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专题 02 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数的应用——图形问题
【解惑】如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃
， 边上留有2米宽的小门 （用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边 长为x（米），
面积为y（平方米）．
(1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽；
(2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．
【答案】(1) ，
(2)矩形的长为 ，宽为 ，矩形面积最大，最大面积为【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性
质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键．
（1）根据题意，得宽 ，长为 ，根据矩形场地面积
为144平方米，列出方程 ，解方程即可；
（2）设矩形的面积为 ，根据题意，得 ， ，
构造二次函数解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得宽 ，
长为 ，
∵矩形场地面积为144平方米，
∴ ，
即 ，
解得： ， ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，舍去，
故当 时，成立，
答：矩形的长为 ，宽为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
根据题意，得 ，
∴当 时， 随 增大而减小，
∴当 时， 有最大值160，此时矩形的长为 ，宽为 ．
答：矩形的长为 ，宽为 ，矩形面积最大，最大面积为 ．
【融会贯通】
1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．
(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________
【答案】(1)5米
(2)4；48
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用：
（1）用总长减去三个宽即为 的长，利用长方形的面积公式列出方程求解即可；
（2）用总长减去三个宽即为 的长，进而表示出长方形面积，求出最值即可．
【详解】（1）解：设花圃的宽 为x米，则花圃的长为 米，根据题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，
答： 的长是5米；
（2）解：根据题意得： ，
根据题意得： ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时，S取得最大值，最大值为48，
即当x为4时，花圃 的面积最大，最大面积是 ．故答案为：4；48
2．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 为直径的半圆O，下部是一个矩形 ．
(1)当 米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形 相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积 关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米 3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（ 取3.14，结果精确到0.1米）
【答案】(1) （米 ）
(2)① ；②26.1
【分析】（1）根据面积公式计算即可；
（2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之
间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
【详解】（1）
（米 ）；
（2）①∵ ，
∴ ，
∴ ．
②由①知， ，
又∵2米 米，∴ ，
∴ ．
由①知， ．
∵ ，
∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴 ，
又 ，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当 时，S有最大值．
（米 ）．
3．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为
28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三
个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边 的长；
(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
【答案】(1)菜地的面积能达到 时 的长为 ．
(2)该片菜地最多可收获 千克的菜．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用
是解题的关键．
(1) 设 ，则 ，依题意列方程计算即可．
(2) 设菜地的面积为 ，依题意构造二次函数计算即可．
【详解】（1）设 ，则 ，依题意，得：，
即 ，
解得： ， ，
当 时， （不合题意，舍去），
当 时， ．
答：菜地的面积能达到 时 的长为 ．
（2）设菜地的面积为 ，依题意，得：
，
∴当 时，y有最大值为147．
即菜地的最大面积是 ．
∴ （千克），
答：该片菜地最多可收获 千克的菜．
类型二、二次函数的应用——几何动点问题
【解惑】如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点．动点 从点 出发，沿折线
以 的速度运动，作 ， 交边 或边 于点 ，连接 ．当点 与点
重合时，点 停止运动．设点 的运动时间为 ， 的面积为 ．
(1)当 时， 的形状是______．
(2)当点Q与点B重合时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)3(3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】（1）由题意得出当 时，点 在 上，如图，作 于 ，则 ，
证明 ，得出 ，即可得证；
（2）求出当点 与点 重合时，此时点 的运动的距离为 ，计算即可得出答案；
（3）分三个阶段：当 时，点 在 上运动；当 时，点 在 上运动，作 于
；当 时，点 在 上运动，作 于 ，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判
定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当 时，点 运动的距离为： ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点 是 的中点．
∴ ，
∴当 时，点 在 中点上，
如图，作 于 ，则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的形状是等腰直角三角形；
（2）如图，当点 与点 重合时，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴此时点 的运动的距离为 ，
∴ ；
（3）∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点 是 的中点．
∴ ，
如图，当 时，点 在 上运动，
，
此时 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；如图，当 时，点 在 上运动，作 于 ，则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
同（1）可得， ，
∴ ，
∴ 的形状是等腰直角三角形，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 时，点 在 上运动，作 于 ，
同理可得：四边形 为矩形， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与
性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的
思想是解此题的关键．
【融会贯通】
1．根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程 平均速度 时间t． ，其中 是开
始时的速度， 是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加 ．
(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度 ．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是 ，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少 ，求钢
球静止时在水平地面上滚动的路程．
【答案】(1)
(2)
(3)钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒(4)
【分析】此题考查了二次函数和一次函数动点问题，解题的关键是正确列出表达式．
（1）根据速度每秒增加 列式即可；
（2）首先求出平均速度 ，然后利用物体匀加（减）速运动时的路程 平均速度 时间t求解即可；
（3）把 代入 求解即可；
（4）首先表示出 ，然后求出平均速度，然后列式表示出 ，当 时，
即 ，解得 ，然后代入 求解即可．
【详解】（1）∵速度每秒增加
∴ ；
（2）∵
由题意得，
∴ ；
（3）把 代入 得 ．
解得 ，
∵ ，
∴
答：钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒；
（4）
当 时，即解得
将 代入 ．
∴钢球静止时在水平地面上滚动的路程为 ．
2．如图1，一块矩形电子屏 中，G为 上一感应点， ，动点P为一光点，当光点在光带
上运动时，会与感应点发生反应，照亮以 为边的正方形区域 ．因发生故障，只有光带 和
正常工作， ，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿 匀速运动，到达点B时停
止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域 的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的
函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
(1) 时，照亮的区域面积 ______，并求a值．
(2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．
①求出点P在线段 上运动时S关于t的函数解析式；
②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域 的面积S为17．
【答案】(1) ；
(2)① ；② 的值为 、 或 时，照亮区域 的面积 为17
【分析】（1）先得出 ，利用勾股定理求出 的长即可得出 ，根据 及图像得出点 运
动到点 时 ，理由勾股定理求出 即可得 值；
（2）①如图连接 ，根据垂线段最短得出点 经过 点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时
，利用 证明 ，得出 可求出此时 的值，根据点 纵坐标可得
，利用勾股定理求出 的长，根据 ， 及 时 的值，利用待定系数法即可求出
关于 的函数解析式；②分点 在 和 上两种情况，分别求出 值即可．
【详解】（1）解：∵ ，点 的速度为每秒 个单位，∴ ，
∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ，
∴ ，
由图2可知， 时 ，
∵ ，
∴ 时，点 运动到点 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，
∵点 经过 点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，
∴此时 ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， ，
由图2可知，点 运动到点 时， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ 时， ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
②当点 在 上时， ，
∴ ，
解得： ，（负值舍去）
当点 在 上时， ，
解得： ， ，
综上所述： 的值为 、 或 时，照亮区域 的面积 为17．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法
求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键．
3．如图 ，在矩形 中，已知 ，点 是 的中点．动点 从点 出发，以每秒 个单位的速
度沿 向点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线 运动，当一个点到
达点 时，另一点也随之停止运动．连接 ， ，设动点 运动的时间为 秒， 的面积为 ，图
中的曲线是动点 在线段 上时 与 的函数图象．(1)
填空：
① ____________；
②当 时，直接写出 与 的函数解析式为____________．
(2)经探究，发现当点 在线段 上运动时， 是关于 的二次函数．请求出此时 与 的函数解析式，并
直接写出自变量 的取值范围．
(3)在整个运动过程中，若存在某 个时刻 ， ， ，使得 的值相等．
①求出 的取值范围；
②当 时，求 的值．
【答案】(1)① ；②
(2) ，
(3)① ；②
【分析】（1）①由图 可得 时，点 在点 处，从而可得 ，即可得解；②由中点得
，进而求得当点 在 上运动时，点 在 上运动，由 ， 的高为 ，利
用三角形的面积公式即可得解；
（2）根据三角形形的面积公式可得 是关于 的二次函数；
（3）由（ ）（ ）得 ， ①对于 ，当 时， ，当时， ，从而可得 ；② 得 ，从而根据时刻 ， ，
，使得 的值相等构造方程求解即可得 ，进而代入求解即可．
【详解】（1）解：①由图 可得 时，点 在点 处，
∴ ，
故答案为： ，
②∵点 是 的中点，
∴ ，
∵动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 向点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位
的速度沿折线 运动，
∴ ，
∴当点 在 上运动时，点 在 上运动，
∵ ， 的高为 ，
∴当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：如图，当点 在线段 上运动时，
， ，
此时 ，
∴ ，
自变量 的取值范围为 ；（3）解：由（ ）（ ）得 ，
①如图， ，
对于 ，当 时， ，
∵ ，
∴当 时，
；
② ，
，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
把 ，代入 得：
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，从函数图像获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解
析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
类型三、二次函数中的将军饮马【解惑】如图，抛物线 经过 ， 两点，并交 轴于另一点 ，点 是抛物线
的顶点，直线 与轴交于点 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点 是 轴上一动点，分别连接 ， ，求 的最小值；
(3)若点 是抛物线上一动点，问在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)该抛物线的表达式为 ；
(2) 的最小值为 ；
(3)存在， 的坐标为 ， 或 或 ．
【分析】（ ）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（ ）利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，进而可得 ，作点 关于 轴的对称点
，连接 ， ， ，即 的最小值为 ，利用两点
间距离公式即可求得答案；
（ ）分两种情况：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，设 ，根据平行四边形
的对边平行且相等，令 等于2或 ，分别列方程求解即可得点P坐标，进而可求点Q坐标．【详解】（1）∵抛物线 经过 ， 两点，
，解得： ，
∴该抛物线的表达式为 ；
（2）∵ ，
∴顶点 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ，如图 ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ，∵ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）x轴上存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
由（ ）得： ， ，
∵点 是抛物线上一动点，
∴设 ，
作 于N，作 于E，
，
， ， ，
，
令 ，
解得 ，
如图 ，图3，
令 ，解得 ，
如图4，图5，
综上所述，x轴上存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 的坐标为
或 或 ．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数
图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点的应用及运用分类讨论思想是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 经过 ， 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，
直线 与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)该抛物线的表达式为 ；
(2) 的最小值为
【分析】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值；
（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可；
（2）利用轴对称求最小值即可， 的最小值为 即 ，通过勾股定理求解即可．
【详解】（1）把 ， 代入 得：
解得：
∴该抛物线的表达式为 ；
（2）由（1）得：抛物线的表达式为
∴对称轴 ，顶点
∴
设直线 解析式为 ，
将 ， 代入得： ，解得∴直线 解析式为 ，
∴当 时，
∴
∵点A关于对称轴的对称点为点
∴ 的最小值为 即
∴
∴ 的最小值为
2．如图，已知抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点 ，其顶点为
D，对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练
掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长．
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）先求出对称轴，得出点 、 关于对称轴 对称，连接 交对称轴 于点P，连接 ，
此时 的值最小，即为 的长求出即可．【详解】（1）解：将点 、 、 代入 ，得：
，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 抛物线 的对称轴为 ，
点 、 关于对称轴 对称，
连接 交对称轴 于点P，连接 ，此时 的值最小，
，
的最小值是 ，
、 ，
，
的最小值为 ．
3．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线 经过点 ，与 轴
另一交点为 ，顶点为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在； 的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法，点 的坐标代入二次函数表达式求解即可；
（2）如图，作点 关于 轴的对称点 ，则点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 的值最
小，等于 的值，先求出抛物线顶点 的坐标，将 ， 代入直线 的解析式 ，求解即可得
到直线 的解析式，进而求出点 的坐标，根据勾股定理得 ，计算即可得出
的最小值，；
（3）分情况讨论，①当点 在 轴上方时，由 ，得 ，过点 作
于点 ，设 ，则 ，根据勾股定理得 ，即
，求出 的值，再根据勾股定理得 即可得出点 的坐标，①
当点 在 轴下方时，纵坐标与点 在 轴上方时的纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可得出此时
点 的坐标，列出点 的所有坐标即可，．【详解】（1）解： 直线 与 轴 轴分别交于 两点，
当 时， ，
，
当 时， ，解得 ，
，
将点 的坐标代入二次函数表达式得 ，解得 ，
抛物线的解析式为： ．
（2）解：如图1，作点 关于 轴的对称点 ，则点 ，连接 交 轴于点 ，则此时
的值最小，等于 的值，
抛物线的解析式为： ，
抛物线顶点 坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 、 的坐标代入 得 ，解得 ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
故点 ，
则 的最小值为 ．（3）解：①当点 在 轴上方时， ，如图2，
， ，
，
，
过点 作 于点 ，设 ，
则 ，
抛物线解析式为 ，
令 ，则 或3，
， ，
由勾股定理得： ，
，解得 ，
则 ，
，
②当点 在 轴下方时， ，
则 ；
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的应用、等腰三角形的性质、点的对称性等，解题关
键是利用轴对称性质求几何最值，利用分类讨论思想及根据勾股定理列方程求出 的值．类型四、二次函数中的铅锤高
【解惑】综合与探究：如图1，已知抛物线 与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左
侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作 轴，垂足为D，交线段
于点E，过点P作 ，垂足为F．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)当 取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使 为等腰三角形，若存在，请直接写出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，
(3) ， ，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，等腰三角形性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分
类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键，是中考压轴题．
（1）分别令 ， ，即可求解；
（2）求出直线 的解析式为 ，然后设点 ，则点 ，可得
，再根据 ，可得 ，得到二次函数表达式求出最大值及坐标即可求解；
（3）设点 ，然后分三种情况讨论，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解∶抛物线 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：如图，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 ，则点 ，
∴ ，，
，
，
∵ 轴，
∴ ，
，
在 中，
，
∴当 时， 的值最大，最大值为 ，
此时点 ；
（3）解：存在，
由（2）得点E的横坐标为3，把 代入 ，
，
设点 ，
∵ ，
∴ ， ，
当 时， ，
即 ，
解得： ，
此时点 ；
当 时， ，
即 ，解得： ，
此时点 ；
当 时， ，
即 ，
解得： 或 （不合题意舍去），
此时点 ；
综上所述，点Q的坐标为 ， ， ．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，直线AB与 轴相交于点 ．
(1)求抛物线与直线的表达式；
(2)点 是抛物线在直线 下方部分的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴
交 于点 ，求 的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌
握二次函数的图象与性质是解此题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点 坐标为 ，则 点坐标为 ， 点坐标为 ，得到
， ，表示出 ，结合二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：将点 ， 分别代入 ，
得： ，
解得： ，
抛物线表达式为
将点 ， 分别代入 得： ，
解得：
直线的表达式为 ；
（2）解：设点 坐标为 ，
轴，
点 与点 的横坐标相同，即 点坐标为 ，
，
轴，
点 与点 的纵坐标相同，
，
，即 点坐标为 ，
，
，开口向下，
的最大值为 ．
2．如图，二次函数 的图象与x轴交于O(O 为原点)， 两点，已知二次函数图象经过
点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知y 轴上一点 ，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接 ， ， ．设点P的
横坐标为t， 的面积为S．
①求 直线表达式；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值，求
出三角形的面积表达式是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）①由 ，即可求解；
②过点P作 轴交 于点H，点 ，则点 ，由
，即可求解．
【详解】（1）∵二次函数 的图象与x轴交于O(O 为原点)， 两点，已知二次函数图
象经过点 ，
∴ ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）①设直线 的表达式为： ，
将点A的坐标代入上式得： ，
解得： ，
即直线 的表达式为： ，
②过点P作 轴交 于点H，∵点P的横坐标为t，则点 ，则点 ，
则 ，
即 ；
∵ ，
即S有最大值，此时， ，
则点P的坐标为： ．
3．如图1，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ， 为第四象限内抛物线上
一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ， 与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)设四边形 的面积为 ，求 的最大值．
(3)当 时，求直线 的函数表达式及点 的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)直线 的解析式为 ；点 的坐标为
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，二次函数与几何图形，解题的关键
是掌握相关的知识．（1）将 ， 代入 ，即可求解；
（2）连接 ，过点 作 于点 ， 为第四象限内抛物线上一点，设点 ，则
， ，根据 ，点 在 轴上，可得 ，最后根据
得 ，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）根据题意可推出 ，则 ，设 ，由 ，求出 ，再
由待定系数法求直线 的解析式，联立方程组可求出点 的坐标．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，得：
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
，抛物线的解析式为 ，
设点 ，为第四象限内抛物线上一点，
，
轴，点 在 上，
，
，
，点 在 轴上，
，
，
，
， ，
当 时， 有最大值， ；
（3）解：如图，
令 ，则 ，
，轴， 轴，
，
，
，
，
又 ，
，
，
设 ，则 ，
又 ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
联立，得 ，
解得： （不合题意，舍去）， ，点 的坐标为 ．
类型五、二次函数中的定值
【解惑】如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点， ，交y轴于点C，对称轴是直线
．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)连接 ，P是第一象限抛物线上的点，若 ，求点P的坐标；
(3)如图2，点 在对称轴上，过点K的直线（直线 除外）与抛物线分别交于点G，H，直线 ，
分别交x轴于点M，N．试探究 的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，是定值
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在 中 得到点 ， 即可求解；
（3）求出 同理可得， 即可求解.
【详解】（1）解：∵ 对称轴是直线
∴点 的坐标分别为：∴ ；
（2）解：由抛物线的表达式知，当 时， ，即点 ，
由点 的坐标得， ，
∴
延长 交 轴于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
在 中， ， ，
∵
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点 ，
设直线 的表达式为： ，
则 ，解得∴直线 的表达式为 ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： (舍去)或 ，
即点 ；
（3）解：是定值，理由：
由抛物线的表达式知，当 时， ，即点 ，
∵直线 过点 ，
∴设直线 的表达式为： ，
设点 的坐标分别为： 点
联立 和
并整理得：
则
由点 的坐标得，直线 的表达式为： ，
令 ，则 ，
即点 ，
则 ，
同理可得， ，
则 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【融会贯通】
1．已知：二次函数 （m是常数）
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）．
(2)若该二次函数图象与直线 交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为 ，
，求证： 是个定值．
(3)已知点 ， ，若该二次函数图象与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) 或
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）利用根与系数的关系即可判断；
（3）求得直线 的解析式为 ，即可得到抛物线的顶点在直线 上，分别求得抛物线过 、
点时的 的值，结合图象即可求得 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
抛物线顶点 坐标为 ．
（2）证明：由题意可知， ， 是方程 ，即 的两个
根，
， ，
．
是个定值．
（3）解：设 所在直线解析式为 ，将 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 解析式为 ．
抛物线顶点 坐标为 ，
抛物线的顶点在直线 上，
当 时，抛物线与线段 有1个交点，当 时，抛物线与线段 有2个交点，
将 代入 得 ，
解得 ， ，
时，抛物线与线段 有1个交点，
将 代入 得 ，
解得 ， ，
时，抛物线与线段 有1个交点，
综上所述，该二次函数图象与线段 只有一个交点， 的取值范围是 或 ．
2．已知抛物线 ： 的图像与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，点 为y轴
上一点．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且 ， 与x轴交于点D，求点E的横坐标；(3)点P是 上的一个动点，连接 ，取 的中点 ，设点 构成的曲线是 ，直线 与 ， 的
交点从左至右依次为 ， ， ， ，则 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 为定值，等于1
【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可；
（2）先证明 ，根据等腰三角形三线合一，得到 平分 ，结合 ，推出
，然后在 中利用勾股定理求出 的长度，得到 的坐标，下一步求出直线 的表达
式，联立直线 与抛物线，得到点 的坐标；
（3）设点 ，作 轴于M，作 轴于N，通过 是中位线表示出点 的坐标，然后将
点 代入抛物线 ，得到 的轨迹方程，将 的轨迹方程与 分别与 联立，利用未达定理，得到
， 的值，最后算出 的值．
【详解】（1）将点 ， 代入抛物线 ，
得到 ，解得
抛物线 的解析式为
（2） ， ，
，
又 ，平分
设 ，则
在 中，
，解得，
设直线 解析式为 ，代入点 ，则 ，解得
直线 解析式为
联立抛物线 与直线 ，
得 ， （舍），
点E的横坐标为 ；
（3） 为定值，理由如下：
设点 ，作 轴于M，作 轴于N，则 ，又 为 中点，
为 中位线
， 为 中点
，
，
将点 代入抛物线 ，
化简得，
设 ， ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，
则
由 得，
由 得，
定值．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，
韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像 与x 轴交于 ，两点，与y 轴交于点C ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ，线段 与 交于点 Q，设
的面积为 ， 的面积为 ，当 取最大值时，求点P的坐标；
(3)当 时， 二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将 ， 代入解析式，利用待定系数法求解；
（2）由 可得当点P与二次函数图象的顶点重合时， 取
最大值， 取最大值，由此可解；
（3）分 ， ， 三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否
为定值即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，得： ，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：由（1）知 ，
当 时， ，
，
，
， ，
；
，
二次函数图象的顶点坐标为 ；
，
当点P与二次函数图象的顶点重合时， 取最大值， 取最大值，
此时点P的坐标为 ；
（3）解：由（2）得 ，
二次函数图象的对称轴为直线 ，
当 时， ，y有最大值0，，y有最小值 ，
最大值与最小值的差为： ，不是定值，不合题意；
当 时， ，y有最小值 ，
，y有最大值0，
最大值与最小值的差为： ，是定值，符合题意；
当 时， ，y有最小值 ，
，y有最大值 ，
最大值与最小值的差为： ，不是定值，不合题意；
综上可知，当 时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度
较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
类型六、二次函数中的比值
【解惑】在平面直角坐标系中， ， ．
(1)若抛物线过 、 两点，且与 轴交于点 ，求此抛物线的顶点坐标；
(2)如图，小敏发现所有过 、 两点的抛物线如果与 轴负半轴交于点 ， 为抛物线的顶点，那么
与 的面积比不变，请你求出这个比值．【答案】(1)
(2)
【分析】考查的是二次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式，及三角形的面积，注意某个
图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差”关系求解．
（1）由于抛物线过 ， 两点，且与 轴交于点 ，可用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶
点坐标；
（2）先设出过 ， 两点抛物线的解析式，作 轴于 ，再分别求出 、 、 、 各点的坐标，
再根据图形求各三角形的面积，最后由三角形之间的和差关系 的面积进行计算；
【详解】（1）解：设过抛物线 ， 两点，且与 轴交于点 ，的抛物线解析式为 ，
把 ， ，点 代入
得 ，
解得 ，
故此抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：由题意，设 ，即 ，当 ， ，
而 ，
∴ ， ，
，
而 ，
，
作 轴于 ，
又 ，
∴ ．
【融会贯通】
1．抛物线 交x轴于A、B（A在B左侧），交y轴负半轴于C且 ．(1)直接写出抛物线解析式；
(2)如图1，若 过D作直线 交抛物线于M、N（M、N不与A、B重合且M在N左侧），直线 ，
交于P点，求 ；
(3)如图2，若抛物线顶点为D，直线 与抛物线交于E、F（E在F左侧），G为 中点，求
的比值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求得 三点坐标，代入解析式求解即可；
（2）设直线 为 ，联立直线和抛物线，得到 ，再根据根与系数的关系可
得 ， ，设直线 为 ，联立直线和抛物线可得 ，同理可得
，即可求得 ，联立 ， 可得 ，从而得到 ，即可求解；
（3）设 ， ，根据两点间的距离公式以及中点公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得 ， ，
将 ， ， 代入 可得
，解得即 ；
（2）∵直线 过定点
设直线 为 ，
联立 可得 ，
∴ ，
∵ ，设
联立 得
同理设 得
又∵ ，
∴
∴
联立 和 得
代入 得∴
（3）设 ，
∴
联立 可得
∴ ，
∴
∴
∵G是 的中点，
∴ 即
∴
∴
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，一元二次方程的求解，直
线与抛物线的综合，两点间距离公式等内容，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想进行求解，注
意计算．
2．如图①，抛物线 与抛物线 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物
线 和抛物线 与x轴有着相同的交点 、B（点B在点A右侧），抛物线 与y轴交点为G，抛物
线 与y轴交点为H．(1)求a的值．
(2)如图①，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，点F在x轴上，当点F的坐标为何值时，
是以 为底的等腰三角形？
(3)如图②点M是x轴下方抛物线 上的一个动点，过点M作 轴于点N，交抛物线 于点D，试探
究：在M点的运动过程中， 的比值是否为一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）将 代入 中，即可求函数的解析式；
（2）分别求出 ，设 ，由两点间距离公式求出 ，根据 列
方程，求出 的值即可；
（3）设 ，则 ， ，分别求出 ，再求比值即可；【详解】（1）把 代入 得，
解得，
（2）把 代入 ，得 ，
令 ，则 ，
∴
又抛物线 的对称轴为
∵点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，
∴ ；
对于 ，当 时， ，
∴ ,
设 ，
∴
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴
∴
∴
解得，
；（3）设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的
关键．
3．在平面直角坐标系中，已知顶点为 的抛物线 的解析式是 且经过点 ．
(1)求 的值；
(2)如图1，将抛物线 向下平移 个单位长度得到抛物线 ，过点 作直线 平行于
轴，与两抛物线从左到右分别相交于 、 、 、 四点，且 、 两点关于 轴对称．
①点 在抛物线 上，当点 的坐标为何值时，四边形 是平行四边形？
②如图2，若抛物线 的对称轴与抛物线 交于点 ，试探究：在 点的运动过程中， 的比值是否为
一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① 时，四边形 是平行四边形；②不变，【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）首先得出 ，进而得出顶点 在抛物线上 ，得出 ，进而得出
答案；
（3）利用函数对称性表示出 点坐标，再表示出 ， 的长，进而得出其比值．
【详解】（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ；
（2）解：①连接
∵ 、 两点关于 轴对称．
∴点 为 的中点.
四边形 是平行四边形，则必有点 是 的中点，则 ，
过点 作 轴于点 ，
在 和 中，
，
， ， ．点 ．
顶点 在抛物线 上，
，
解得 ，又 ，
在抛物线 中，令 ，
解得 ，又 ，且点 在点 的右侧，
，
当 时， ；
∴ 时，四边形 是平行四边形．
②不变．
，则 ．
点 ， 关于 轴对称，
，则
抛物线 向下平移 个单位得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ．
，
解得 ，
．
．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，利用二次函数对称性得出 点坐标是解题关键．
类型七、二次函数中的新定义
【解惑】定义：
在平面直角坐标系中，图象上任意一点 的纵坐标 与横坐标 的差即 的值称为点 的“坐标
差”；例如：点 的“坐标差”为 ，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的
“特征值”．
理解：
（1）求二次函数 的图象的“特征值”；
运用：
（2）若二次函数 的“特征值”为 ，点 与点 分别是此二次函数的图象与 轴，
轴的交点，且点 与点 的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；
拓展：
（3）如图，矩形 ，点 的坐标为 ，点 在 轴上，点 在 轴上，二次函数
的图象的顶点在“坐标差”为 的函数图象 上．
当二次函数 的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；
当二次函数 的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出 的取值范围．
参考公式： ．
【答案】（1）（2）
（3） 或 ；
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，矩形的性质等知
识点，数形结合并分类求解是解题的关键．
（1）写出 的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，即可求出其最大值，于是可得原二次
函数 的图象的“特征值”；
（2）由题意可得点 的坐标，根据点 和点 的“坐标差”相等，可得出点 的坐标，将点 、 的坐标
代入抛物线表达式可得 ，则 ；写出 的解析式，它是一个二次函数，将其改
写为顶点式，因其最大值等于 ，于是可得关于 的一元二次方程，解得 ，即可得出 ，于是可得出原二
次函数的解析式；
（3） 由“坐标差”为 可得一次函数解析式为 ，又因二次函数 的图象的顶点
在该一次函数上，因此可将该二次函数解析式写为 ，此时分两种情况；第一种情况：
当抛物线顶点为点 时，抛物线与矩形有三个交点，把 代入 ，求出 ，即可求
出此种情况下的二次函数解析式；第二种情况：当抛物线经过点 时，抛物线与矩形有三个交点，把
代入 ，求出 ，即可求出此种情况下的二次函数解析式； 当 时， ，
当 时， ，据此即可求解．
【详解】解：（1） ，
的“特征值”为 ；
（2）由题意得：点 的坐标为 ，
点 和点 的“坐标差”相等，点 的坐标为 ，
将点 、 的坐标代入抛物线表达式 得： ，
则 ，
的“特征值”为 ，
则 ，
解得： ，
，
此二次函数解析式为 ；
（3） “坐标差”为 的一次函数，
，
，
二次函数 的图象的顶点在该一次函数上，
设 为： ，
直线 与 交于点 ，
第一种情况：当抛物线顶点为点 时，抛物线与矩形有三个交点，
把 代入 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
此二次函数解析式为 ；
第二种情况：当抛物线经过点 时，抛物线与矩形有三个交点，把 代入 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
此二次函数解析式为 ；
当二次函数 的图象与矩形的边只有三个交点时，此二次函数的解析式为 或
；
当 时， ，当 时， ，
，
当 时，二次函数 的图象与矩形的边有四个交点．
【融会贯通】
1．定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， ，若点 满足 ， ，
那么称点T是点A，B的“伴A融合点”，例如： ， ，当点 满足 ，
时，则点 是点A，B的“伴A融合点”．
(1)已知点 ， ，点T是点A，B的“伴A融合点”，则点T的坐标为___________；
(2)已知点 ， ， ，请说明其中一个点是另两个点的伴哪个点的“融合点”？
(3)已知点 是直线 上在第一象限内的一动点， 是抛物线 上一动点，点 是
点Q，P的“伴Q融合点”，试求出T中y关于x的函数表达式（表达式中含a），并判断所有点 中
是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由；
(4) ， 为（3）中y关于x的函数表达式所对应的图像上两点，若点M，N之间的图象（包括点M，N）的最高点与最低点纵坐标的差为 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)点D是点C，E的“伴E融合点”，见详解
(3)存在， 的最高点的坐标为
(4)a的值为1或
【分析】本题主要考查新定义下的实数运算和函数的结合，
根据新定义进行实数运算即可求得答案；
根据新定义进行实数运算即可求得答案；
由题意得 ， ，则点 ，点 ．即可得 ，则
，根据二次函数的性质得抛物线开口向下，当 ，y有最大值1，
即可得 的最高点的坐标为 ；
由 得抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，最高点为 ．①当 时，即 时，结
合二次函数的性质得最高点为N，最低点为M，可得 ，化简得
，解得满足条件的a即可；②若 ，即 时，若 ，解得 ．当
时，最高点为 ，最低点为 ，则 不满足题意；③若 ，则
最高点为 ，最低点为 ，得 ，解得a即可．
【详解】（1）解：根据给定定义得， ， ，；
故答案为： ；
（2）解： ， ，
， ，
又 ，
点D是点C，E的“伴E融合点”；
（3）解：存在
是直线 上在第一象限内的一动点，
， ，
，
∵点 是抛物线 上一动点，
，
．
点 是点Q，P的“伴Q融合点”，
， ，
，
，
则
，
，
，
，
抛物线开口向下，当 ，y有最大值1．的最高点的坐标为 ；
（4）解： ， ， ．
抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，最高点为 ．
①当 时， ，即 时，
点M、N在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，
，
点M、N之间的图象的最高点为N，最低点为M．
，
化简得， ， ，
，
，
（舍）， ，
；
②若 ，即 时，若 ，则 ，
．
当 时，最高点为 ，最低点为 ．
．解得 ， ．都不符合题意，舍去；
③若 ，则最高点为 ，最低点为 ．
， ．
， （舍）．
．综上，a的值为1或 ．
2．我们定义【 ， ， 】为函数 的“特征数”．如：函数 的“特征数”是
【2， ，5】，函数 的“特征数”是【0，1，2】，函数 的“特征数”是【0， ，
0】．
(1)若一个函数的特征数是【1， ，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得
到一个图象对应的函数“特征数”是 ．
(2)将“特征数”是【0， ， 】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析
式是 ．
(3)当“特征数”是【1， ， 】的函数在直线 和直线 之间的部分（包括边界点）的
最高点的纵坐标为5时，求 的值．
(4)点 关于 轴的对称点为点 ，点 关于 轴的对称点为点 ．当若（3）中的抛物线
与四边形 的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出 的值．
（m为常数）
【答案】(1)【1，0， 】(2)
(3) 或
(4) 或1或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，平移变换和对称变换，解题的关键是分类讨论思想
的应用，有一定的难度．
（1）由函数的特征数是【1， ，1】，知函数为 ，将函数向左平移2个单位，再
向上平移1个单位得到 ，即可得到答案；
（2）由函数的“特征数”是【0， ， 】，得函数解析式为 ，将图象向上平移2个单位
得新函数解析式为 ；
（3）“特征数”是【1， ， 】的函数解析式为 ，抛物线
的顶点为 ，对称轴是直线 ，分四种情况：①当 ，即 时，抛物线的最高点
在 处取得，有 ，②当 ，即 时，抛物线的最高点在 处取
得，有 ，③当 ，即 时，抛物线的最高点在 取得，有
，④当 ，即 时，抛物线的最高点在 处取得，有
，分别解方程可得答案；（4）由抛物线的顶点坐标为 ，且 ，分四种情况：①当 ，即
时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；②当 ，即 时，抛物线与
矩形没有交点，不符合题意；③ ，即 时，有两种情况：抛物线与直线 有两个
交点，可得 ， ， ， ，故 ，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得
，故 ，④当 时，可得 ，故 ，解方程可得答
案．
【详解】（1）解： 函数的特征数是【1， ，1】，
函数为 ，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到 ，
函数 的“特征数”是【1，0， 】，
故答案为：【1，0， 】；
（2）解： 函数的“特征数”是【0， ， 】，
函数解析式为 ，
将函数 的图象向上平移2个单位得新函数解析式为 ，
故答案为： ；
（3）解：“特征数”是【1， ， 】的函数解析式为 ，
抛物线的顶点为 ，对称轴是直线 ，
由抛物线的性质可知，当 与 时， 相等且 ，
①当 ，即 时，抛物线的最高点在 处取得，，
解得 ，不符合题意，舍去；
②当 ，即 时，抛物线的最高点在 处取得，
，
解得 或 （舍去），
③当 ，即 时，抛物线的最高点在 取得，
，
解得 （舍去）或 （舍去），
④当 ，即 时，抛物线的最高点在 处取得，
，
解得 ，
综上所述， 的值为 或 ；
（4）由（3）知抛物线的顶点坐标为 ，且 ，
①当 ，即 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
②当 ，即 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
③ ，即 时，
需要分以下两种情况：
抛物线与直线 有两个交点，如图，两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
，
， ， ， ；
，
解得 ，
抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，
两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， 到 轴距离与 到 轴距离都
为2，
到 轴距离为1，即 ，
，
，
解得 （舍去）或 ；
④当 时，如图：两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
，
又 ，
，
，
，
解得 或 （舍去），
综上所述， 的取值为 或1或 ．
3．定义：对于一次函数 （k，m是常数， ）和二次函数 （a，b，c是常数，
），如果 ， ，那么一次函数 叫做二次函数 的牵引函数，二次函数
叫做一次函数 的原函数．
(1)若二次函数 （a是常数， 的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
(2)已知一次函数 是二次函数 的牵引函数，在二次函数 上存在两点 ， ．若 也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M
之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且
，求m的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）首先表示出二次函数 （a是常数，）的牵引函数，联立两函数解析式得到一
元二次方程，根据只有一个交点令 ，即可求出a的值；
（2）首先求出一次函数的原函数 ，得到 ， ，对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ．得到 ， ，当点M在点A的左侧，即 时，y随x的
增大而减小，得到 ，解得 ；设点A的对称点为 ，当点M在点A与点 之间时，
，不符合题意；当点M在点 的右侧，即 时．y随x的增大而增大， ，解得
．
【详解】（1）由题意，得二次函数 的牵引函数为 ，
联立 ，
得 ．
∵二次函数 （a是常数， ）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，∴
解得 或 ．
（2）由题意可知原函数的解析式为 ，
∴当 时， ；当 时， ．
， ，原函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
∴ ，
当 时， ，
∴ ．
①如答图①，当点M在点A的左侧，即 ， 时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴ ，
解得 或 （舍去）．
②如答图②，设点A的对称点为 ，当点M在点A与点 之间时， ，即 ，而 ，
不符合题意；
③如答图③，当点M在点 的右侧，即 ， 时．y随x的增大而增大，
∴M点的纵坐标最大， 点的纵坐标最小，
∴ ，
解得 （舍去）或 ．
综上所述， 或 ．【点睛】本题主要考查了新定义——牵引函数和原函数，熟练掌握新定义，待定系数法求函数解析式，二
次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性，是
解题的关键．
类型八、二次函数中的三大运动(平移、翻折、旋转)
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点 在第一象限内的抛物线上，连接 、 ，当四边形 的面积最大时，求出此时点
的坐标以及 的最大值；
(3)如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与 轴交于点
，连接 、 ，点 在新抛物线的对称轴上，满足： ，请直接写出点 的
坐标．【答案】(1)
(2) ，
(3) ，
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 为 ，直线 为 ，进而得 ，过点 作 轴交
于点 ，设 ，则 ，利用面积公式构造二次函数，利用二次函数
的性质求解即可；
（3）利用平移性质求得新函数为 ，对称轴为 ，进而求得 ，在 轴上取
，则 ，利用待定系数法求得直线 为 ，进而利用证明 ，
从而分当点 在 的下方和点 在 的上方时两种情况分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点 和点 代入二次函数 得，
，
解得 ，
∴二次函数为 ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，设直线 为 ，
把 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴直线 为 ，
∵ ，
∴设直线 为 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
∴
过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ，，
∴当 时， 的最大值为 ，
当 时， ，
∴ ， 的最大值为 ；
（3）解：∵ ，
∴抛物线 先向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到新抛物线，得
，即 ，
∴新函数 的对称轴为 ，
当 时， ，
∴ ，
在 轴上取 ，则 ，
设直线 为 ，
把 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴直线 为 ，
∵ 轴 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点 在 的下方时，令 交 于点 ，与 轴交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
设直线 为 ，
把 ， 代入 ，得，
，
解得 ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
∴ ，
当点 在 的上方时，
∵ ，
∴ ，
∵直线 为 ，
∴设直线 为 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
∴ ，
综上可得 ， ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数的平移，
全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握二次函数的性质，全等三角形的判定及性
质，线段垂直平分线的性质等是解题的关键．
【融会贯通】
1．已知二次函数 经过 两定点（点 在点 的左侧），顶点为 ．
(1)求定点 的坐标；
(2)把二次函数 的图象在直线 下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函
数位于直线 上方的部分的组合图象记作图象 ，求向上翻折部分的函数解析式；
(3)在（2）中，已知 的面积为8．
①当 时，求图象 中 的取值范围；
②若直线 与图象 从左到右依次交于 四点，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图像和性质，翻折的性质，掌握二次函数的图像
和性质是解题的关键．
（1）将原函数可化为 ，令 ，即可得到定点坐标；
（2）根据翻折的性质即可得到解析式；（3）①根据自变量的取值范围，结合图象求出最值即可；
②根据题意确定 图象与直线 交于点 ， 与直线 交于点 ，然
后表示出 ， ，根据题意列方程解题即可．
【详解】（1）原函数可化为 ，
可得该函数图象恒过两点 ， ，
故定点为 ．
（2）解：∵直线 就是x轴，
∴折叠即为沿x轴向上折叠，
∴解析式为 ；
（3）①∵
∴对称轴 ，代入 得
的面积为8，
．
∴图象 向上翻折部分的函数解析式为 ．
，顶点在 之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， ；当 时， 的最小值为0．
在图象 中， 的取值范围为 ．
②若直线 与图象 从左到右依次交于 四点，
∴ 图象与直线 交于点 ，可得 ，∴
∵ 与直线 交于点 ，
∴ ，则 ．
，
，即 ，
两边平方解得 ．
2．已知抛物线 与x轴分别交于 、 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点D是线段 上一个动点，过点D作 的垂线，交抛物线于点E，交直线 于点F，当线
段 长有最大值时，求点D的坐标；
(3)如图②，点M的坐标是 ，点P为抛物线的顶点，点Q是x轴上一个动点，把 沿直线 翻
折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点E作 ，交 于点M，可得 是等腰直角三角形， ，当 最大，则
最大，设 ，则 ，则当 最大，此时 ，进而即可求解；
（3）分当点Q在O的右侧时，和当点Q在O的左侧时，画出图形利用勾股定理列方程组求解即可
【详解】（1）解：把 、 代入 得：
，解得： ，
∴ ；
（2）解：过点E作 ，交 于点M，
令 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，当 最大，则 最大，
由题意得：直线 的解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，∴ 时， 最大，则 最大，此时 ，
∴直线 与x轴的交点坐标为： ，即 ，
∴直线 的解析式为： ，
∴
（3）解：∵ ，
∴ ，
当点Q在O的右侧时，
∵把 沿直线 翻折，使点P刚好落在x轴上，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得： （正值舍去）， ，
∴ ，
当点Q在O的左侧时，
设 ，
∵ ，∴ ，
解得： （负值舍去）， ，
∴
∴ 或
【点睛】本题考考查二次函数图像与性质，折叠的性质，根据题意画出图形，分类讨论是关键
3．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，点A、B为该抛物线上两点，点 的横坐标
为 ，点 的横坐标为 ．将抛物线上点 与点 之间的部分（包含A、B两点）记作图象G．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当直线 轴时，求 的值；
(3)已知矩形 ， 轴，图象 上的点都在矩形 的内部（包括边界），当矩形 的面
积的最小值为27时，求m的值；
(4)点 与点 关于抛物线 的对称轴对称，连接 ，点 为线段 的中点，将点 绕点
旋转 得到点 ，连接 、 ，当抛物线 的对称轴将 的面积分为1：5的两部分
时，直接写出 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，(4) ，
【分析】（1）直接利用待定系数法求解，再配方可得顶点坐标；
（2）由 轴，可得 关于抛物线的对称轴对称，再建立方程求解即可；
（3）如图，由题意可得： ，表示 ， ；结合题意可得：
重合， 重合，分情况讨论：①当 ，即 时，②当 时，如图，③当
时，如图，④当 时，如图，再建立方程求解即可；
（4）分情况讨论：①当 时，显然不成立．②当 时，如图，③当 时，如图，
④当 时，如图，⑤当 时，如图，显然不成立．再利用面积关系建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
．
∴顶点
（2）解：∵ 轴，
∴ 关于抛物线的对称轴对称；
∴ ，
解得 ．
（3）解：如图，由题意可得： ， ， ；
结合题意可得： 重合， 重合，
①当 ，即 时，∴ ，
解得： ．
②当 时，如图，
∴ ，
解得 （舍）， （舍）
③当 时，如图，∴ ，
解得 ， （舍）
④当 时，如图，
∴ ，解得 （舍）
综上： 或 ．
（4）解：①当 即 时，如图，显然不成立．②当 时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
∴ ，
同理可得：直线 为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵抛物线 的对称轴将 的面积分为1：5的两部分
∴ ，
解得： （舍去）， ， （舍去）
③当 时，如图，
同理可得： ，
，∴ ，
解得： （舍去，A，C重合）， （舍）， （舍）
④当 时，如图，
同理可得： ，
，
∴ ，
解得： （舍去）， （舍）， ，
⑤当 时，如图，显然不成立．综上： 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质，一次
函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【一览众山小】
1．抛物线 与y轴交于点 ，过点 作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分
沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形 ，点 ， 为图形 上两点，若
，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得 ， 是关于抛物线
对称轴对称的点，再分三种情况：若 ，即 和 在 轴右侧
（包括 在 轴上）；当 时，即 和 在 轴左侧（包括 在 轴上）；
当 ，即 在 轴左侧， 在 轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以
上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：在 中，令 ，得 ，
令 ， ，
∴ ， 是关于抛物线 对称轴对称的点，若 ，即 和 在 轴右侧（包括 在 轴上），则点 经过翻折得
，点 经过翻折得 ，如图：
由对称性可得： ，此时不满足 ；
当 时，即 和 在 轴左侧（包括 在 轴上），则点 即为
，点 即为 ，
∴ ，此时不满足 ；
当 ，即 在 轴左侧， 在 轴右侧时，如图：
此时 ， 翻折后得 ，满足 ，
由 得： ，
故选：D．
2．二次函数 的图像如图，对称轴为 ，若关于x的一元二次方程 （t为实数）在 的范围内有唯一一个实数解或两个相等的实数解，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【分析】利用对称轴为 可以求出b的值为 ，则二次函数的解析式为 ，一元二次方程程
（t为实数）在 的范围内有唯一一个实数解或两个相等的实数解可以理解为二次
函数 与 在 中有一个交点的时候对应的t的取值范围，利用数形结合思想即可求
解．
本题考查了抛物线与平行于x轴的直线的交点问题，将关于x的一元二次方程 （t为实数）
的解转化为函数图像的交点问题是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线 ，
，
即： ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
（t为实数）在 的范围内有唯一一个实数解或两个相等的实数解，可以理解为二
次函数 与 在 的范围内有且只有一个交点的情况，
当 时， ；当 时， ，如图所示：
①当 时，即 时， 与 有一个交点 ；
②当 时，即 时， 与 也只有一个交点．
∴t的取值范围是 或 ．
故选：D
3．定义： 为二次函数 的特征数，下面给出特征数为 的二次
函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是y轴；②当 时，函数图象过原点；③当 时，
函数有最小值；④如果 ，当 时，y随x的增大而减小．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解
题的关键．利用二次函数的性质根据特征数 ，以及 的取值，逐一代入函数关系式，判断
后即可确定正确的答案．
【详解】解：当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴函数解析式为 ，函数图象的对称轴是 轴，故①正确；当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴函数解析式为 ，
当 时， ，函数图象过原点，故②正确；
函数
当 时，函数 图象开口向上，有最小值，故③正确；
当 时，函数 图像开口向下，
对称轴为：
∴ 时， 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，正确的个数为3个，
故选：C．
4．如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段 在抛物线的对称轴上移动（点
C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之
间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
先将抛物线化为顶点式，可得该抛物线的对称轴是 ；然后求出抛物线与 轴、 轴的交点，即点 、点 、点 ；在y轴上取点 ，连接 ， ， ，证明四边形 是平行四边形；当E、C、F
三点共线时， 最小，求得直线 解析式：最后直线 经过对称轴 ，代入即可得到答案．
【详解】解： ，
∴对称轴为 ，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
在y轴上取点 ，连接 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
当E、C、F三点共线时， 最小，
设直线 解析式为 ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 最小时，C的坐标为 ．
故答案为： ．
5．曲线 ，如图所示，且曲线 是轴对称图形，其对称轴为 ．直线 交曲线
于 点，且 ．则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数交点问题等知识，熟练掌握相关知
识是解题关键．首先根据曲线 的对称轴为 ，可得 ，再求得点 坐标，进而可得 ，
然后计算 的值即可．
【详解】解：∵曲线 是轴对称图形，其对称轴为 ，
∴可有 ，
∴ ，将 代入直线 ，
可得 ，
∴ ，
将点 代入曲线 ，
可得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
6．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，与直线 交于点 ，
点C在y轴上，且坐标为 ，点D为直线 下方抛物线上的一点，连接 与 交于点E．点P是线
段 上的一动点，从点B出发向点O匀速运动，同时点Q从点O出发，以与P大小相同的速度沿x轴负
方向匀速运动，当点P到达点O时停止运动，此时点Q也随之停止运动，连接 ．
(1)求抛物线的函数解析式；(2)当 时，则 的面积为 ；
(3)当 时，求点D的坐标；
(4) 的最小值是 ．
【答案】(1)
(2)4
(3)
(4)
【分析】（1）将点B的坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）求出直线 的表达式，得到点E的坐标，即可求解；
（3）设点 ，由中点坐标公式得：点 ，即可求解；
（4）过点O作 ，使 ，连接 ，证明 ，则
，故当点B、Q、M共线时， 最小，即可求解．
【详解】（1）解：将 代入 得：
，解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：点 ，
∴点B到两坐标轴的距离相等，
∴点B在第二，四象限的角平分线上，
即 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵点C在y轴上，且坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
故答案为：4；
（3）解：设点 ，
∵ ，
∴点E为 的中点，
∵点C在y轴上，且坐标为 ，
∴点 ，
∵点E在 上，
∴ ，
解得： ，
∴点 ；
（4）解：过点O作 ，使 ，连接 ，则 ，∵点 ， ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点B、Q、M共线时， ，此时 最小，最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决
相关问题．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点
．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，过点 作
轴的平行线 交直线 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 面积的最大值为 ， ；
(3) 或 ．
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ） 可得 ，求出直线 的解析式为 ，又可得 ，进
而得 为等腰直角三角形，得到 ，设 ，则 ，可得
，得到当 时，即 ， 取最大值 ，此时
的面积最大，据此即可求解；
（ ）分点 在 上方和点 在 下方两种情况，画出图形解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把 、 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由 可得， ，
设直线 的解析式为 ，
把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
当 时，即 ， 取最大值 ，此时 的面积最大，
；
（3）解：存在．
当点 在 上方时，作点 关于 轴的对称点 ，过点 作 交抛物线于点 ，
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
同理可得直线 解析式为 ，
设直线 解析式为 ，将 代入得， ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 或 ，
∴ ；
当点 在 下方时， 作点 ，直线 与抛物线交于点 ，
∵ ， ，
同理可得直线 解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，
解得 或 ，
∴ ；
综上，点 的坐标为 或 ．8．已知抛物线 的图像与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线解析式；
(2)如图 ，点 为直线 上方抛物线上的一点，过点 作 轴交 于点 ，作 交 轴于点
，求 的最大值以及此时点 的坐标；
(3)如图 ，在（ ）问的条件下，将抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线，新抛物线对称
轴与 轴交于点 ，在新抛物线上是否存在点 ，连接 ， ， ，使 ，若存在，请
写出所有满足条件的点 的横坐标，并写出求解点 横坐标的一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为 ；
(2) 的最大值为 ，此时 ；
(3) 横坐标 或 ．
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）过 作 于点 ，过 作 于点 ，延长 交 轴于点 ，则四边形 是矩形，
故 ，再证明 ，得 ， 要有最大值，则需 最大，设直线
的解析式为 ，然后求出解析式，设 ，则 ，则得，从而求解；
（ ）由抛物线沿射线 方向平移 个单位，即抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位分析即
可或抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线， ，即抛物线向右平移 个单位，向
上平移 个单位．
【详解】（1）∵ 图象过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴该抛物线解析式为 ；
（2）如图，过 作 于点 ，过 作 于点 ，延长 交 轴于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由（ ）得： ，
当 时， ，
∴点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 要有最大值，则需 最大，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
则当 时， 有最大值 ，
∴ 的最大值为 ，
此时 ；
（3） 如图，由 ，
∵抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线，∴抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，此时 ，
∴平移后的解析式为 ，
∴ ，
同理直线 解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
同理求得直线 解析式为 ，
联立得 ，整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ；
如图，
∵抛物线沿射线 方向平移 个单位得到新抛物线， ，
∴抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，∴平移后的解析式为 ，
∴ ，
同理直线 解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
同理求得直线 解析式为 ，
联立得 ，整理得： ，
解得： （负值舍去），
∴ ；
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移，矩形的判定与性质，一次函数的图象与性质，
一元二次方程的根与系数之间的关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
