文档内容
专题 16 平面向量及其应用（六大题型+模拟精练）
目录：
01 平面向量的有关概念
02 平面向量的线性运算
03 平面向量的数量积
04 平面向量的基本定理与坐标表示
05 平面向量的综合应用
06 三角形的“心”的向量表示
01 平面向量的有关概念
1．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量 与 的长度相等
2．若向量 与 为非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．
C．若非零向量 ，则 与 的方向相同
D．若 ，则3．与向量 平行的所有单位向量为（ ）
A． B．
C． D． 或
4．已知两个单位向量 ， 的夹角是 ，则 .
02 平面向量的线性运算
5．在 中， 是 的中点， 在 上，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，在 中， 为BC边上的三等分点，若 ， ， 为AD中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形 中，E、F分别是 边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．C． D．
8．在 中， 为 中点，连接 ，设 为 中点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示， （ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量 不共线，则向量 与 共线时，实数 （ ）
A． B． C． D．
11．已知 是边长为1的正 的边 上靠近C的四等分点， 为 的中点，则 的值是（
）
A． B． C． D．
12．在 中， 且 ，则错误的选项为（ ）
A． B．
C． D．03 平面向量的数量积
13．在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点， ，则 ．
14．在 中， ，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设 ，则 的
最小值是 .
15．已知向量 满足 ， ，则 （ ）
A．－2 B． C． D．6
16．已知平面向量 ， 均为单位向量，若 ，则向量 ， 的夹角 （ ）
A． B． C． D．
17．若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 .
18．已知 是单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
19．已知向量 ， ， ，若 与 的夹角为 ，且 ⊥
，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
20．在矩形 中， ， ，E为 的中点，F为 的中点，Q为边 上的动点（包括端
点），则 的取值范围为 ．
21．已知 是圆O： 的直径，M，N是圆O上两点，且 ，则 的最
小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．22．在平行四边形 中， ，点 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则
的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
04 平面向量的基本定理与坐标表示
23．设 、 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A． 和 B． 与
C． 与 D． 与
24．在 中，内角A，B，C所对的边分别为 ， ， .向量 ，若 ，
则角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
25．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，在 中， ， ， ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．6
26．已知向量 ，若 不超过 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在等腰梯形 中， ，则 .
28．如图，点 是 的重心，点 是边 上一点，且 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
29．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若 ，则 的最
大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
30．如图，四边形 是边长为1的正方形，延长CD至E，使得 ．动点P从点A出发，沿正
方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， ，则 的取值范围为 ．
31．已知菱形 边长为1，且 为线段 的中点，若 在线段 上，且
，则 ，点 为线段 上的动点，过点 作 的平行线交边 于点 ，
过点 做 的垂线交边 于点 ，则 的最小值为 .
05 平面向量的综合应用
32．在 中， ， ，则 的形状为（ ）A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
33．已知圆锥 的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任
意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
34．已知圆 的半径为1，过圆 外一点 作一条切线与圆 相切于点 ， ， 为圆 上一个动点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
35．如图所示，O点在 内部， 分别是 边的中点，且有 ，则 的
面积与 的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
06 三角形的“心”的向量表示
36．已知在 中， 为 的垂心， 是 所在平面内一点，且 ，则以下正确的
是 （ ）
A．点 为 的内心 B．点 为 的外心
C． D． 为等边三角形
37．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足 ，
其中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心38．在 中，角 所对的边分别为 ，点 分别为 所在平面内一点，且有
， ，
， ，则点 分别为 的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
39．点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ， 分别是边AC，AB的对
角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件的P点集合中.
其中正确命题的个数为 .
一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．（2024·重庆·三模）已知 ，向量 为单位向量， ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
， ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且
，则 （ ）
A． B． C． D．1
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2024·四川成都·三模）已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与
端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边
上有10个不同的点 ， ，…， ，记 ，则 （ ）A．18 B．180 C． D．
8．（2024·广东广州·三模）设向量 ， ，当 ，且 时，则记作 ；当
，且 时，则记作 ，有下面四个结论：
①若 ， ，则 ；
②若 且 ，则 ；
③若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
④若 ，则对于任意向量 ，都有 ；
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
二、多选题
9．（2020·山东泰安·模拟预测）已知向量 ，其中 均为正数，且
，下列说法正确的是（ ）
A． 与 的夹角为钝角
B．向量 在 方向上的投影为
C．
D． 的最大值为2
10．（2024·辽宁·二模） 的重心为点 ，点O，P是 所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A． 三点共线 B．
C． D．点 在 的内部
11．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与 轴、 轴相切于 、 两点.设量角器直
径 ，圆心为 ，点 为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
A． 点坐标为 B．
C． D．若 最小，则
三、填空题
12．（2024·江西·二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
．
13．（2024·湖南长沙·三模）在 ，已知 ， .则 .
14．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知 中，角 所对的边分别为 ， ， ，
，若 ，则 的最小值为 ．
四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称 为向量 和
的内积，当 ，称向量 和 正交．设 为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．
(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜测 的值，
并给出一个实例．
