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解答题：函数与导数的综合应用
题型一：利用导数研究函数的单调性
（24-25高三上·海南·期中）设函数 .
(1)求曲线 在点 切线方程；
(2)求函数 的单调区间;
1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的
和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 （通分合并、因式分解）；
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。
1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 在 处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数 的单调区间.
2．（24-25高三上·江苏常州·月考）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间．
题型二：利用导数研究函数的极值
（24-25高三上·黑龙江·月考）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线;
(2)当 时，若 的极小值小于0，求 的取值范围
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；②如果由负变正，则 是极小值；③如果在
的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0根据函数的极值(点)求参数的两个要领：
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
1．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数 为 上的奇函数．
(1)求 ；
(2)若函数 ，讨论 的极值．
2．（24-25高三上·河南安阳·月考）已知函数 ．
(1)求 的定义域；
(2)若 存在极大值，求 的取值范围
题型三：利用导数研究函数的最值
（24-25高三上·江西·月考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的最值．
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 （ ）在 处取得极小值.
(1)求a的值，并求函数 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值.
2．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知函数 ．
(1)若函数 在 上的最小值为 ，求 的值；
(2)若 ，函数 ，求 的最小值．
题型四：利用导数解决恒成立与能成立
（24-25高三上·河北衡水·月考）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在 上恒成立，求最小的整数a．
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对于 恒成立，求 的最大值.
2．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）已知函数 .
(1)当 时，求 在区间 上的值域；
(2)若存在 ，当 时， ，求 的取值范围.
题型五：利用导数求解函数的零点
（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数 ，e为自然对数的底数，函数
.
(1)若 在 处的切线也是 的切线，求实数a的值；
(2)求 在 上的零点个数.
导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探
索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值
的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分
类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考
的地方。1．（24-25高三上·云南玉溪·月考）已知函数
(1)证明： 在区间 存在唯一极大值点；
(2)求 的零点个数．
2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)证明：存在实数 使得曲线 关于点 成中心对称图形；
(3)讨论函数 零点的个数.
题型六：利用导数证明不等式
（24-25高三上·广东·月考）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： ．
利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证：
2．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数 .
(1)已知直线 是曲线 的切线，求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)求证： 恒成立.
题型七：利用导数研究双变量问题
（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间;
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知 为函数 的极小值点.(1)求 的值；
(2)设函数 ，若对 ， ，使得 ，求 的取值范围.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知实数 ，设 .
(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，已知函数 ， 的值域为 ，求实数 的取值范围；
(3)若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
题型八：利用导数研究极值点偏移问题
（24-25高三上·云南·月考）已知函数 .
(1)若 为增函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ，证明： .
1、和型 （或 ）问题的基本步骤：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，
得 与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；2、积型 问题的基本步骤：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
1．（23-24高三上·天津·月考）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若函数 有两个极值点 ，求证： .
2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数 ，
(1)证明： 有两个零点；
(2)记 是 的导数， 为 的两个零点，证明： ．
题型九：隐零点问题综合应用
（23-24高三下·湖南衡阳·一模）已知函数
(1)若 在 处的切线方程为 ，求 、 的值；
(2)若 时，在 上 恒成立，求 的取值范围；隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的
区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的
替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
1．（24-25高三上·浙江杭州·月考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： ．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 （其中 ）
(1)当 时，证明：
(2)若 时， ，求实数 的取值范围；
(3)记函数 的最小值为 ，求证：
题型十：导数与数列综合问题
（23-24高三下·河北·三模）已知函数 ．
(1)若 在 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： ．导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变
量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不
等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
1．（23-24高三下·四川雅安·一模）已知函数 ．
(1)若 有2个相异极值点，求a的取值范围；
(2)若 ，求a的值；
(3)设m为正整数，若 ， ，求m的最小值．
2．（24-25高三上·上海·月考）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)①当 时， 恒成立，求正整数 的最大值；
②证明：
1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，讨论 的单调性；(2)当 时，设 ，若 既有极大值又有极小值，求 的取值范围．
2．（24-25高三上·山东·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)当 时， ，求 的取值范围.
3．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数
的图象经过点 ， ，如图所示.求：
(1) 的值；
(2) ， ， 的值；
(3)函数 在区间 上的最大值和最小值.
4．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数 ， .
(1)求 的极值；
(2)已知实数 ，若存在正实数x使不等式 成立，求a的取值范围；
(3)已知不等式 对满足 的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围.5．（23-24高三下·广东佛山·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若存 、 在，满足 ，证明： ；
(3)对任意的 ， 恒成立，其中 是函数 的导数，求 的取值范围．
6．（23-24高三下·浙江杭州·一模）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间;
(2)若 ，求证: ;
(3)若 使得 ，求证: .
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
2．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
4．（2024·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
(3)若 ，求证： ．
5．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
6．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
