 8
∴线段AB与线段MN的中点重合，
∵AB与MN交于点P，
7
∴点P为线段AB与线段MN的中点，其纵坐标为 ．
8
