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解答题：三角函数、三角恒等变换与解三
角形
题型一：三角恒等变换与三角函数
（24-25高三上·河南·月考）已知向量
，函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)若函数 在区间 上恰有两个零点，求实数 的取值
范围.
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公
式比较多。1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S )；cos 2α＝cos2α－sin2α＝
2α
2cos2α－1＝1－2sin2α (C )
2α
（2）降幂公式：cos2α＝ ，sin2α＝ ，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝ sin(α＋φ)，其中tan φ＝ .
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与
三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想
转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
1．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，已知函数
的图象过点 和
，且满足 .
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求函数 值域.2．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求不等式 的解集；
(3)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求 的取值范围.
① 在 有恰有两个极值点；
② 在 单调递减；
③ 在 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解
答，按第一个解答计分.
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
（24-25高三上·福建南平·期中）在锐角 中，角 所对的边分
别为 .已知
(1)求 ；
(2)当 ，且 时，求 .利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解
题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变
换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要
注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大
角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的
边、角或判断出三角形的形状等。
1．（24-25高三上·江苏苏州·月考）记 的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 .2．（24-25高三上·上海·期中）在 中，角 、 、 所对的边分别
为 、 、 ，已知 ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，求 的周长．
题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
（24-25高三上·全国·专题练习） 的内角 ， ， 的对边分别为
， ， ，已知 ．
(1)求 的大小；
(2)若 面积为 ，外接圆面积为 ，求 周长.利用正弦定理： 可求解三角形外接圆的半
径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将 用含角的式子表示，再通过
三角函数的范围来求半径的范围。
1．（24-25高三上·海南·月考）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，
且 ， ， 为钝角， .
(1)求 ；
(2)若 ，求△BCD的面积．
2．（23-24高三下·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点 ， ，
， 构成的四边形 中， ， ， ， .(1)求 面积的取值范围；
(2)若四边形 存在外接圆，求外接圆面积.
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
（24-25高三上·四川绵阳·月考）在锐角 中，角A，B，C所对的边
分别为a，b，c， .
(1)求证： ；
(2) ，求 的取值范围.
利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先
运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等
变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性
或基本不等来处理。1．（24-25高三上·山西·月考）在 中，角 的对边分别是
，且 ．
(1)证明： ．
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
2．（24-25高三上·贵州遵义·月考）记 的内角 ， ， 对应的三
边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长的取值范围.
题型五：解三角形中面积的最值范围
（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知 中，角 的对边分别为
，满足
．
(1)求角 ．(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
1、常用三角形的面积公式：
（1） ；
（2） ；
（3） （ 为三角形内切圆半径）；
（ 4 ） ， 即 海 伦 公 式 ， 其 中
为三角形的半周长。
2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解
三角形面积用所设变量表示出来，再利用正余弦定理列出方程求解。注
意函数思想的应用。
1．（24-25高三上·江西·期中）已知 中，角 所对的边分别
为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.2．（24-25高三上·河南·月考）在 中，内角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C的值；
(2)若 内有一点P，满足 ， ，求
面积的最小值．
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知 内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且 ．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分线， ，求线段BD的长．
1、解三角形角平分线的应用如图，在 中， 平分 ，角 、 ， 所对的边分别问 ，
，
（1）利用角度的倍数关系：
（2）内角平分线定理： 为 的内角 的平分线，则 .
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对
应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及
到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
（3）等面积法：因为 ，所以
，
所以 ，整理的： （角平分线长
公式）
2、解三角形中线的应用
（1）中线长定理：在 中， 是边 上的中线，则
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
（2）向量法：
【点睛】适用于已知中线求面积（已知 的值也适
用）.
3、解三角形垂线的应用
（ 1 ） 分 别 为 边 上 的 高 ， 则（2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边
长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角
形的面积相关。
1．（24-25高三上·福建福州·月考） 的内角 所对的边分别
为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若D为 中点， ， ，求 的周长．
2．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知 的三个内角 所对
的边分别是 ．已知
(1)求角 ；
(2)若点 在边 上， ，请在下列两个条件中任选一个，求
边长 ．
① 为 的角平分线；② 为 的中线．1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）记锐角 的内角 的对边
分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)延长 到 ，使 ，求 ．
2．（24-25高三上·上海·期中）设 的内角A，B，C的对边分别为
， 且B为钝角.
(1)若 , ，求 的面积；
(2)求 的取值范围.
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在 中，a，b，c分别是内角
A，B，C的对边，且 .(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
4．（24-25高三上·辽宁大连·月考）在 中，角 、 、 的对边分
别为 、 、 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值．
5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在 中，已知
.
(1)若 为锐角三角形，求角 的值，并求 的取值范围;
(2)若 ，线段 的中垂线交边 于点 ，且 ，求A的
值.6．（24-25高三上·天津·月考）在 中，角 对应边分别为
，外接圆半径为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)求角 和边 ；
(3)若 ，求 .
1．（2024·上海·高考真题）已知 ，
(1)设 ，求解: 的值域;
(2) 的最小正周期为 ，若在 上恰有3个零点，
求 的取值范围.
2．（2024·广东江苏·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为
a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．3．（2024·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知 ．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
4．（2024·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为
，已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
5．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为， 为钝角， ， ．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合
要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023·北京·高考真题）设函数
．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求
的值．
条件①： ；
条件②： ；条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合
要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
