文档内容
考点 30 平面向量的概念及线性运算（3 种核心题型+基础保
分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【知识点】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ．
(2)零向量：长度为 的向量，记作 ．
(3)单位向量：长度等于 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任
意向量 ．
(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝ ；
加法
结合律：(a＋b)＋c＝________
减法 a－b＝a＋(－b)
|λa|＝ ，当λ>0时，λa的方
λ(μa)＝ ；
向与a的方向 ；
数乘 (λ＋μ)a＝ ；
当λ<0时，λa的方向与 a的方向
λ(a＋b)＝
；当λ＝0时，λa＝
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接
而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB
＋AC)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【核心题型】
题型一 平面向量的基本概念
平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
【例题1】（2024·湖南永州·三模）在 中， ， ， ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·北京大兴·三模）设 ， 是非零向量，“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量 ，与 共线且方向相反的单位向量
.【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
.
题型二 平面向量的线性运算
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
命题点1 向量加、减法的几何意义
【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段 是圆 的一条长为2的弦，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在 中， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形 边长为2， 是正六边形
的外接圆的一条动弦， ，P为正六边形 边上的动点，则
的最小值为 .
【变式3】（2023·上海金山·二模）已知 、 、 、 都是平面向量，且
，若 ，则 的最小值为 ．
命题点2 向量的线性运算
【例题3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形 中，已知 ，且
，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）A． B．0 C． D．
【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知 为等边 的中心，若 ，则
．（用 表示）
【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量 满足
与 的夹角为 ，则实数 .
【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若
，且 的面积为 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的最小值.
命题点3 根据向量线性运算求参数
【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量 ， 满足 ，则正数 （ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2】（2024·上海·三模）设平面向量 ， ，若 ， 不能组成
平面上的一个基底，则 ．
【变式3】（2023·四川南充·一模）在 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已
知向量 ， ，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
题型三 共线定理及其应用
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
【例题5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点 ， ， 满足 ，且
，点 满足 ，动点 满足 ，则 的
最小值为（ ）A． B． C．1 D．1或
【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且
， ， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【变式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形 的边长为2，点 满足
，且 ， ， ，则 的取值范围是 .
【变式3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的
直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ，则“ ”是“存在 ，使得”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC中，已知 ，M为线段AB的中点， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 ， ， ， ，则与向
量 同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山西朔州·一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
二、多选题
5．（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，
满足 ，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量 满足 且 ，则（ ）
A． 的最小值为2
B． 的最大值为5
C． 的最小值为2
D． 的最大值为
三、填空题
7．（2023·重庆·一模）在 中， ，点Q满足 ，则
的最大值为 .
8．（2023·云南大理·模拟预测）若 ， ， ，则 在 上投影向量的
模为 ．
9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形 满足 ，
，则该四边形一定是 .
四、解答题
10．（2024·山西朔州·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．11．（2024·四川·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·四川南充·一模）已知正方形 的边长为1，则 （ ）
A．0 B． C． D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 共
线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，
且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
5．（2023·四川南充·一模）已知正方形 的边长为1，则 （ ）
A．0 B． C．2 D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量 ， ，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·全国·阶段练习）设平面向量 ， ，且 ，则
=（ ）
A．1 B．14 C． D．
8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量 、 满足： ， ， .定义该平面
上的向量集合 .给出如下两个结论：
①对任意 ，存在该平面的向量 ，满足
②对任意 ，存在该平面向量 ，满足
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①正确，②正确 D．①错误，②错误
二、多选题
9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21
B．若等差数列 满足 、 、 、 ，则C．非零平面向量 、 、 满足 ， ，则
D．在 中，“ ”与“ ”互为充要条件
10．（2024·全国·模拟预测）设 是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三
个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 ，弦AC、BD均过点P，
则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
三、填空题
12．（2024·天津·一模）已知平行四边形 的面积为 ， ，且 .
若F为线段 上的动点，且 ，则实数 的值为 ； 的最
小值为 .
13．（2023·河南·模拟预测）已知向量 ， ， ，若
，则 ．14．（2024·青海西宁·二模）若向量 不共线，且 ，则 的值为 ．
四、解答题
15．（2024·吉林延边·一模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且 ，求 ．
16．（2024·浙江温州·模拟预测） 的角 对应边是 a，b，c ，三角形的重心是
O.已知 .
(1)求 a 的长.
(2)求 的面积.
17．（2023·湖南·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 的面积为
.
(1)求 的大小.
(2)点 满足 .若 ，求 .18．（2023·四川成都·三模）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求c的值．
19．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点W为 ： 和 的公共点，
， 与直线 相切，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若 ，直线 与C交于点A，B，直线 与C交于点 ，
，点A， 在第一象限，记直线 与 的交点为G，直线 与 的交点为H，线
段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若 ，过点H作 的平行线，分别交线段 ， 于点 ， ，求四边形
面积的最大值．
【拓展冲刺练】
一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形 中， 且满足 ，E为 中
点，F为线段 上靠近点B的三等分点，设 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·北京西城·二模）已知向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·二模）点 是 所在平面内两个不同的点，满足 ，
则直线 经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是
上一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
5．（2024·福建厦门·三模）已知等边 的边长为4，点D，E满足 ， ，
与CD交于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形 ，点 是 内部（包
括边界）的动点， ， ， .（ ）A． B．存在点 ，使
C．若 ，则点 的轨迹长度为2 D． 的最小值为
三、填空题
7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽
为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形
的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的
三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且 ，点 在 上，
，点 在 内 (含边界)一点，若 ，则 的最大值为 .
8．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点 在椭圆 上， 不在坐标轴上， ，
， ， ，直线 与 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，设
， ，则 的值为 ．
9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形 边长为 ， 是正方形 的外接圆
的一条动弦， ， 为正方形 边上的动点，则 的最大值为 .四、解答题
10．（2023·江西·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
为 边的中点， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 周长的最小值．
11．（2023·河北·模拟预测）如图，D为 内部一点， 于E， .请从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.① ；②
；③ .
