文档内容
考向 23 平面向量的概念及线
性运算
1．（2021·全国高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
2．（2020·天津高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为_________．
【答案】【分析】
可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点 为坐标原点， 所在直线为 轴
建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ），得出 关于 的函数表达
式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值.
【详解】
， ， ，
，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ），
， ，，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
1.解决向量的概念问题应关注以下七点：
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(6)非零向量a与 的关系： 是a方向上的单位向量．
(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小
2.平面向量线性运算问题的求解策略：
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，
三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等
变形手段在线性运算中同样适用．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果..
1.平面向量的相关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 或
既有大小又有方向的量叫做向
；
向量 量；向量的大小叫做向量的长 平面向量是自由向量
度(或模)
模 或
长度等于0的向量，方向是任
零向量 记作 零向量的方向是任意的
意的
非零向量 的单位向量是
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用 表示
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与 共线可
与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量 记为
两向量只有相等或不等，
相等向量 长度相等且方向相同的向量
不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：
a＋b＝b＋a；
求两个向量和的
加法 结合律：
运算
(a＋b)＋c＝a＋(b＋
c)
求a与b的相反
减法 向量－b的和的运 a－b＝a＋(－b)
算
λ(μ a)＝
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0
(λμ)a；
求实数λ与向量 时，λa与a的方向相同；当
数乘 (λ＋μ)a＝λa＋
a的积的运算 λ<0时，λa与a的方向相
μa；
反；当λ＝0时，λa＝0
λ(a＋b)＝λa＋λb
【知识拓展】共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得 .
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
1．（2021·浙江高三其他模拟）已知 为单位向量，向量 满足 ，则 的最大值为（
）
A． B．2 C． D．3
2．（2021·全国高三其他模拟（文））菱形 中 ，点 为 中点，则
（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若 为平面向量， ，则
B．若 为平面向量， ，则
C．若 ， ，则 在 方向上的投影为
D．在 中，M是AB的中点， ＝3 ，BN与CM交于点P， ＝ + ，则λ＝2μ4．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（文））如图所示的平行四边形ABCD中，
为DC的中点，则 ____________.
1．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（文））如果平面向量 ， ，那么下列结论中
不正确的是（ ）
A．
B．
C． ， 的夹角为180°
D．向量 在 方向上的投影为
2．（2021·大庆教师发展学院高三二模（文））已知向量 ，则x的值为（
）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高三其他模拟（理））点 为 的重心，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三其他模拟）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金
分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为 ．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的
早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，
AE⊥BD，CG⊥BD， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量 ， 满足 ， ，若 与 共线，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．22
6．（2021·安徽高三其他模拟（文））在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2021·密山市第一中学高一其他模拟）（多选题）在 中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ，则 的形状为直角三角形
C． 内一点G满足 ，则G是 的重心D．若 ，则点P必为 的外心
8．（2021·普宁市华侨中学高三二模）（多选题）如图，已知点 是平行四边形 的边 的中点，
为边 上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，
其中数列 是首项为 的正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
9．（2021·上海交大附中高三其他模拟）设向量 ， 是与 方向相反的单位向量，则 的坐标为
__________.
10．（2021·浙江镇海中学高三其他模拟）已知平面向量 ， ， ，满足 ， ，且
，则 的取值范围是___________．
11．（2021·上海民办南模中学高三三模）已知正六边形 ， ､ 分别是对角线 ､ 上的点，
使得 ，当 ___________时， ､ ､ 三点共线.12．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）平面几何中，角分线分对边成比例定理是这样的：在 中，
角C的平分线交对边于点D，则 ，如图， ， ， ， ，
则 面积的最大值为___________.
1．（2012·全国高考真题（文）） 中， 边的高为 ，若 ， ， ， ，
，则 （ )
A． B． C． D．
2．（2020·海南高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·全国高考真题（文））在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
4．（2017·全国高考真题（文））设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．C． ∥ D．
5．（2017·北京高考真题（文））设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”
的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2014·福建高考真题（文））设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面
内任意一点，则 等于
A． B． C． D．
7．（2016·全国高考真题（文））已知向量 ，且 ，则 ___________.
8．（2015·全国高考真题（理））设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________．
9．（2016·上海高考真题（理））如图，在平面直角坐标系 中，O为正八边形 的中心，
.任取不同的两点 ，点P满足 ，则点P落在第一象限的概率是
_____________.
10．（2019·浙江高考真题）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时，
的最小值是________；最大值是_______.1．【答案】B
【分析】
由 得 ，说明 的终点的轨迹是以 的终点为圆心， 为半径的圆，
的最大值是圆心与 的终点之间的距离加上半径，即为 ，再将其化成 ， 的模和
夹角可解得．
【详解】
解：由 得 ，说明 的终点的轨迹是以 的终点为圆心， 为半径的圆，
的最大值是圆心与 的终点之间的距离加上半径，即为 ，
，（当且仅当 时取等号）．
故选： ．
【点睛】
本题考查平面向量数量积及向量模的计算，解答的关键是根据式子的几何意义转化计算；
2．【答案】B
【分析】由线性运算以及数量积的运算性质得 ，再根据菱形的几何关
系， ，则 为等边三角形，所以 ，代入数量积公式即可得解.
【详解】
因为菱形 中 ，所以 ，
因为点 为 中点，
则 ，
故选：B.
3．【答案】CD
【分析】
利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.
【详解】
A，若 ，则 与任意向量共线，所以 与 不一定平行，故A错误；
B，若 ，则 ， ，当 共面时， ，
若 不共面时， 与 不平行，故B错误；
C，若 ，则 ，所以 ，
在 方向上的投影为 ，故C正确；
D， ，设 ,
则
，
设 ，则 ，即 ，①，设 ，
，
，即 ，②
由①②可得 ， ，即 ，故D正确.
故选：CD
4．【答案】
【分析】
先用 的线性组合表示出 ，然后根据向量的数量积运算结合向量模长以及夹角求解出
的值.
【详解】
因为 为 中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
1．【答案】D
【分析】
直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结
论．
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；对于B，因为 ，故 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 与 的夹角为180°，故C正确；
对于D， 在 方向上的投影为： ， ，故D错误.
故选：D.
2．【答案】B
【分析】
根据向量的垂直关系写出等式，再化简 计算求解参数的值.
【详解】
，即，
计算得： ，所以选项B正确，选项ACD错误.
故选：B.
3．【答案】A
【分析】
根据向量加减的计算方法和重心的性质即可得到答案.
【详解】
解：由题意可知 ，故 .
故选：A.
4．【答案】D
【分析】由黄金分割比可得 ，结合矩形的特征可用 表示出 ，再利用向量加减法法则及数乘向
量运算法则即可作答.
【详解】
在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点， ，
因 ，由黄金分割比可得 ，
于是得 ，即有 ，
同理有 ，而 ，即 ，
从而有 ，
所以 .
故选：D
5．【答案】A
【分析】
先根据向量共线求解出 的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解出
的大小.
【详解】
因为 与 共线，所以 ， .
又 ， ，所以
.故选：A.
6．【答案】C
【分析】
根据向量的线性运算算出答案即可.
【详解】
因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：C
7．【答案】BC
【分析】
对于A，由 可得角 为锐角，从而可判断，对于B，对 两边平方化简，再结合
余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角形
垂心概念可判断
【详解】
解：对于A，由 ，得 ，所以 ，所以角 为锐角，但不能判断三角形为
锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ,得 ，因为 ，所以 ，所以三角形为直角三
角形，所以B正确，
对于C，因为 ，所以 ，所以 （ 为 的中点），所以
三点共线，所以点 在 边的中线 上，同理，可得点 在其它两边的中线上，所以G是
的重心，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ， ,所以 ，所以点 在边 的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点 为 的垂心，所以D错误，
故选：BC
8．【答案】AB
【分析】
由平面向量线性运算和向量共线可得到 ，由此可确定递推关系式，得到
，由此确定B正确；利用等比数列通项公式求得 ，进而得到 ，可确定AC正误；
利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得 ，知D错误.
【详解】
为 中点， ，即 ，
三点共线， ，
又 ， ，
化简得： ， ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，B正确；
， ，C错误；
则 ，A正确；
，D错误.
故选：AB.
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线
的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解.9．【答案】
【分析】
根据相反向量、向量模的概念，求得 相反向量的坐标及模长，即可求 的坐标.
【详解】
由 相反向量为 且模长为 ，
∴ .
故答案为：
10．【答案】
【分析】
由已知条件可得 ，两边平方后可求出 ，由 从而可求
出 的取值范围.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，因为 ，
则 ，
所以 取值范围是 .
故答案为:
【点睛】关键点睛:
本题的关键是由 求出 的取值范围.
11．【答案】
【分析】
连结AD，交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出 ，然后根据
，表示成 ，由共线定理求得参数r的值.
【详解】
连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知， ， ，G点为EC的
中点，且 ，
则 ，
又 ，（ ），则 ， ，
故 ，即
若B、M、N三点共线，由共线定理知，
，解得 或 （舍）故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键在于用向量 表示 ，从而根据 ，把向量表示成
，若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.
12．【答案】
【分析】
以 为原点， 所在的直线为 轴建立直角坐标系，根据三角形内角平分线的性质，得到 ，
求得点 的轨迹方程，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，以 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
因为 ，根据向量的运算，可得 的内角平分线，
又由 ， ，可得 ，即 ，
所以 ，整理得 ，即 ，
又由 ，
所以 面积的最大值为 .
故答案为： .1．【答案】D
【详解】
试题分析：由 ， ， 可知
2．【答案】C
【分析】
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查的是向量的加减法，较简单.
3．【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法
运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用
相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角
形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4．【答案】A
【详解】
由 平方得 ，即 ，则 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
5．【答案】A
【解析】
试题分析：若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么 ；
若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若 ，那么 是 的充分不必要条
件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ， 互为充要条件；若 ，那么就是既
不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知
,若 ，那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ，
互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命
题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判断.
6．【答案】D
【详解】
试题分析：由已知得，
而 所以 ，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
7．【答案】
【分析】
由向量平行的坐标表示得出 ，求解即可得出答案.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
8．【答案】
【详解】
因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．
考点：向量共线．9．【答案】
【详解】
试题分析：
共有 种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有 种，故所求概率为 .
【考点】排列组合、古典概型、平面向量的线性运算
【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基
本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运
算求解能力、数形结合思想等.
10．【答案】0
【分析】
本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与
化归思想将问题逐步简化.
【详解】
正方形ABCD的边长为1，可得 ， ，
• 0，
要使 的最小，只需要
，此时只需要取
此时等号成立当且仅当 均非负或者均非正，并且 均非负或者均非正．
比如
则 .
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等
式的综合题．
【点睛】
对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
